brecha de Coulomb

Introducida por primera vez por M. Pollak, ^{[ 1 ]} la brecha de Coulomb es una brecha suave en la densidad de estados (DOS) de una sola partícula de un sistema de electrones localizados que interactúan. Debido a las interacciones de Coulomb de largo alcance, la DOS de una sola partícula se anula en el potencial químico , a temperaturas suficientemente bajas, de modo que las excitaciones térmicas no borran la brecha.

A temperatura cero, un tratamiento clásico de un sistema proporciona un límite superior para la DOS cerca de la energía de Fermi , sugerido por primera vez por Efros y Shklovskii . ^{[ 2 ]} El argumento es el siguiente: Consideremos la configuración del estado fundamental del sistema. Definiendo${\displaystyle E_{i}}$como la energía de un electrón en el sitio${\displaystyle i}$Debido al desorden y a la interacción de Coulomb con todos los demás electrones (definimos esto tanto para sitios ocupados como desocupados), es fácil ver que la energía necesaria para mover un electrón de un sitio ocupado${\displaystyle i}$a un sitio desocupado${\displaystyle j}$viene dada por la expresión:

${\displaystyle \Delta E=E_{j}-E_{i}-e^{2}/r_{ij}}$.

La resta del último término explica el hecho de que${\displaystyle E_{j}}$contiene un término debido a la interacción con el electrón presente en el sitio${\displaystyle i}$, pero después de mover el electrón este término no debe considerarse. Es fácil ver a partir de esto que existe una energía${\displaystyle E_{f}}$de tal manera que todos los sitios con energías superiores a ella estén vacíos y los inferiores estén llenos (esta es la energía de Fermi, pero dado que estamos tratando con un sistema con interacciones, no es obvio a priori que todavía esté bien definida). Supongamos que tenemos una DOS de partícula única finita en la energía de Fermi,${\displaystyle g(E_{f})}$. Por cada posible transferencia de un electrón desde un sitio ocupado${\displaystyle i}$a un sitio desocupado${\displaystyle j}$, la energía invertida debería ser positiva, ya que estamos asumiendo que estamos en el estado fundamental del sistema, es decir,${\displaystyle \Delta E>=0}$. Suponiendo que tenemos un sistema grande, consideremos todos los sitios con energías en el intervalo${\displaystyle [E_{f}-\epsilon,E_{f}+\epsilon ].}$El número de estos, por suposición, es ${\displaystyle N=2\epsilon g(E_{f}).}$Como se explicó,${\displaystyle N/2}$De estos, algunos estarían ocupados y los otros desocupados. De todos los pares de sitios ocupados y desocupados, elijamos aquel donde los dos estén más cerca entre sí. Si suponemos que los sitios están distribuidos aleatoriamente en el espacio, encontramos que la distancia entre estos dos sitios es del orden de: ${\displaystyle R\sim (N/V)^{-1/d}}$, dónde${\displaystyle d}$es la dimensión del espacio. Sustituyendo la expresión para${\displaystyle N}$Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la desigualdad: ${\displaystyle E_{j}-E_{i}-Ce^{2}(\epsilon g(E_{f})/V)^{1/d}>0}$dónde${\displaystyle C}$es un coeficiente de orden unitario. Dado que ${\displaystyle E_{j}-E_{i}<2\epsilon }$, esta desigualdad se violará necesariamente para valores suficientemente pequeños${\displaystyle \epsilon }$Por lo tanto, suponiendo una DOS finita en${\displaystyle E_{f}}$condujo a una contradicción. Repitiendo el cálculo anterior bajo el supuesto de que la DOS cercana${\displaystyle E_{f}}$es proporcional a${\displaystyle (E-E_{f})^{\alpha }}$muestra que${\displaystyle \alpha >=d-1}$Este es un límite superior para la brecha de Coulomb. Efros ^{[ 3 ]} consideró excitaciones de un solo electrón y obtuvo una ecuación integro-diferencial para la DOS, mostrando que la brecha de Coulomb de hecho sigue la ecuación anterior (es decir, el límite superior es un límite ajustado).

Otros tratamientos del problema incluyen un enfoque numérico de campo medio, ^{[ 4 ]} así como tratamientos más recientes como, ^{[ 5 ]} también verificando que el límite superior sugerido anteriormente es un límite ajustado. También se realizaron muchas simulaciones de Monte Carlo, ^{[ 6 ] [ 7 ]} algunas de ellas en desacuerdo con el resultado citado anteriormente. Pocos trabajos abordan el aspecto cuántico del problema. ^{[ 8 ]} La brecha de Coulomb clásica en un sistema limpio sin desorden se captura bien dentro de la Teoría de Campo Medio Dinámico Extendido (EDMFT) respaldada por simulaciones de Monte Carlo de Metropolis. ^{[ 9 ]}

La confirmación experimental directa de la brecha se ha realizado mediante experimentos de tunelización, que sondearon la DOS de partícula única en dos y tres dimensiones. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Los experimentos mostraron claramente una brecha lineal en dos dimensiones y una brecha parabólica en tres dimensiones. Otra consecuencia experimental de la brecha de Coulomb se encuentra en la conductividad de las muestras en el régimen localizado. La existencia de una brecha en el espectro de excitaciones daría como resultado una conductividad menor que la predicha por el salto de rango variable de Mott . Si se utiliza la expresión analítica de la DOS de partícula única en la derivación de Mott, una universal${\displaystyle e^{-1/T^{1/2}}}$Se obtiene la dependencia para cualquier dimensión. ^{[ 12 ]} Se espera que la observación de esto ocurra por debajo de cierta temperatura, de modo que la energía óptima de salto sea menor que el ancho de la brecha de Coulomb. La transición de Mott al llamado salto de rango variable de Efros-Shklovskii se ha observado experimentalmente para varios sistemas. ^{[ 13 ]} Sin embargo, no se ha propuesto ninguna derivación rigurosa de la fórmula de conductividad de Efros-Shklovskii, y en algunos experimentos${\displaystyle e^{-1/T^{\alpha }}}$Se observa el comportamiento, con un valor de${\displaystyle \alpha }$Eso no encaja ni con la teoría de Mott ni con la de Efros-Shklovskii.

• Ley de Coulomb