espiral de Euler

Si a = 1 , que es el caso de la curva de Euler normalizada, entonces las coordenadas cartesianas vienen dadas por las integrales de Fresnel (o integrales de Euler): $${\displaystyle {\begin{aligned}C(L)&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\S(L)&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$

La espiral de Euler es un tipo de superespiral que tiene la propiedad de una función de curvatura monótona. ^{[ 4 ]}

Para recorrer una trayectoria circular, un objeto necesita estar sujeto a una aceleración centrípeta (por ejemplo: la Luna orbita alrededor de la Tierra debido a la gravedad; un automóvil gira sus ruedas delanteras hacia adentro para generar una fuerza centrípeta). Si un vehículo que viaja en línea recta cambiara repentinamente a una trayectoria circular tangencial, requeriría que la aceleración centrípeta cambiara repentinamente en el punto de tangencia de cero al valor requerido; esto sería difícil de lograr (imagínese a un conductor moviendo instantáneamente el volante de la línea recta a la posición de giro, y que el automóvil realmente lo hiciera), lo que sometería a las partes del vehículo a un esfuerzo mecánico y causaría mucha incomodidad (debido a la sacudida lateral ).

En los primeros ferrocarriles, esta aplicación instantánea de fuerza lateral no representaba un problema, ya que se empleaban bajas velocidades y curvas de amplio radio (las fuerzas laterales sobre los pasajeros y el balanceo lateral eran pequeños y tolerables). Con el paso de los años, a medida que la velocidad de los vehículos ferroviarios aumentó, se hizo evidente la necesidad de una curva de transición para que la aceleración centrípeta aumentara gradualmente con la distancia recorrida. Dada la expresión de la aceleración centrípeta v² ^/ r , la solución obvia es proporcionar una curva de transición cuya curvatura, 1 / R , aumente linealmente con la distancia recorrida.

En óptica , se utiliza el término espiral de Cornu. ^{[ 5 ] : 432} La espiral de Cornu se puede utilizar para describir un patrón de difracción . ^{[ 6 ]} Consideremos una onda plana con amplitud fasorial E ₀ e ^{− jkz} que se difracta por un "filo de cuchillo" de altura h por encima de x = 0 en el plano z = 0. Entonces, el campo de onda difractada se puede expresar como $${\displaystyle \mathbf {E} (x,z)=E_{0}e^{-jkz}{\frac {\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} \left({\sqrt {\frac {2}{\lambda z}}}(h-x)\right)}{\mathrm {Fr} (\infty )-\mathrm {Fr} (-\infty )}},}$$ dónde${\displaystyle Fr(x)=C(x)+iS(x)}$es la función integral de Fresnel en el plano complejo.

Para simplificar el cálculo de la atenuación de una onda plana al difractarse en el filo de la cuchilla, se puede utilizar el diagrama de una espiral de Cornu, representando las cantidades Fr( a ) − Fr( b ) como las distancias físicas entre los puntos representados por Fr( a ) y Fr( b ) para valores apropiados de a y b . Esto facilita un cálculo aproximado de la atenuación de la onda plana por el filo de la cuchilla de altura h en una ubicación ( x , z ) más allá del filo.

Las curvas con radio de curvatura que varía continuamente siguiendo la espiral de Euler también se utilizan para reducir las pérdidas en circuitos integrados fotónicos , ya sea en guías de onda monomodo , ^{[ 7 ] [ 8 ]} para suavizar el cambio abrupto de curvatura y suprimir el acoplamiento a modos de radiación, o en guías de onda multimodo, ^{[ 9 ]} para suprimir el acoplamiento a modos de orden superior y asegurar un funcionamiento monomodo efectivo. Una aplicación pionera y muy elegante de la espiral de Euler a las guías de onda se realizó ya en 1957, ^{[ 10 ]} con una guía de onda metálica hueca para microondas. Allí la idea era aprovechar el hecho de que una guía de onda metálica recta puede doblarse físicamente para adoptar naturalmente una forma de curva gradual que se asemeja a una espiral de Euler.

En la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica, la amplitud de probabilidad para la propagación entre dos puntos se puede visualizar conectando flechas de fase de acción para cada paso de tiempo entre los dos puntos. Las flechas forman una espiral alrededor de cada extremo, lo que se denomina una espiral de Cornu. ^{[ 11 ]}

El autor de libros sobre automovilismo Adam Brouillard ha demostrado el uso de la espiral de Euler para optimizar la línea de carrera durante la entrada en la curva. ^{[ 12 ]}

Raph Levien lanzó Spiro como un conjunto de herramientas para el diseño de curvas, especialmente para el diseño de fuentes, en 2007 ^{[ 13 ] [ 14 ]} bajo una licencia gratuita. Este conjunto de herramientas se implementó rápidamente después en la herramienta de diseño de fuentes Fontforge y en el programa de dibujo vectorial digital Inkscape .

Cortar una esfera a lo largo de una espiral con ancho 1 / N y aplanar la forma resultante produce una espiral de Euler cuando n tiende a infinito. ^{[ 15 ]} Si la esfera es el globo terráqueo , esto produce una proyección cartográfica cuya distorsión tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^{[ 16 ]}

Las formas naturales de los bigotes de las ratas se aproximan bien mediante segmentos de espirales de Euler; para una misma rata, todos los bigotes pueden aproximarse como segmentos de la misma espiral. ^{[ 17 ]} Los dos parámetros de la ecuación de Cesàro para un segmento de espiral de Euler podrían aportar información sobre el mecanismo de queratinización del crecimiento de los bigotes. ^{[ 18 ]}

Dado: $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{c}&=300\,\mathrm {m} \\L_{s}&=100\,\mathrm {m} \end{aligned}}}$$ Entonces $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}={\frac {100}{2\times 300}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radian} }$$ y $${\displaystyle 2R_{c}L_{s}=60\,000}$$

Reducimos la escala de la espiral de Euler en √60 000 , es decir, 100 √ 6 a una espiral de Euler normalizada que tiene: $${\displaystyle {\begin{aligned}R'_{c}&={\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\L'_{s}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\,\mathrm {m} \\2R'_{c}L'_{s}&=2\times {\tfrac {3}{\sqrt {6}}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\\&=1\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {L'_{s}}{2R'_{c}}}={\frac {\frac {1}{\sqrt {6}}}{2\times {\frac {3}{\sqrt {6}}}}}={\frac {1}{6}}\ \mathrm {radian} }$$

Los dos ángulos θs son iguales _. Esto confirma que las espirales de Euler original y normalizada son geométricamente similares. El lugar geométrico de la curva normalizada se puede determinar mediante la integral de Fresnel, mientras que el de la espiral de Euler original se obtiene mediante escalado o desnormalización.

Las espirales de Euler normalizadas se pueden expresar como: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds\\y&=\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds\end{aligned}}}$$ o expresada como serie de potencias : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {s^{4i+1}}{4i+1}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {L^{4i+1}}{4i+1}}\\y&=\left.\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {s^{4i+3}}{4i+3}}\right|_{0}^{L}&&=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {L^{4i+3}}{4i+3}}\end{aligned}}}$$

La espiral de Euler normalizada convergerá a un único punto en el límite cuando el parámetro L se aproxime al infinito, lo que se puede expresar como: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\cos \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\\y^{\prime }&=\lim _{L\to \infty }\int _{0}^{L}\sin \left(s^{2}\right)\,ds&&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\approx 0.6267\end{aligned}}}$$

Las espirales de Euler normalizadas tienen las siguientes propiedades: $${\displaystyle {\begin{aligned}2R_{c}L_{s}&=1\\\theta _{s}&={\frac {L_{s}}{2R_{c}}}=L_{s}^{2}\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{s}\cdot {\frac {L^{2}}{L_{s}^{2}}}=L^{2}\\{\frac {1}{R}}&={\frac {d\theta }{dL}}=2L\end{aligned}}}$$

Nótese que 2 R _c L _s = 1 también significa 1 / R _c = 2 L _s , de acuerdo con la última afirmación matemática.