Teorema de Mittag-Leffler

En el análisis complejo , el teorema de Mittag-Leffler se refiere a la existencia de funciones meromórficas con polos prescritos . A la inversa, puede utilizarse para expresar cualquier función meromórfica como suma de fracciones parciales . Es hermano del teorema de factorización de Weierstrass , que afirma la existencia de funciones holomorfas con ceros prescritos .

El teorema recibe su nombre del matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien publicó versiones del teorema en 1876 y 1884. ^{[1] [2] [3]}

Sea un conjunto abierto en y un subconjunto cuyos puntos límite , si los hay, ocurren en el borde de . Para cada en , sea un polinomio en sin coeficiente constante, es decir, de la forma Entonces existe una función meromórfica en cuyos polos son precisamente los elementos de y tal que para cada uno de dichos polos , la función tiene solo una singularidad removible en ; en particular, la parte principal de en es . Además, cualquier otra función meromórfica en con estas propiedades se puede obtener como , donde es una función holomorfa arbitraria en . ${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle E\subconjunto U}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización E}$$estilo de visualización p_{a}(z)}$${\displaystyle 1/(za)}$$${\displaystyle p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(za)^{n}}}.}$$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle a\en E}$${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización a}$$estilo de visualización p_{a}(z)}$${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle g=f+h}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización U}$

Un posible esquema de prueba es el siguiente. Si es finito, basta con tomar . Si no es finito, considere la suma finita donde es un subconjunto finito de . Si bien es posible que no converja cuando F se acerca a E , se pueden restar funciones racionales bien elegidas con polos fuera de (proporcionados por el teorema de Runge ) sin cambiar las partes principales de y de tal manera que se garantice la convergencia. ${\estilo de visualización E}$${\textstyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$${\estilo de visualización E}$${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización E}$$Estilo de visualización S_{F}(z)$${\estilo de visualización U}$$Estilo de visualización S_{F}(z)$

Supongamos que deseamos una función meromórfica con polos simples de residuo 1 en todos los enteros positivos. Con la notación anterior, siendo y , el teorema de Mittag-Leffler afirma la existencia de una función meromórfica con parte principal en para cada entero positivo . De manera más constructiva podemos ser $${\displaystyle p_{k}(z)={\frac {1}{zk}}}$$${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$${\estilo de visualización f}$$estilo de visualización p_{k}(z)}$${\estilo de visualización z=k}$${\estilo de visualización k}$$${\displaystyle f(z)=z\sum _ {k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(zk)}}.}$$

Esta serie converge normalmente en cualquier subconjunto compacto de (como se puede demostrar usando la prueba M ) a una función meromórfica con las propiedades deseadas. ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}}$

A continuación se muestran algunos ejemplos de expansiones polares de funciones meromórficas: $${\displaystyle \tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2} }}}$$ $${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{zn\pi }}={\frac {1}{z }}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}} }}$$ $${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$

• Teorema de Riemann-Roch
• Teorema de Liouville
• Condición de Mittag-Leffler de un límite inverso
• Suma de Mittag-Leffler
• Función Mittag-Leffler

• Ahlfors, Lars (1953), Análisis complejo (3.ª ed.), McGraw Hill (publicado en 1979), ISBN 0-07-000657-1.
• Conway, John B. (1978), Funciones de una variable compleja I (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.

• "Teorema de Mittag-Leffler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]