Onda sinusoidal

Una onda sinusoidal ( símbolo: ∿ ) es una onda periódica cuya forma de onda corresponde a la función seno trigonométrica . En mecánica , como movimiento lineal a lo largo del tiempo, se trata de un movimiento armónico simple ; como rotación , corresponde a un movimiento circular uniforme . Las ondas sinusoidales aparecen con frecuencia en física , incluyendo las ondas de viento , las ondas sonoras y las ondas de luz , como la radiación monocromática . En ingeniería , procesamiento de señales y matemáticas , el análisis de Fourier descompone funciones generales en una suma de ondas sinusoidales de diversas frecuencias, fases relativas y magnitudes.

Cuando se combinan linealmente dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia (pero fase arbitraria ) , el resultado es otra onda sinusoidal de la misma frecuencia; esta propiedad es única entre las ondas periódicas. Por el contrario, si se elige una fase como referencia cero, una onda sinusoidal de fase arbitraria puede expresarse como la combinación lineal de dos ondas sinusoidales con fases de cero y un cuarto de ciclo, correspondientes a las componentes seno y coseno , respectivamente.

Ejemplo de audio

Una onda sinusoidal representa una frecuencia única sin armónicos y se considera un tono acústicamente puro . La suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias da como resultado una forma de onda distinta. La presencia de armónicos superiores, además de la fundamental , provoca variaciones en el timbre , razón por la cual la misma nota musical, tocada con distintos instrumentos, suena diferente.

forma sinusoidal

Las ondas sinusoidales de fase y amplitud arbitrarias se denominan sinusoides y tienen la forma general: ^{[ 1 ]} $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )$ ^{[ 2 ]} donde:

$A$ , amplitud , la desviación máxima de la función con respecto a cero.
$t$ , la variable independiente real , que generalmente representa el tiempo en segundos .
$\omega$ , frecuencia angular , la tasa de cambio del argumento de la función en unidades de radianes por segundo .
$f$ , frecuencia ordinaria , el número de oscilaciones ( ciclos ) que ocurren cada segundo de tiempo.
$\varphi$ $\varphi$ , fase , especifica (en radianes ) dónde en su ciclo se encuentra la oscilación en t = 0.
- Cuando $\varphi$ es distinto de cero, toda la forma de onda parece estar desplazada hacia atrás en el tiempo por la cantidad ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$ segundos. Un valor negativo representa un retraso y un valor positivo representa un adelanto.
- Sumar o restar $2\pi$ (un ciclo) a la fase da como resultado una onda equivalente.

En función de la posición y el tiempo

El desplazamiento de un sistema masa-resorte sin amortiguación que oscila alrededor del equilibrio a lo largo del tiempo es una onda sinusoidal.

Las funciones sinusoidales que existen tanto en posición como en tiempo también tienen:

una variable espacial $x$ que representa la posición en la dimensión en la que se propaga la onda.
un número de onda (o número de onda angular) $k$ $k$ , que representa la proporcionalidad entre la frecuencia angular $\omega$ $\omega$ y la velocidad lineal ( velocidad de propagación ) $v$ $v$ :
- El número de onda está relacionado con la frecuencia angular mediante ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ dónde $\lambda$ ( lambda ) es la longitud de onda .

Dependiendo de su dirección de viaje, pueden adoptar la siguiente forma:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ , si la onda se mueve hacia la derecha, o
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ , si la onda se mueve hacia la izquierda.

Dado que las ondas sinusoidales se propagan sin cambiar de forma en sistemas lineales distribuidos , se utilizan con frecuencia para analizar la propagación de ondas .

ondas estacionarias

Cuando dos ondas con la misma amplitud y frecuencia que viajan en direcciones opuestas se superponen , se crea un patrón de onda estacionaria .

En una cuerda pulsada, las ondas superpuestas son las ondas reflejadas en los extremos fijos de la cuerda. Las frecuencias de resonancia de la cuerda son las únicas ondas estacionarias posibles, que solo se producen para longitudes de onda que duplican la longitud de la cuerda (correspondiente a la frecuencia fundamental ) y para divisiones enteras de esta (correspondiente a armónicos superiores).

Múltiples dimensiones espaciales

La ecuación anterior proporciona el desplazamiento. $y$ de la onda en una posición $x$ en ese momento $t$ a lo largo de una sola línea. Esto podría considerarse, por ejemplo, el valor de una onda a lo largo de un cable.

En dos o tres dimensiones espaciales, la misma ecuación describe una onda plana viajera si la posición $x$ y número de onda $k$ Se interpretan como vectores y su producto como un producto escalar . Para ondas más complejas, como la altura de una ola en un estanque después de arrojar una piedra, se necesitan ecuaciones más complejas.

onda plana sinusoidal

En física , una onda plana sinusoidal es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía como una función sinusoidal del tiempo y de la distancia a un plano fijo. También se la denomina onda plana monocromática, de frecuencia constante (como en la radiación monocromática ).

Análisis de Fourier

El matemático francés Joseph Fourier descubrió que las ondas sinusoidales pueden sumarse como bloques de construcción simples para aproximar cualquier forma de onda periódica, incluidas las ondas cuadradas . Estas series de Fourier se utilizan frecuentemente en el procesamiento de señales y el análisis estadístico de series temporales . Posteriormente, la transformada de Fourier extendió las series de Fourier para manejar funciones generales, dando origen al campo del análisis de Fourier .

Diferenciación e integración

Diferenciación

La diferenciación de cualquier sinusoide con respecto al tiempo puede considerarse como la multiplicación de su amplitud por su frecuencia angular y su avance en un cuarto de ciclo:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

Un diferenciador tiene un cero en el origen del plano de frecuencia compleja . La ganancia de su respuesta en frecuencia aumenta a una tasa de +20 dB por década de frecuencia (para magnitudes de potencia raíz ), la misma pendiente positiva que la banda de rechazo de un filtro paso alto de ^primer orden , aunque un diferenciador no tiene frecuencia de corte ni banda de paso plana . Un filtro paso alto de orden n ^aplica aproximadamente la derivada temporal n ^{-ésima de}señales cuya banda de frecuencia es significativamente inferior a la frecuencia de corte del filtro.

Integración

Integrar cualquier sinusoide con respecto al tiempo puede considerarse como dividir su amplitud por su frecuencia angular y retrasarla un cuarto de ciclo:

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

La constante de integración $C$ será cero si los límites de integración son un múltiplo entero del período de la sinusoide.

Un integrador tiene un polo en el origen del plano de frecuencia compleja. La ganancia de su respuesta en frecuencia disminuye a una tasa de -20 dB por década de frecuencia (para magnitudes de potencia raíz), la misma pendiente negativa que la banda de rechazo de un filtro paso bajo de ^primer orden , aunque un integrador no tiene frecuencia de corte ni banda de paso plana. Un filtro paso bajo de orden n ^realiza aproximadamente la integral temporal de ^orden n de señales cuya banda de frecuencia es significativamente mayor que la frecuencia de corte del filtro.

Referencias

↑ Smith, Julius Orion. "Sinusoides" . ccrma.stanford.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .
↑ "1.2: Ondas sinusoidales" . Physics LibreTexts . 21 de febrero de 2021. Consultado el 16 de marzo de 2026 .

Enlaces externos

"Onda sinusoidal" . Misterios matemáticos . 17 de noviembre de 2021. Consultado el 30 de septiembre de 2022 .

[1] Smith, Julius Orion. "Sinusoides" . ccrma.stanford.edu . Consultado el 5 de enero de 2024 .

[2] "1.2: Ondas sinusoidales" . Physics LibreTexts . 21 de febrero de 2021. Consultado el 16 de marzo de 2026 .

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