Competencia de Cournot

El modelo de competencia de Cournot se presenta típicamente para el caso de una estructura de mercado de duopolio , en la que dos empresas comparten el poder de mercado. Suponemos que existe un mercado compuesto únicamente por estas dos empresas, denotado${\displaystyle firm_{1}}$y${\displaystyle firm_{2}}$Supongamos que cada empresa enfrenta el mismo costo marginal . Es decir, para una empresa dada${\displaystyle i}$cantidad de producción de , denotada${\displaystyle q_{i}}$dónde${\displaystyle i\in \{1,2\}}$, firme${\displaystyle i}$el costo de producción${\displaystyle q_{i}}$Las unidades de producción vienen dadas por${\displaystyle C(q_{i})=\chi q_{i}}$, dónde${\displaystyle \chi }$es el costo marginal. Esta suposición nos indica que ambas empresas enfrentan el mismo costo por unidad producida. Por lo tanto, dado que la ganancia de cada empresa es igual a sus ingresos menos los costos, donde los ingresos equivalen al número de unidades producidas multiplicado por el precio de mercado, podemos denotar las funciones de ganancia para la empresa 1 y la empresa 2 de la siguiente manera:

${\displaystyle \Pi _{1}(Q)=p(Q)q_{1}-\chi q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(Q)=p(Q)q_{2}-\chi q_{2}}$

En las funciones de beneficio anteriores tenemos el precio como una función de la producción total que denotamos como${\displaystyle Q}$y para dos empresas debemos tener${\displaystyle Q=q_{1}+q_{2}}$. A modo de ejemplo, supongamos que el precio (función de demanda inversa) es lineal y tiene la forma${\displaystyle p=a-bQ}$. Por lo tanto, la función de demanda inversa se puede reescribir como${\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}}$.

Ahora, sustituyendo nuestra ecuación por precio en lugar de${\displaystyle p(Q)}$Podemos escribir la función de beneficios de cada empresa de la siguiente manera:

${\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}$

${\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}$

Dado que se supone que las empresas buscan maximizar sus beneficios, las condiciones de primer orden (CPO) para cada empresa son:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{2}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}}=a-bq_{1}-2bq_{2}-\chi =0}$

Los FOC afirman que la empresa${\displaystyle i}$está produciendo al nivel de producción que maximiza las ganancias cuando el costo marginal (${\displaystyle {\text{MC}}}$) es igual al ingreso marginal (${\displaystyle {\text{MR}}}$). Intuitivamente, esto sugiere que las empresas producirán hasta el punto en que siga siendo rentable hacerlo, ya que cualquier producción adicional más allá de este punto significará que${\displaystyle {\text{MC}}>{\text{MR}}}$y, por lo tanto, la producción más allá de este punto resulta en que la empresa pierda dinero por cada unidad adicional producida. Nótese que en la cantidad que maximiza las ganancias donde${\displaystyle {\text{MC}}={\text{MR}}}$, debemos tener${\displaystyle {\text{MC}}-{\text{MR}}=0}$Por eso igualamos a cero las ecuaciones anteriores.

Ahora que tenemos dos ecuaciones que describen los estados en los que cada empresa está produciendo en la cantidad que maximiza las ganancias, podemos simplemente resolver este sistema de ecuaciones para obtener el nivel óptimo de producción de cada empresa.${\displaystyle q_{1},q_{2}}$para las empresas 1 y 2 respectivamente. Por lo tanto, obtenemos:

${\displaystyle q_{1}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\frac {q_{2}}{2}}}$

${\displaystyle q_{2}={\frac {a-\chi }{2b}}-{\dfrac {q_{1}}{2}}}$

Estas funciones describen la cantidad óptima (que maximiza las ganancias) de producción de cada empresa, dado el precio al que se enfrentan en el mercado.${\displaystyle p}$, el costo marginal,${\displaystyle \chi }$y la cantidad de producción de las empresas rivales. Se puede pensar que estas funciones describen la "mejor respuesta" de una empresa al nivel de producción de la otra.

Ahora podemos encontrar un equilibrio de Cournot-Nash utilizando nuestras funciones de "mejor respuesta" anteriores para la cantidad de producción de las empresas 1 y 2. Recordemos que ambas empresas se enfrentan al mismo coste por unidad (${\displaystyle \chi }$) y precio (${\displaystyle p}$). Por lo tanto, utilizando esta relación simétrica entre empresas, encontramos la cantidad de equilibrio fijando${\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}}$Podemos estar seguros de que esta configuración nos da los niveles de equilibrio, ya que ninguna empresa tiene incentivos para cambiar su nivel de producción, puesto que hacerlo perjudicaría a la empresa en beneficio de su rival. Ahora, sustituyendo en${\displaystyle q^{*}}$para${\displaystyle q_{1},q_{2}}$y resolviendo obtenemos la cantidad de producción simétrica (igual para cada empresa) en equilibrio como ${\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}}$.

Este valor de equilibrio describe el nivel óptimo de producción para las empresas 1 y 2, donde cada empresa produce una cantidad de producción de${\displaystyle q^{*}}$. Por lo tanto, en equilibrio, la producción total del mercado${\displaystyle Q}$será${\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}}$.

Los ingresos que corresponden a los dos propietarios son:${\displaystyle pD_{1}}$y${\displaystyle pD_{2}}$, es decir,${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{1}}$y${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})\cdot D_{2}}$El primer propietario maximiza las ganancias optimizando el parámetro.${\displaystyle D_{1}}$bajo su control, dando la condición de que el derivado parcial de su ganancia con respecto a${\displaystyle D_{1}}$debería ser 0, y el razonamiento de imagen especular se aplica a su rival. Por lo tanto, obtenemos las ecuaciones:

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{1}f'(D_{1}+D_{2})=0}$y

${\displaystyle f(D_{1}+D_{2})+D_{2}f'(D_{1}+D_{2})=0}$.

La posición de equilibrio se encuentra resolviendo simultáneamente estas dos ecuaciones. Esto se hace más fácilmente sumándolas y restándolas, transformándolas en:

${\displaystyle D_{1}=D_{2}}$y

${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$, dónde${\displaystyle D=D_{1}+D_{2}}$.

Así, vemos que los dos propietarios suministran cantidades iguales, y que la cantidad total vendida es la raíz de una única ecuación no lineal en${\displaystyle D}$.

Cournot va más allá de esta solución simple, investigando la estabilidad del equilibrio. Cada una de sus ecuaciones originales define una relación entre${\displaystyle D_{1}}$y${\displaystyle D_{2}}$que se puede dibujar en un gráfico. Si el primer propietario estaba proporcionando cantidad${\displaystyle x_{\textsf {l}}}$, entonces el segundo propietario adoptaría la cantidad${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$desde la curva roja para maximizar sus ingresos. Pero luego, por un razonamiento similar, el primer propietario ajustará su oferta a${\displaystyle x_{\textsf {ll}}}$para darle el máximo rendimiento como lo muestra la curva azul cuando${\displaystyle D_{2}}$es igual a${\displaystyle y_{\textsf {l}}}$Esto llevará a que el segundo propietario se adapte al valor de la oferta.${\displaystyle y_{\textsf {ll}}}$y así sucesivamente hasta que se alcance el equilibrio en el punto de intersección.${\displaystyle i}$, cuyas coordenadas son${\displaystyle (x,y)}$.

Dado que los propietarios se mueven hacia la posición de equilibrio, se deduce que el equilibrio es estable, pero Cournot señala que si se intercambiaran las curvas roja y azul, esto dejaría de ser cierto. Añade que es fácil ver que el diagrama correspondiente sería inadmisible ya que, por ejemplo, necesariamente se cumple que${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$Para verificar esto, observe que cuando${\displaystyle D_{1}}$Si es 0, las dos ecuaciones se reducen a:

${\displaystyle f(D_{2})=0}$y

${\displaystyle f(D_{2})+D_{2}f'(D_{2})=0}$.

El primero de ellos corresponde a la cantidad${\displaystyle D_{2}}$se vende cuando el precio es cero (que es la cantidad máxima que el público está dispuesto a consumir), mientras que el segundo establece que la derivada de${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$con respecto a${\displaystyle D_{2}}$es 0, pero${\displaystyle D_{2}f(D_{2})}$es el valor monetario de una cantidad total de ventas${\displaystyle D_{2}}$y el punto de inflexión de este valor es un máximo. Evidentemente, la cantidad de ventas que maximiza el valor monetario se alcanza antes de la cantidad máxima de ventas posible (que corresponde a un valor de 0). Por lo tanto, la raíz${\displaystyle m_{1}}$de la primera ecuación es necesariamente mayor que la raíz${\displaystyle m_{2}}$de la segunda ecuación.

Hemos visto que el sistema de Cournot se reduce a la ecuación${\displaystyle 2f(D)+Df'(D)=0}$.${\displaystyle D}$está funcionalmente relacionado con${\displaystyle p}$a través de${\displaystyle f}$en una dirección y${\displaystyle F}$en el otro. Si reexpresamos esta ecuación en términos de${\displaystyle p}$, nos dice que${\displaystyle F(p)+2pF'(p)=0}$, que puede compararse con la ecuación${\displaystyle F(p)+pF'(p)=0}$obtenido anteriormente por monopolio.

Si graficamos otra variable${\displaystyle u}$contra${\displaystyle p}$, entonces podemos dibujar una curva de la función${\displaystyle u=-{\frac {F(p)}{F'(p)}}}$El precio de monopolio es el${\displaystyle p}$para la cual esta curva interseca la línea${\displaystyle u=p}$, mientras que el precio del duopolio viene dado por la intersección de la curva con la línea más inclinada.${\displaystyle u=2p}$. Independientemente de la forma de la curva, su intersección con${\displaystyle u=2p}$ocurre a la izquierda de (es decir, a un precio más bajo que) su intersección con${\displaystyle u=p}$Por lo tanto, los precios son más bajos en un duopolio que en un monopolio, y las cantidades vendidas son, en consecuencia, más altas.

Cuando hay${\displaystyle n}$propietarios, la ecuación de precios se convierte en${\displaystyle F(p)+npF'(p)=0}$. El precio se puede leer en el diagrama desde la intersección de${\displaystyle u=np}$Con la curva. Por lo tanto, el precio disminuye indefinidamente a medida que aumenta el número de propietarios. Con un número infinito de propietarios, el precio se vuelve cero; o, de forma más general, si consideramos los costos de producción, el precio se convierte en el costo marginal.