Problemas con los primos

En matemáticas , los problemas de Cousin son dos cuestiones en varias variables complejas que tratan sobre la existencia de funciones meromorfas especificadas en términos de datos locales. Fueron introducidos en casos particulares por Pierre Cousin en 1895. Actualmente se plantean y resuelven para cualquier variedad compleja M , en términos de condiciones sobre M.

Para ambos problemas, se da una cubierta abierta de M por conjuntos U _i , junto con una función meromorfa f _i en cada U _i .

El problema del primo primero o problema del primo aditivo supone que cada diferencia${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$es una función holomorfa , donde está definida. Pide una función meromorfa f en M tal que${\displaystyle f-f_{i}}$es holomorfa en U _i ; en otras palabras, que f comparte el comportamiento singular de la función local dada. La condición dada en la${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$Es evidentemente necesario para esto; por lo tanto, el problema se reduce a preguntar si es suficiente. El caso de una variable es el teorema de Mittag-Leffler sobre la prescripción de polos, cuando M es un subconjunto abierto del plano complejo . La teoría de superficies de Riemann muestra que se requerirá alguna restricción sobre M. El problema siempre se puede resolver en una variedad de Stein .

El problema del primo primero puede entenderse en términos de cohomología de haces de la siguiente manera. Sea K el haz de funciones meromorfas y O el haz de funciones holomorfas en M. Una sección global${\displaystyle f}$de K pasa a una sección global${\displaystyle \phi (f)}$del haz cociente K / O . La pregunta inversa es el primer problema del primo: dada una sección global de K / O , ¿existe una sección global de K de la que surja? El problema consiste, por lo tanto, en caracterizar la imagen del mapa

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la larga secuencia de cohomología exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacto, por lo que el primer problema de Cousin siempre es resoluble siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) sea nulo. En particular, según el teorema B de Cartan , el problema de Cousin siempre es resoluble si M es una variedad de Stein.

El problema del segundo primo o problema del primo multiplicativo supone que cada razón${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$es una función holomorfa no nula, donde está definida. Pide una función meromorfa f en M tal que${\displaystyle f/f_{i}}$es holomorfa y no nula. El segundo problema de Cousin es una generalización multidimensional del teorema de Weierstrass sobre la existencia de una función holomorfa de una variable con ceros prescritos.

El ataque a este problema mediante la aplicación de logaritmos , para reducirlo al problema aditivo, encuentra una obstrucción en forma de la primera clase de Chern (véase también la sucesión exponencial de haces ). En términos de teoría de haces, sea${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$sea ​​el haz de funciones holomorfas que no se desvanecen en ninguna parte, y${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$el haz de funciones meromorfas que no son idénticamente cero. Estos son entonces haces de grupos abelianos y el haz cociente.${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$está bien definido. El problema multiplicativo de Cousin busca entonces identificar la imagen del mapa cociente.${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La secuencia de cohomología de haces exactos largos asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

Por lo tanto, el problema del segundo primo es resoluble en todos los casos siempre que${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$El haz cociente${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$es el haz de gérmenes de divisores de Cartier en M. La cuestión de si toda sección global es generada por una función meromorfa es, por lo tanto, equivalente a determinar si todo fibrado de líneas en M es trivial .

El grupo de cohomología${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$para la estructura multiplicativa en${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$se puede comparar con el grupo de cohomología${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, hay una secuencia exacta de haces

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde el haz más a la izquierda es el haz localmente constante con fibra${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$. La obstrucción para definir un logaritmo al nivel de H ¹ está en${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, de la secuencia de cohomología exacta larga

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha central es un isomorfismo porque${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$para${\displaystyle q>0}$de modo que una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el segundo problema del primo sea siempre resoluble es que${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

• Teoremas A y B de Cartan