Teorema de la corona

En matemáticas , el teorema de la corona es un resultado sobre el espectro de las funciones holomorfas acotadas en el disco unitario abierto , conjeturado por Kakutani (1941) y demostrado por Lennart Carleson ( 1962 ) . 

El álgebra de Banach conmutativa y el espacio de Hardy H ^∞ consisten en las funciones holomorfas acotadas en el disco unitario abierto D . Su espectro S (los ideales maximales cerrados ) contiene a D como un subespacio abierto porque para cada z en D hay un ideal maximal que consiste en funciones f con

f ( z ) = 0.

El subespacio D no puede constituir todo el espectro S , esencialmente porque el espectro es un espacio compacto y D no lo es. El complemento de la clausura de D en S fue llamado corona por Newman (1959) , y el teorema de la corona establece que la corona es vacía, o en otras palabras, el disco unitario abierto D es denso en el espectro. Una formulación más elemental es que los elementos f ₁ ,..., f _n generan el ideal unitario de H ^∞ si y solo si existe algún δ>0 tal que

${\displaystyle |f_{1}|+\cdots +|f_{n}|\geq \delta }$en todas partes de la unidad de bola.

Newman demostró que el teorema de la corona se puede reducir a un problema de interpolación, lo cual fue posteriormente demostrado por Carleson.

En 1979, Thomas Wolff dio una demostración simplificada (pero no publicada) del teorema de la corona, descrita en ( Koosis 1980 ) y ( Gamelin 1980 ) .

Cole demostró más tarde que este resultado no puede extenderse a todas las superficies de Riemann abiertas ( Gamelin 1978 ) .

Como resultado secundario del trabajo de Carleson, se introdujo la medida de Carleson , que constituye una herramienta muy útil en la teoría de funciones moderna. Sigue siendo una incógnita si existen versiones del teorema de la corona para cada dominio plano o para dominios de dimensiones superiores.

Nótese que si se asume la continuidad hasta el límite en el teorema de la corona, entonces la conclusión se deduce fácilmente de la teoría del álgebra de Banach conmutativa ( Rudin 1991 ) .

• Corona set

• Carleson, Lennart (1962), "Interpolaciones mediante funciones analíticas acotadas y el problema de la corona", Annals of Mathematics , 76 (3): 547– 559, doi : 10.2307/1970375 , JSTOR 1970375 , MR 0141789 , Zbl 0112.29702   
• Gamelin, TW (1978), Álgebras uniformes y medidas de Jensen. , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  32, Cambridge-Nueva York: Cambridge University Press , pp.  iii+162, ISBN 978-0-521-22280-8, MR 0521440 , Zbl 0418.46042  
• Gamelin, TW (1980), "Demostración de Wolff del teorema de la corona", Israel Journal of Mathematics , 37 ( 1–2 ): 113–119 , doi : 10.1007/BF02762872 , MR 0599306 , Zbl 0466.46050  
• Kakutani, Shizuo (1941). "Representación concreta de espacios abstractos (M). (Una caracterización del espacio de funciones continuas.)". Ann. of Math . Series 2. 42 (4): 994– 1024. doi : 10.2307/1968778 . hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR 1968778 . MR 0005778 .  
• Koosis, Paul (1980), Introducción a los espacios H ^p . Con un apéndice sobre la demostración de Wolff del teorema de la corona , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  40, Cambridge-Nueva York: Cambridge University Press , pp.  xv+376, ISBN 0-521-23159-0, MR 0565451 , Zbl 0435.30001  
• Newman, DJ (1959), "Algunas observaciones sobre la estructura ideal máxima de H ^∞ ", Annals of Mathematics , 70 (2): 438– 445, doi : 10.2307/1970324 , JSTOR 1970324 , MR 0106290 , Zbl 0092.11802   
• Rudin, Walter (1991), Análisis funcional , pág.  279.
• Schark, IJ (1961), "Ideales maximales en un álgebra de funciones analíticas acotadas" , Journal of Mathematics and Mechanics , 10 : 735–746 , MR 0125442 , Zbl 0139.30402  .