Salto de rango variable

El artículo original de Mott introdujo una suposición simplificadora según la cual la energía de salto depende inversamente del cubo de la distancia de salto (en el caso tridimensional). Posteriormente se demostró que esta suposición era innecesaria, y esta demostración se sigue aquí. ^{[ 4 ]} En el artículo original, se observó que la probabilidad de salto a una temperatura dada dependía de dos parámetros: R , la separación espacial de los sitios, y W , su separación energética. Apsley y Hughes observaron que, en un sistema verdaderamente amorfo, estas variables son aleatorias e independientes, por lo que pueden combinarse en un único parámetro, el rango${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$entre dos sitios, lo que determina la probabilidad de saltar entre ellos.

Mott demostró que la probabilidad de saltar entre dos estados de separación espacial${\displaystyle \textstyle R}$y la separación de energía W tiene la forma:

${\displaystyle P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]}$

donde α ⁻¹ es la longitud de atenuación para una función de onda localizada similar al hidrógeno. Esto supone que el salto a un estado con mayor energía es el proceso limitante de la velocidad.

Ahora definimos${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT}$, el rango entre dos estados, por lo tanto${\displaystyle \textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})}$Los estados pueden considerarse como puntos en una matriz aleatoria de cuatro dimensiones (tres coordenadas espaciales y una coordenada energética), con la "distancia" entre ellos dada por el rango.${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$.

La conducción es el resultado de muchas series de saltos a través de esta matriz tetradimensional y, dado que se favorecen los saltos de corto alcance, es la "distancia" promedio entre vecinos más cercanos entre estados la que determina la conductividad general. Por lo tanto, la conductividad tiene la forma

${\displaystyle \sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})}$

dónde${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$es el rango promedio del vecino más cercano. El problema consiste, por lo tanto, en calcular esta cantidad.

El primer paso es obtener${\displaystyle \textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}$, el número total de estados dentro de un rango${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$de algún estado inicial en el nivel de Fermi. Para d dimensiones, y bajo supuestos particulares, esto resulta ser

${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$

dónde${\displaystyle \textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d}}}}$. Los supuestos particulares son simplemente que${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$es bastante menor que el ancho de banda y considerablemente mayor que el espaciado interatómico.

Entonces, la probabilidad de que un estado con rango${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$es el vecino más cercano en el espacio de cuatro dimensiones (o en general el espacio de ( d + 1) dimensiones) es

${\displaystyle P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]}$

la distribución del vecino más cercano.

Para el caso d -dimensional entonces

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}}$.

Esto se puede evaluar haciendo una simple sustitución de${\displaystyle \textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$en la función gamma ,${\displaystyle \textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Después de algunos cálculos algebraicos, esto da como resultado:

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}}$

y por lo tanto que

${\displaystyle \sigma \propto \exp \left(-(T_{0}/T)^{\frac {1}{d+1}}\right)}$

con una escala de temperatura definida adecuadamente${\displaystyle T_{0}}$.

Cuando la densidad de estados no es constante ( ley de potencia impar N(E)), también se recupera la conductividad de Mott, como se muestra en este artículo .