Primo primo

En teoría de números , los primos primos son números primos que difieren en cuatro. ^{[ 1 ]} Compárese esto con los primos gemelos , pares de números primos que difieren en dos, y los primos sexys , pares de números primos que difieren en seis.

Los primos primos (secuencias OEIS : A023200  y OEIS : A046132  en OEIS ) menores de 1000 son:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971)

El único número primo que pertenece a dos pares de primos hermanos es 7. Uno de los números n , n + 4, n + 8 siempre será divisible por 3, por lo que n = 3 es el único caso en el que los tres son primos.

Un ejemplo de un par primo primo probado grande es ( p , p + 4) para

${\displaystyle p=4111286921397\times 2^{66420}+1}$

que tiene 20008 dígitos. De hecho, esto es parte de una terna prima ya que p también es un primo gemelo (porque p − 2 también es un primo demostrado).

A diciembre de 2024 El par de primos primos más grande conocido fue hallado por S.  Batalov y tiene 86.138  dígitos. Los primos son:

${\displaystyle p=(29571282950\times (2^{190738}-1)+4)\times 2^{95369}-1}$

${\displaystyle p+4=(29571282950\times (2^{190738}-1)+4)\times 2^{95369}+3}$^{[ 2 ]}

Si se cumple la primera conjetura de Hardy-Littlewood , entonces los primos primos tienen la misma densidad asintótica que los primos gemelos . Se puede definir un análogo de la constante de Brun para primos gemelos para los primos primos, llamada constante de Brun para primos primos , omitiendo el término inicial (3, 7), mediante la suma convergente: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}$

Utilizando primos primos hasta 2 ⁴² , el valor de B ₄ fue estimado por Marek Wolf en 1996 como

${\displaystyle B_{4}\approx 1.1970449}$^{[ 4 ]}

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para cuádruples primos , que también se denota como B ₄ .

El número de Skewes para primos primos es 5206837 ( Tóth (2019) ).

• Wells, David (2011). Números primos: Las figuras más misteriosas de las matemáticas . John Wiley & Sons. pág.  33. ISBN 978-1118045718.
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (2007). Teoría de números: una introducción a través de la distribución de los números primos . Birkhäuser. 206 págs . ISBN  978-0817644727.
• Tóth, László (2019), "Sobre la densidad asintótica de k-tuplas primas y una conjetura de Hardy y Littlewood" (PDF) , Métodos computacionales en ciencia y tecnología , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.12921/cmst.2019.0000033.
• Wolf, Marek (febrero de 1998). "Paseo aleatorio sobre los números primos". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 250 ( 1–4 ): 335–344 . Bibcode : 1998PhyA..250..335W . doi : 10.1016/s0378-4371(97)00661-4 .