Cubierta (topología)

En matemáticas , y más particularmente en teoría de conjuntos , una cubierta (o recubrimiento ) ^{[ 1 ]} de un conjunto${\displaystyle X}$es una familia de subconjuntos de${\displaystyle X}$cuya unión es toda de${\displaystyle X}$. Más formalmente, si${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$es una familia indexada de subconjuntos${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$(indexado por el conjunto${\displaystyle A}$), entonces${\displaystyle C}$es una portada de${\displaystyle X}$si $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=X.}$$ Así la colección${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$es una portada de${\displaystyle X}$si cada elemento de${\displaystyle X}$pertenece al menos a uno de los subconjuntos${\displaystyle U_{\alpha }}$.

Las cubiertas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto${\displaystyle X}$es un espacio topológico , entonces una cubierta${\displaystyle C}$de${\displaystyle X}$es una colección de subconjuntos${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$de${\displaystyle X}$cuya unión es todo el espacio${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$. En este caso${\displaystyle C}$Se dice que cubre${\displaystyle X}$, o que los conjuntos${\displaystyle U_{\alpha }}$cubrir${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle Y}$es un subespacio (topológico) de${\displaystyle X}$, luego una portada de${\displaystyle Y}$es una colección de subconjuntos${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$de${\displaystyle X}$cuya unión contiene${\displaystyle Y}$. Eso es,${\displaystyle C}$es una portada de${\displaystyle Y}$si $${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$$ Aquí,${\displaystyle Y}$puede estar cubierto con cualquiera de los conjuntos en${\displaystyle Y}$él mismo o se establece en el espacio padre${\displaystyle X}$.

Una portada de${\displaystyle X}$Se dice que es localmente finito si cada punto de${\displaystyle X}$tiene un vecindario que interseca solo un número finito de conjuntos en la portada. Formalmente,${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}}$es localmente finito si, para cualquier${\displaystyle x\in X}$, existe algún vecindario${\displaystyle N(x)}$de${\displaystyle x}$de tal manera que el conjunto $${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$$ es finito. Una cubierta de${\displaystyle X}$Se dice que es un punto finito si cada punto de${\displaystyle X}$está contenido en solo un número finito de conjuntos en la cubierta. ^{[ 1 ]} Una cubierta es finita en un punto si es localmente finita, aunque lo contrario no es necesariamente cierto.

Dejar${\displaystyle C}$ser una cubierta de un espacio topológico${\displaystyle X}$. Una subportada de${\displaystyle C}$es un subconjunto de${\displaystyle C}$que todavía cubre${\displaystyle X}$La portada${\displaystyle C}$Se dice que es uncubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto. Es decir, cada${\displaystyle U_{\alpha }}$está contenido en${\displaystyle T}$, dónde${\displaystyle T}$es la topología en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

Una forma sencilla de obtener una subcubierta es omitir los conjuntos contenidos en otro conjunto de la cubierta. Consideremos específicamente las cubiertas abiertas. Sea${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ser una base topológica de${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ser una cubierta abierta de${\displaystyle X}$Primero, toma${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ existe }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ tal que }}A\subseteq U\}}$. Entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es un refinamiento de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. A continuación, para cada${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$uno puede seleccionar un${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$que contiene${\displaystyle A}$(que requiere el axioma de elección). Entonces${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$es una subportada de${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$Por lo tanto, la cardinalidad de una subcubierta de una cubierta abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por consiguiente, la segunda numerabilidad implica que el espacio es Lindelöf .

Un perfeccionamiento de una portada${\displaystyle C}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$es una nueva portada${\displaystyle D}$de${\displaystyle X}$de tal manera que cada conjunto en${\displaystyle D}$está contenido en algún conjunto en${\displaystyle C}$Formalmente,

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$es un refinamiento de${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$si para todos${\displaystyle \beta \in B}$existe${\displaystyle \alpha \in A}$de tal manera que${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

En otras palabras, existe un mapa de refinamiento.${\displaystyle \phi :B\to A}$satisfactorio${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$por cada${\displaystyle \beta \in B.}$Este mapa se utiliza, por ejemplo, en la cohomología Čech de${\displaystyle X}$. ^{[ 2 ]}

Cada subcubierta es también un refinamiento, pero lo contrario no siempre es cierto. Una subcubierta se construye a partir de los conjuntos que están en la cubierta, omitiendo algunos de ellos; mientras que un refinamiento se construye a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la cubierta.

La relación de refinamiento en el conjunto de cubiertas de${\displaystyle X}$es transitivo y reflexivo , es decir, un preorden . Nunca es asimétrico para${\displaystyle X\neq \emptyset }$.

En términos generales, un refinamiento de una estructura dada es otra que en cierto sentido la contiene. Ejemplos se encuentran al particionar un intervalo (un refinamiento de${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ser${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Al subdividir complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada simplex en el complejo más fino es una cara de algún simplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales.

Otra noción de refinamiento es la del refinamiento estelar .

El lenguaje de las cubiertas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad. Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que es:

• compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita, (o equivalentemente que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);
• Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable (o equivalentemente que cada cubierta abierta tiene un refinamiento contable);
• metacompacto : si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto puntualmente finito;
• paracompacto : si toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito; y
• ortocompacto : si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que preserva el interior.

Para ver más variantes, consulte los artículos anteriores.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que tiene dimensiones de cobertura${\displaystyle n}$si cada cubierta abierta de${\displaystyle X}$tiene un refinamiento abierto puntualmente finito tal que ningún punto de${\displaystyle X}$está incluido en más de${\displaystyle n+1}$establece en el refinamiento y si${\displaystyle n}$es el valor mínimo para el cual esto es cierto. ^{[ 3 ]} Si no existe tal mínimo${\displaystyle n}$Si existe, se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

• Atlas (topología) – Conjunto de cartas que describe una variedad 
• Bornología – Generalización matemática de la acotación 
• Espacio de cobertura : tipo de mapa continuo en topología 
• Topología de Grothendieck – Estructura matemática 
• Partición de un conjunto : métodos matemáticos para agrupar elementos de un conjunto. 
• Problema de cobertura de conjuntos : un problema clásico en combinatoria. 
• Refinamiento estelar
• Subpavimento – Objeto geométrico 

• Introducción a la topología , segunda edición, Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene . Dover Publications, 1999. ISBN 0-486-40680-6
• Kelley, John L. (1975) [1955]. Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  27 (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153​​ 

• "Cobertura (de un conjunto)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]