Dimensión de cobertura de Lebesgue

En matemáticas , la dimensión de recubrimiento de Lebesgue o dimensión topológica de un espacio topológico es una de las diversas maneras de definir la dimensión del espacio de forma topológicamente invariante . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para los espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de recubrimiento de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para puntos, uno para líneas, dos para planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando qué sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .

En general, un espacio topológico X puede cubrirse mediante conjuntos abiertos , de modo que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tal que X se encuentre dentro de su unión . La dimensión de cobertura es el número más pequeño n tal que, para cada cobertura, existe un refinamiento en el que cada punto de X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de cobertura. Esta es la esencia de la definición formal que se presenta a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un entero ) que describa el espacio y que no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que sea invariante bajo homeomorfismos .

La idea general se ilustra en los diagramas que aparecen a continuación, los cuales muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.

La primera definición formal de dimensión de recubrimiento fue dada por Eduard Čech , basándose en un resultado anterior de Henri Lebesgue . ^{[ 4 ]}

Una definición moderna es la siguiente. Una cubierta abierta de un espacio topológico X es una familia${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$de conjuntos abiertos no vacíos U _α tales que no hay dos de ellos iguales y que su unión es todo el espacio,${\displaystyle \cup _{\alpha }}$U _α = X . El orden o capa de una cubierta abierta${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$= { U _α } es el número más pequeño m (si existe) para el cual cada punto del espacio pertenece a como máximo m conjuntos abiertos diferentes en la cubierta  : en otras palabras U _{α 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ U _{α m +1} =${\displaystyle \emptyset }$para cada m+1 elementos abiertos diferentes U _{α I} de la cubierta X. Un refinamiento de una cubierta abierta${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$= { U _α } es otra cubierta abierta${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$= { V _β }, de modo que cada V _β está contenido en algún U _α . Una cubierta se denomina finita si consta de un número finito de conjuntos. La dimensión de cubierta de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n tal que toda cubierta abierta finita${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$de X tiene un refinamiento abierto${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$con orden n + 1. El refinamiento${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$Siempre se puede elegir que sea finito. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, si n es finito, V _{β 1} ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V _{β n +2} =${\displaystyle \emptyset }$para β ₁ ​​, ..., β _{n +2} distintos. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene dimensión de cobertura infinita.

Como caso especial, un espacio topológico no vacío es de dimensión cero con respecto a la dimensión de recubrimiento si cada recubrimiento abierto del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos , lo que significa que cualquier punto en el espacio está contenido en exactamente un conjunto abierto de este refinamiento.

El conjunto vacío tiene dimensión de recubrimiento −1: para cualquier recubrimiento abierto del conjunto vacío, cada punto del conjunto vacío no está contenido en ningún elemento del recubrimiento, por lo que el orden de cualquier recubrimiento abierto es 0.

Cualquier recubrimiento abierto del círculo unitario tendrá un refinamiento que consiste en un conjunto de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier recubrimiento de este tipo puede refinarse aún más hasta que un punto x del círculo esté contenido en, como máximo, dos arcos abiertos. Es decir, sea cual sea el conjunto de arcos con el que comencemos, algunos pueden descartarse o reducirse, de modo que el remanente siga cubriendo el círculo, pero con simples superposiciones.

De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional puede refinarse de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos generalmente no son suficientes. Por lo tanto, la dimensión de la cubierta del disco es dos.

De forma más general, el espacio euclidiano n -dimensional${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$tiene dimensión de cobertura n .

• Los espacios homeomorfos tienen la misma dimensión de recubrimiento. Es decir, la dimensión de recubrimiento es un invariante topológico .
• La dimensión de recubrimiento de un espacio normal X es${\displaystyle \leq n}$si y solo si para cualquier subconjunto cerrado A de X , si${\displaystyle f:A\rightarrow S^{n}}$es continuo, entonces hay una extensión de${\displaystyle f}$a${\displaystyle g:X\rightarrow S^{n}}$. Aquí,${\displaystyle S^{n}}$es la esfera n -dimensional .
• Teorema de Ostrand sobre la dimensión de recubrimiento. Si X es un espacio topológico normal y${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$= { U _α } es una cubierta localmente finita de X de orden ≤ n + 1, entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n + 1, existe una familia de conjuntos abiertos disjuntos dos a dos.${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$_i ={ V _{i , α} } contracción${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, es decir V _{i , α} ⊆ U _α , y juntos cubren X . ^{[ 6 ]}

• Para un espacio paracompacto X , la dimensión de recubrimiento se puede definir equivalentemente como el valor mínimo de n , tal que cada recubrimiento abierto${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$de X (de cualquier tamaño) tiene un refinamiento abierto${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$con orden n + 1. ^{[ 7 ]} En particular, esto se cumple para todos los espacios métricos.
• Teorema de recubrimiento de Lebesgue. La dimensión de recubrimiento de Lebesgue coincide con la dimensión afín de un complejo simplicial finito .
• La dimensión de recubrimiento de un espacio normal es menor o igual que la dimensión inductiva mayor .
• La dimensión de cobertura de un espacio Hausdorff paracompacto${\displaystyle X}$es mayor o igual a su dimensión cohomológica (en el sentido de haces ), ^{[ 8 ]} es decir, uno tiene${\displaystyle H^{i}(X,A)=0}$por cada gavilla${\displaystyle A}$de grupos abelianos en${\displaystyle X}$y cada${\displaystyle i}$mayor que la dimensión de cobertura de${\displaystyle X}$.
• En un espacio métrico , se puede reforzar la noción de multiplicidad de una cubierta: una cubierta tiene r -multiplicidad n + 1 si cada r -bola interseca con como máximo n + 1 conjuntos en la cubierta. Esta idea conduce a las definiciones de dimensión asintótica y dimensión de Assouad-Nagata de un espacio: un espacio con dimensión asintótica n es n -dimensional "a grandes escalas", y un espacio con dimensión de Assouad-Nagata n es n- dimensional "en cualquier escala".

• Teorema de extensión de Carathéodory
• Problema de cobertura de conjuntos geométricos
• Espacio metacompacto
• Colección puntual finita

• Edgar, Gerald A. (2008). «Dimensión topológica». Medida, topología y geometría fractal . Textos de pregrado en matemáticas (Segunda  edición). Springer-Verlag . pp. 85–114 . ISBN  978-0-387-74748-4MR 2356043 .​ 
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• "Dimensión de Lebesgue" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]