Hispanopedia WikiEn matemáticas , el álgebra multiplicativa , denotada por M ( A ), de una C*-álgebra A es una C*-álgebra unital que es la C*-álgebra unital más grande que contiene a A como ideal de una manera "no degenerada". Es la generalización no conmutativa de la compactificación de Stone-Čech . Las álgebras multiplicativas fueron introducidas por Busby (1968).
Por ejemplo, si A es el C*-álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert separable , M ( A ) es B ( H ), el C*-álgebra de todos los operadores acotados en H .
Definición
Se dice que un ideal I en un C*-álgebra B es esencial si I ∩ J no es trivial para cada ideal J . Un ideal I es esencial si y solo si I ⊥ , el "complemento ortogonal" de I en el C*-módulo B de Hilbert es {0}.
Sea A una C*-álgebra. Su álgebra multiplicadora M ( A ) es cualquier C*-álgebra que satisface la siguiente propiedad universal : para toda C*-álgebra D que contenga a A como ideal, existe un *-homomorfismo único φ: D → M ( A ) tal que φ extiende el homomorfismo identidad en A y φ ( A ⊥ ) = {0}.
La unicidad hasta el isomorfismo se especifica mediante la propiedad universal. Cuando A es unital, M ( A ) = A . También se deduce de la definición que para cualquier D que contenga a A como ideal esencial, el álgebra de multiplicadores M ( A ) contiene a D como subálgebra C*.
La existencia de M ( A ) se puede demostrar de varias maneras.
Un centralizador doble de una C*-álgebra A es un par ( L , R ) de aplicaciones lineales acotadas en A tales que aL ( b ) = R ( a ) b para todos los a y b en A . Esto implica que || L || = || R ||. Al conjunto de centralizadores dobles de A se le puede dar una estructura de C*-álgebra. Esta C*-álgebra contiene a A como un ideal esencial y se puede identificar como el álgebra multiplicadora M ( A ). Por ejemplo, si A son los operadores compactos K ( H ) en un espacio de Hilbert separable, entonces cada x ∈ B ( H ) define un centralizador doble de A simplemente por multiplicación por la izquierda y la derecha.
Alternativamente, M ( A ) se puede obtener mediante representaciones. Se necesitará el siguiente hecho:
Lema. Si I es un ideal en una C*-álgebra B , entonces cualquier representación fiel no degenerada π de I puede extenderse de manera única a B .
Ahora tomemos cualquier representación fiel no degenerada π de A en un espacio de Hilbert H . El lema anterior, junto con la propiedad universal del álgebra de multiplicadores, produce que M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ) en B ( H ). Es inmediato que M ( K ( H )) = B ( H ).
Por último, sea E un C*-módulo de Hilbert y B ( E ) (resp. K ( E )) los operadores adjuntos (resp. compactos) en E M ( A ) se puede identificar mediante un *-homomorfismo de A en B ( E ). Algo similar al lema anterior es cierto:
Lema. Si I es un ideal en una C*-álgebra B , entonces cualquier *-homomorfismo no degenerado fiel π de I en B ( E ) puede extenderse de manera única a B .
En consecuencia, si π es un *-homomorfismo fiel no degenerado de A en B ( E ), entonces M ( A ) es isomorfo al idealizador de π ( A ). Por ejemplo, M ( K ( E )) = B ( E ) para cualquier módulo de Hilbert E .
El C*-álgebra A es isomorfa a los operadores compactos en el módulo de Hilbert A . Por lo tanto, M ( A ) son los operadores adjuntables en A .
Topología estricta
Considérese la topología en M ( A ) especificada por las seminormas { l a , r a } a ∈ A , donde
La topología resultante se denomina topología estricta en M ( A ). A es estrictamente densa en M ( A ).
Cuando A es unital, M ( A ) = A , y la topología estricta coincide con la topología de la norma. Para B ( H ) = M ( K ( H )), la topología estricta es la topología σ-fuerte* . De lo anterior se deduce que B ( H ) es completa en la topología σ-fuerte*.
Caso conmutativo
Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto , A = C 0 ( X ), la C*-álgebra conmutativa de funciones continuas que se anulan en el infinito . Entonces M ( A ) es C b ( X ), las funciones continuas acotadas en X . Por el teorema de Gelfand–Naimark , se tiene el isomorfismo de las C*-álgebras
donde Y es el espectro de C b ( X ). De hecho, Y es homeomorfo a la compactificación de Stone–Čech βX de X .
Álgebra corona
La corona o álgebra de corona de A es el cociente M ( A )/ A . Por ejemplo, el álgebra de corona del álgebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert es el álgebra de Calkin .
El álgebra corona es un análogo no conmutativo del conjunto corona de un espacio topológico.
Referencias
- B. Blackadar, Teoría K para álgebras de operadores , Publicaciones MSRI, 1986.
- Busby, Robert C. (1968), "Centralizadores dobles y extensiones de álgebras C*" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 132 (1): 79–99, doi :10.2307/1994883, ISSN 0002-9947, JSTOR 1994883, MR 0225175, S2CID 54047557, archivado desde el original (PDF) el 2020-02-20
- Pedersen, Gert K. (2001) [1994], "Multiplicadores de álgebras C*", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press