Grupo Conway

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Conway son los tres grupos simples esporádicos Co ₁ , Co ₂ y Co ₃ junto con el grupo finito relacionado Co ₀ introducido por ( Conway 1968 , 1969 ) . 

El mayor de los grupos de Conway, Co ₀ , es el grupo de automorfismos de la red de Leech Λ con respecto a la adición y el producto interno . Tiene orden

8.315.553.613.086.720.000 = 16! 6! 4! 23

pero no es un grupo simple. El grupo simple Co ₁ de orden

4.157.776.806.543.360.000 =  2²¹ · 3¹⁹ · 5¹⁴ · 7² · 11¹³ · 23¹³^​​​​​​      

se define como el cociente de Co ₀ por su centro , que consiste en las matrices escalares ±1. Los grupos Co ₂ de orden

42.305.421.312.000 =  2 ¹⁸ · 3 ⁶ · 5 ³ · 7 · 11 · 23     

y Co ₃ de orden

495.766.656.000 =  2 ¹⁰ · 3 ⁷ · 5 ³ · 7 · 11 · 23     

consisten en los automorfismos de Λ que fijan un vector reticular de tipo 2 y tipo 3, respectivamente. Como el escalar − 1 no fija ningún vector distinto de cero, estos dos grupos son isomorfos a subgrupos de Co ₁ .

El producto interno en la red de Leech se define como 1/8 de la suma de los productos de las coordenadas respectivas de los dos vectores multiplicandos; es un número entero. La norma al cuadrado de un vector es su producto interno consigo mismo, siempre un número entero par. Es común hablar del tipo de un vector de la red de Leech: la mitad de la norma al cuadrado. Los subgrupos suelen nombrarse en referencia a los tipos de puntos fijos relevantes. Esta red no tiene vectores de tipo 1.

Thomas Thompson ( 1983 ) relata cómo, alrededor de 1964, John Leech investigó empaquetamientos compactos de esferas en espacios euclidianos de gran dimensión. Uno de los descubrimientos de Leech fue un empaquetamiento reticular en el espacio de 24 dimensiones, basado en lo que se denominó la red de Leech Λ. Se preguntó si el grupo de simetría de su red contenía un grupo simple interesante, pero sintió que necesitaba la ayuda de alguien con mayor conocimiento de la teoría de grupos. Tuvo que consultar con frecuencia, ya que los matemáticos estaban ocupados con sus propios asuntos. John Conway accedió a analizar el problema. John G. Thompson dijo que estaría interesado si se le proporcionaba el orden del grupo. Conway esperaba dedicar meses o años al problema, pero obtuvo resultados en tan solo unas pocas sesiones. 

Witt (1998 , página 329) afirmó que encontró la red de Leech en 1940 e insinuó que calculó el orden de su grupo de automorfismos Co ₀ .

Conway comenzó su investigación de Co ₀ con un subgrupo que llamó N , un holomorfo del código binario de Golay (extendido) (como matrices diagonales con 1 o −1 como elementos diagonales) por el grupo de Mathieu M ₂₄ (como matrices de permutación ). N ≈ 2 ¹² :M ₂₄ .

Una representación estándar , utilizada a lo largo de este artículo, del código binario de Golay organiza las 24 coordenadas de manera que 6 bloques consecutivos (tétradas) de 4 constituyen un sexteto .

Las matrices de Co ₀ son ortogonales ; es decir, dejan invariante el producto interno. La inversa es la transpuesta . Co ₀ no tiene matrices de determinante −1.

La red de Leech se puede definir fácilmente como el módulo Z generado por el conjunto Λ ₂ de todos los vectores de tipo 2, que consiste en

(4, 4, 0 ²² )

(2 ⁸ , 0 ¹⁶ )

(−3, 1 ²³ )

y sus imágenes bajo N. Λ ₂ bajo N cae en 3 órbitas de tamaños 1104, 97152 y 98304. Entonces | Λ ₂ | =196,560 = 2 ⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13 . Conway sospechaba firmemente que Co ₀ era transitivo en Λ ₂ , y de hecho encontró una nueva matriz, que no era monomial ni una matriz entera.

Sea η la matriz de 4x4

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

Ahora sea ζ una suma de bloques de 6 matrices: números impares cada uno de η y − η . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ζ es una matriz simétrica y ortogonal, por lo tanto una involución . Algunos experimentos muestran que intercambia vectores entre diferentes órbitas de N .

Para calcular |Co ₀ | es mejor considerar Λ ₄ , el conjunto de vectores de tipo 4. Cualquier vector de tipo 4 es uno de exactamente 48 vectores de tipo 4 congruentes entre sí módulo 2Λ, que caen en 24 pares ortogonales { v , – v }. Un conjunto de 48 de tales vectores se llama marco o cruz . N tiene como órbita un marco estándar de 48 vectores de forma (±8, 0 ²³ ). El subgrupo que fija un marco dado es un conjugado de N . El grupo 2 ¹² , isomorfo al código de Golay, actúa como cambios de signo en los vectores del marco, mientras que M ₂₄ permuta los 24 pares del marco. Se puede demostrar que Co ₀ es transitivo en Λ ₄ . Conway multiplicó el orden 2 ¹² |M ₂₄ | de N por el número de marcos, siendo este último igual al cociente | Λ ₄ | /48 =8,292,375 = 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 . Ese producto es el orden de cualquier subgrupo de Co ₀ que contiene propiamente a N ; por lo tanto, N es un subgrupo maximal de Co ₀ y contiene subgrupos 2-Sylow de Co ₀ . N también es el subgrupo en Co ₀ de todas las matrices con componentes enteras.

Dado que Λ incluye vectores de la forma (±8, 0 ²³ ) , Co ₀ consiste en matrices racionales cuyos denominadores son todos divisores de 8.

La representación no trivial más pequeña de Co ₀ sobre cualquier campo es la de 24 dimensiones que proviene de la red de Leech, y esta es fiel sobre campos de característica distinta de 2.

Cualquier involución en Co ₀ puede demostrarse que es conjugada a un elemento del código de Golay. Co ₀ tiene 4 clases de conjugación de involuciones.

Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 ^{12 es conjugada a un} dodecádico . Su centralizador tiene la forma 2 ¹² :M ₁₂ y posee conjugados dentro del subgrupo monomial. Cualquier matriz de esta clase de conjugación tiene traza cero.

Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 ⁸ 1 ⁸ es conjugada a una octada ; tiene traza 8. Esta y su negativa (traza −8) tienen un centralizador común de la forma (2 ¹⁺⁸ ×2).O ₈ ⁺ (2) , un subgrupo maximal en Co ₀ .

Conway y Thompson descubrieron que cuatro grupos simples esporádicos descubiertos recientemente, descritos en las actas de la conferencia ( Brauer y Sah 1969 ) , eran isomorfos a subgrupos o cocientes de subgrupos de Co ₀ .

El propio Conway empleó una notación para estabilizadores de puntos y subespacios donde anteponía un punto. Excepcionales fueron .0 y .1 , siendo Co ₀ y Co _1. Para un entero n ≥ 2 , sea .n el estabilizador de un punto de tipo n (véase arriba) en la red de Leech.

Conway nombró entonces estabilizadores de planos definidos por triángulos que tienen el origen como vértice. Sea .hkl el estabilizador puntual de un triángulo con aristas (diferencias de vértices) de tipos h , k y l . El triángulo se denomina comúnmente triángulo hkl . En los casos más simples, Co ₀ es transitivo en los puntos o triángulos en cuestión y los grupos estabilizadores se definen salvo conjugación.

Conway identificó .322 con el grupo McLaughlin McL (orden898.128.000 ) y .332 con el grupo Higman-Sims HS (orden44.352.000 ); ambos habían sido descubiertos recientemente.

Aquí hay una tabla ^{[ 3 ] [ 4 ]} de algunos grupos de subredes:

Se pueden definir dos subgrupos esporádicos como cocientes de estabilizadores de estructuras en la red de Leech. Identificando R ²⁴ con C ¹² y Λ con

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

El grupo de automorfismos resultante (es decir, el grupo de automorfismos de la red de Leech que preservan la estructura compleja ) cuando se divide por el grupo de seis elementos de matrices escalares complejas, da el grupo de Suzuki Suz (orden448.345.497.600 ). Este grupo fue descubierto por Michio Suzuki en 1968.

Una construcción similar da el grupo de Hall-Janko J ₂ (orden604.800 ) como el cociente del grupo de automorfismos cuaterniónicos de Λ por el grupo ±1 de escalares.

Los siete grupos simples descritos anteriormente conforman lo que Robert Griess denomina la segunda generación de la Familia Feliz , que consta de los 20 grupos simples esporádicos que se encuentran dentro del grupo Monstruo . Varios de los siete grupos contienen al menos algunos de los cinco grupos de Mathieu , que conforman la primera generación .

Co ₀ tiene 4 clases de conjugación de elementos de orden 3. En M ₂₄ un elemento de forma 3 ⁸ genera un grupo normal en una copia de S ₃ , que conmuta con un subgrupo simple de orden 168. Un producto directo PSL(2,7) × S ₃ en M ₂₄ permuta las octadas de un trío y permuta 14 matrices diagonales dodecadales en el subgrupo monomial. En Co ₀ este normalizador monomial 2 ⁴ :PSL(2,7) × S ₃ se expande a un subgrupo maximal de la forma 2.A ₉ × S ₃ , donde 2.A ₉ es la doble cubierta del grupo alternante A ₉ .

John Thompson señaló que sería provechoso investigar los normalizadores de subgrupos más pequeños de la forma 2.A _n ( Conway 1971 , p. 242) . De esta manera se encuentran varios otros subgrupos máximos de Co _0. Además, aparecen dos grupos esporádicos en la cadena resultante. 

Existe un subgrupo 2.A ₈ × S ₄ , el único de esta cadena que no es maximal en Co ₀ . A continuación está el subgrupo (2.A ₇ × PSL ₂ (7)):2 . Luego viene (2.A ₆ × SU ₃ (3)):2 . El grupo unitario SU ₃ (3) (orden6,048 ) posee un grafo de 36 vértices, en anticipación del siguiente subgrupo. Ese subgrupo es (2.A ₅ o 2.HJ):2 , en el que aparece el grupo de Hall-Janko HJ. El grafo mencionado anteriormente se expande al grafo de Hall-Janko , con 100 vértices. Luego viene (2.A ₄ o 2.G ₂ (4)):2 , siendo G ₂ (4) un grupo excepcional de tipo Lie .

La cadena termina con 6.Suz:2 (Suz = grupo esporádico de Suzuki ), que, como se mencionó anteriormente, respeta una representación compleja de la red de Leech.

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el aguardiente monstruoso no se limita al monstruo. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para los grupos de Conway, la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$= {1, 0, 276,−2.048 ,11.202 ,−49,152 , ...} ( OEIS : A007246  ) y${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$= {1, 0, 276,2.048 ,11.202 ,49,152 , ...} ( OEIS : A097340  ) donde se puede establecer el término constante a(0) = 24 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

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