Integral de Fresnel

Las integrales de Fresnel S ( x ) y C ( x ) son dos funciones trascendentales que llevan el nombre de Augustin-Jean Fresnel y que se utilizan en óptica y están estrechamente relacionadas con la función de error ( erf ). Surgen en la descripción de los fenómenos de difracción de Fresnel de campo cercano y se definen mediante las siguientes representaciones integrales :

$${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.}$$

La curva paramétrica es${\displaystyle {\bigl (}S(t),C(t){\bigr )}}$ la espiral de Euler o clotoide, una curva cuya curvatura varía linealmente con la longitud del arco.

El término integral de Fresnel también puede referirse a la integral definida compleja

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\pm iax^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\pm i\pi /4}}$$

donde a es real y positivo; esto se puede evaluar cerrando un contorno en el plano complejo y aplicando el teorema integral de Cauchy .

Las integrales de Fresnel admiten las siguientes expansiones en series de potencias que convergen para todo x : $${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},\\C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}}$$

Algunas tablas ampliamente utilizadas ^{[1] [2]} utilizan ⁠π/2⁠ t ² en lugar de t ² para el argumento de las integrales que definen S ( x ) y C ( x ) . Esto cambia sus límites en el infinito de ⁠1/2⁠ · √ ⁠π/2⁠ a⁠1/2⁠ ^[3] y la longitud del arco para el primer giro espiral de √ 2 π a 2 (en t = 2 ). Estas funciones alternativas se conocen habitualmente como integrales de Fresnel normalizadas .

La espiral de Euler, también conocida como espiral de Cornu o clotoide, es la curva generada por un gráfico paramétrico de S ( t ) frente a C ( t ) . La espiral de Euler fue estudiada por primera vez a mediados del siglo XVIII por Leonhard Euler en el contexto de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli . Un siglo después, Marie Alfred Cornu construyó la misma espiral como nomograma para cálculos de difracción.

De las definiciones de integrales de Fresnel, los infinitesimales dx y dy son entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la longitud de la espiral medida desde el origen se puede expresar como $${\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.}$$

Es decir, el parámetro t es la longitud de la curva medida desde el origen (0, 0) , y la espiral de Euler tiene una longitud infinita . El vector (cos( ​​t ² ), sen( t ² )) también expresa el vector tangente unitario a lo largo de la espiral, dando θ = t ² . Como t es la longitud de la curva, la curvatura κ se puede expresar como $${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.}$$

Por lo tanto, la tasa de cambio de curvatura con respecto a la longitud de la curva es $${\displaystyle {\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.}$$

Una espiral de Euler tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la espiral, medida desde el origen. Esta propiedad la hace útil como curva de transición en la ingeniería de carreteras y ferrocarriles: si un vehículo sigue la espiral a una velocidad unitaria, el parámetro t en las derivadas anteriores también representa el tiempo. En consecuencia, un vehículo que sigue la espiral a una velocidad constante tendrá una tasa constante de aceleración angular .

Las secciones de las espirales de Euler se incorporan comúnmente a la forma de los bucles de montaña rusa para crear lo que se conoce como bucles clotoides .

C ( x ) y S ( x ) son funciones impares de x ,

$${\displaystyle C(-x)=-C(x),\quad S(-x)=-S(x).}$$

lo cual se puede ver fácilmente por el hecho de que sus expansiones en series de potencias sólo tienen términos de grado impar, o alternativamente porque son antiderivadas de funciones pares que también son cero en el origen.

Las asintóticas de las integrales de Fresnel cuando x → ∞ se dan mediante las fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{2x}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\pi }}\operatorname {sgn} x+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{2x}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{4x^{3}}}\right).\end{aligned}}}$$

Utilizando las expansiones de series de potencias anteriores, las integrales de Fresnel se pueden extender al dominio de los números complejos , donde se convierten en funciones completas de la variable compleja z .

Las integrales de Fresnel se pueden expresar utilizando la función de error de la siguiente manera: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$$

o

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}}$$

Las integrales que definen C ( x ) y S ( x ) no pueden evaluarse en forma cerrada en términos de funciones elementales , excepto en casos especiales. Los límites de estas funciones cuando x tiende a infinito son conocidos: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.}$$

La integral es una función hipergeométrica confluente y también una función gamma incompleta ^[6] que se reduce a integrales de Fresnel si se toman partes reales o imaginarias: El término principal en la expansión asintótica es y por lo tanto $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right).}$$$${\displaystyle _{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$$

Para m = 0 , la parte imaginaria de esta ecuación en particular es con el lado izquierdo convergiendo para a > 1 y el lado derecho siendo su extensión analítica a todo el plano menos donde se encuentran los polos de Γ ( a ⁻¹ ) . $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),}$$

La transformación de Kummer de la función hipergeométrica confluente es con $${\displaystyle \int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},}$$$${\displaystyle V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).}$$

Para cálculos con precisión arbitraria, la serie de potencias es adecuada para argumentos pequeños. Para argumentos grandes, las expansiones asintóticas convergen más rápido. ^[7] También se pueden utilizar métodos de fracciones continuas. ^[8]

Para el cálculo de una precisión específica, se han desarrollado otras aproximaciones. Cody ^[9] desarrolló un conjunto de aproximaciones eficientes basadas en funciones racionales que dan errores relativos de hasta2 × 10 ⁻¹⁹ . Van Snyder publicó una implementación FORTRAN de la aproximación Cody que incluye los valores de los coeficientes necesarios para la implementación en otros lenguajes. ^[10] Boersma desarrolló una aproximación con un error menor que1,6 × 10 ⁻⁹ . ^[11]

Las integrales de Fresnel se utilizaron originalmente en el cálculo de la intensidad del campo electromagnético en un entorno donde la luz se curva alrededor de objetos opacos. ^[12] Más recientemente, se han utilizado en el diseño de carreteras y ferrocarriles, específicamente en sus zonas de transición de curvatura, véase curva de transición de vía . ^[13] Otras aplicaciones son las montañas rusas ^[12] o el cálculo de las transiciones en una pista de velódromo para permitir una entrada rápida a las curvas y una salida gradual. ^{[ cita requerida ]}

• 
  Gráfico de la función integral de Fresnel S(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
• 
  Gráfico de la función integral de Fresnel C(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
• 
  Gráfico de la función auxiliar de Fresnel G(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
• 
  Gráfico de la función auxiliar de Fresnel F(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 7". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
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• Cephes, código C++/C gratuito y de código abierto para calcular integrales de Fresnel, entre otras funciones especiales. Se utiliza en SciPy y ALGLIB .
• Paquete Faddeeva, código C++/C gratuito/de código abierto para calcular funciones de error complejas (de las que se pueden obtener las integrales de Fresnel), con envoltorios para Matlab, Python y otros lenguajes.
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