Transformadas de seno y coseno

Las reglas de multiplicación para funciones pares e impares que se muestran entre llaves en las siguientes ecuaciones simplifican drásticamente los integrandos al transformar funciones pares e impares . Algunos autores ^{[ 1 ]} incluso definen únicamente la transformada coseno para funciones pares.${\displaystyle f_{\text{even}}(t)}$. Dado que el coseno es una función par y debido a que la integral de una función par de${\displaystyle {-}\infty }$a${\displaystyle \infty }$es el doble de su integral de${\displaystyle 0}$a${\displaystyle \infty }$La transformada coseno de cualquier función par se puede simplificar para evitar valores negativos.${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{even}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{even·even=even}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{even}}(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

Y porque la integral de${\displaystyle {-}\infty }$a${\displaystyle \infty }$Si la transformada coseno de cualquier función impar es cero , la transformada coseno de cualquier función impar es simplemente cero:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{impar}}(t)\cdot \cos(2\pi \xi t)} ^{\text{impar·par=impar}}\,dt=0.}$$

De manera similar, debido a que el seno es impar, la transformada del seno de cualquier función impar${\displaystyle f_{\text{impar}}(t)}$También simplifica evitar lo negativo${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{impar}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{impar·impar=par}}\,dt=2\int _{0}^{\infty }f_{\text{impar}}(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt}$$

y la transformada sinusoidal de cualquier función par es simplemente cero:

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\overbrace {f_{\text{par}}(t)\cdot \sin(2\pi \xi t)} ^{\text{par·impar=impar}}\,dt=0.}$$

La transformada seno representa la parte impar de una función , mientras que la transformada coseno representa la parte par de una función.

Así como la transformada de Fourier toma la forma de diferentes ecuaciones con diferentes factores constantes (ver Transformada de Fourier §  Unitaridad y definición para funciones de cuadrado integrable para discusión), otros autores también definen la transformada del coseno como ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt}$$ y la transformada del seno como $${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$Otra convención define la transformada coseno como ^{[ 3 ]}$${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$y la transformada del seno como$${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$usando${\displaystyle \alpha }$como la variable de transformación. Y mientras${\displaystyle t}$se utiliza normalmente para representar el dominio del tiempo ,${\displaystyle x}$En cambio, a menudo se utiliza para representar un dominio espacial al transformarlo en frecuencias espaciales.

Tenga en cuenta que, dado que ambos integrandos son funciones pares de${\displaystyle \xi }$El concepto de frecuencia negativa puede evitarse duplicando el resultado de la integración sobre frecuencias no negativas:

$${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi \,+2\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi \,.}$$

Además, si${\displaystyle f}$Si es una función impar , entonces la transformada del coseno es cero, por lo que su inversión se simplifica a:$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is odd.}}}$$

Asimismo, si la función original${\displaystyle f}$Si es una función par , entonces la transformada del seno es cero, por lo que su inversión también se simplifica a:

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi ,{\text{ only if }}f(t){\text{ is even.}}}$$

Sorprendentemente, estas dos últimas fórmulas de inversión simplificadas se ven idénticas a las transformadas de seno y coseno originales, respectivamente, aunque con${\displaystyle t}$intercambiado con${\displaystyle \xi }$(y con${\displaystyle f}$intercambiado con${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$o${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$Una consecuencia de esta simetría es que sus procesos de inversión y transformación siguen funcionando cuando se intercambian las dos funciones. Dos de estas funciones se denominan pares de transformación . ^{[ nota 5 ]}

Utilizando la fórmula de adición para el coseno , la fórmula de inversión completa también se puede reescribir como la fórmula integral de Fourier : ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$ Este teorema se suele enunciar bajo diferentes hipótesis, que${\displaystyle f}$es integrable y tiene variación acotada en un intervalo abierto que contiene el punto${\displaystyle t}$, en cuyo caso $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left(f(t+h)+f(t-h)\right)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cos(2\pi \xi (x-t))\,dx\,d\xi .}$$

Esta última forma es un paso intermedio útil para demostrar las fórmulas inversas para las transformadas de coseno y . Un método para derivarla, debido a Cauchy , consiste en insertar una${\displaystyle e^{-\delta \xi }}$en la integral, donde${\displaystyle \delta >0}$Está arreglado. Entonces $${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\delta \xi }\cos(2\pi \xi (x-t))\,d\xi \,f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx.}$$ Ahora cuando${\displaystyle \delta \to 0}$, el integrando tiende a cero excepto en${\displaystyle x=t}$, de modo que formalmente lo anterior es $${\displaystyle f(t)\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\delta }{\delta ^{2}+4\pi ^{2}(x-t)^{2}}}\,dx=f(t).}$$

Una ventaja de la transformada de Fourier moderna es que, mientras que para extraer la información de fase de una frecuencia se requieren las transformadas de seno y coseno , la transformada de Fourier moderna integra de forma compacta tanto la información de fase como la de amplitud en su resultado complejo. Sin embargo, una desventaja es que requiere conocimientos de números complejos, exponenciales complejos y frecuencias negativas.

Las transformadas de seno y coseno, por su parte, tienen la ventaja de que todas las cantidades son reales. Dado que las frecuencias positivas pueden expresarlas completamente, se puede evitar el concepto no trivial de frecuencia negativa necesario en la transformada de Fourier convencional. También pueden ser convenientes cuando la función original ya es par o impar, o puede hacerse par o impar, en cuyo caso solo se necesita la transformada de coseno o la de seno, respectivamente. Por ejemplo, aunque una entrada no sea par ni impar, una transformada discreta de coseno puede comenzar asumiendo una extensión par de su entrada, mientras que una transformada discreta de seno puede comenzar asumiendo una extensión impar de su entrada, para evitar tener que calcular toda la transformada discreta de Fourier .