Grupo de cobertura

En matemáticas , un grupo de recubrimiento de un grupo topológico H es un espacio de recubrimiento G de H tal que G es un grupo topológico y la aplicación de recubrimiento p  : G → H es un homomorfismo de grupos continuo . La aplicación p se denomina homomorfismo de recubrimiento . Un caso frecuente es el de un grupo de recubrimiento doble , un recubrimiento doble topológico en el que el núcleo de p tiene orden dos; ejemplos de ello son los grupos spin , los grupos pin y los grupos metaplécticos .

Explicado a grandes rasgos, decir que, por ejemplo, el grupo metapléctico Mp _{2 n} es una doble cubierta del grupo simpléctico Sp _{2 n} significa que siempre hay dos elementos en el grupo metapléctico que representan un elemento en el grupo simpléctico.

Sea G un grupo de recubrimiento de H. El núcleo K del homomorfismo de recubrimiento es simplemente la fibra sobre la identidad en H y es un subgrupo normal discreto de G. El núcleo K es cerrado en G si y solo si G es Hausdorff (y si y solo si H es Hausdorff). En sentido inverso, si G es cualquier grupo topológico y K es un subgrupo normal discreto de G, entonces la aplicación cociente p : G → G / K es un homomorfismo de recubrimiento. 

Si G es conexo , entonces K , al ser un subgrupo normal discreto, necesariamente se encuentra en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano . En este caso, el centro de H = G / K viene dado por

${\displaystyle \mathrm {Z} (H)\cong \mathrm {Z} (G)/K.}$

Como ocurre con todos los espacios recubridores, el grupo fundamental de G se inyecta en el grupo fundamental de H. Dado que el grupo fundamental de un grupo topológico es siempre abeliano, todo grupo recubridor es un espacio recubridor normal. En particular, si G es conexo por caminos, entonces el grupo cociente π ₁ ( H ) / π ₁ ( G ) es isomorfo a K. El grupo K actúa simplemente de forma transitiva sobre las fibras (que son simplemente clases laterales izquierdas ) mediante multiplicación por la derecha. El grupo G es entonces un fibrado principal de K sobre H.

Si G es un grupo de recubrimiento de H, entonces los grupos G y H son localmente isomorfos . Además, dados dos grupos conexos localmente isomorfos cualesquiera H ₁ y H ₂ , existe un grupo topológico G con subgrupos normales discretos K ₁ y K ₂ tales que H ₁ es isomorfo a G / K ₁ y H ₂ es isomorfo a G / K ₂ .

Sea H un grupo topológico y sea G un espacio de recubrimiento de H. Si G y H son ambos conexos por caminos y localmente conexos por caminos , entonces para cualquier elección de elemento e * en la fibra sobre e ∈ H , existe una única estructura de grupo topológico en G , con e * como identidad, para la cual el mapa de recubrimiento p  : G → H es un homomorfismo.

La construcción es la siguiente. Sean a y b elementos de G y sean f y g caminos en G que comienzan en e * y terminan en a y b respectivamente. Definimos un camino h  : I → H mediante h ( t ) = p ( f ( t )) p ( g ( t )) . Por la propiedad de elevación de caminos de los espacios recubridores, existe una elevación única de h a G con punto inicial e *. El producto ab se define como el punto final de este camino. Por construcción, tenemos p ( ab ) = p ( a ) p ( b ) . Hay que demostrar que esta definición es independiente de la elección de los caminos f y g , y también que las operaciones de grupo son continuas.

Alternativamente, la ley de grupo en G se puede construir elevando la ley de grupo H × H → H a G , utilizando la propiedad de elevación del mapa de recubrimiento G × G → H × H.

El caso no conexo resulta interesante y se estudia en los artículos de Taylor y Brown-Mucuk citados a continuación. Básicamente, existe una obstrucción a la existencia de un recubrimiento universal que sea también un grupo topológico tal que la aplicación de recubrimiento sea un morfismo: esta obstrucción reside en el tercer grupo de cohomología del grupo de componentes de G con coeficientes en el grupo fundamental de G en la identidad.

Si H es un grupo conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo , entonces tiene un recubrimiento universal . Mediante la construcción anterior, el recubrimiento universal puede transformarse en un grupo topológico con la aplicación de recubrimiento como un homomorfismo continuo. Este grupo se denomina grupo de recubrimiento universal de H. Existe también una construcción más directa, que se presenta a continuación.

Sea PH el grupo de caminos de H. Es decir, PH es el espacio de caminos en H con base en la identidad junto con la topología compacta-abierta . El producto de caminos viene dado por la multiplicación puntual, es decir, ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ) . Esto le da a PH la estructura de un grupo topológico. Existe un homomorfismo de grupos natural PH → H que envía cada camino a su extremo. La cubierta universal de H viene dada por el cociente de PH por el subgrupo normal de bucles homotópicos nulos . La proyección PH → H desciende al cociente dando la aplicación de cubierta. Se puede demostrar que la cubierta universal es simplemente conexa y que el núcleo es simplemente el grupo fundamental de H. Es decir, tenemos una sucesión exacta corta.

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1}$

donde ~ H es la cubierta universal de H. Concretamente, el grupo de cubierta universal de H es el espacio de clases de homotopía de caminos en H con multiplicación puntual de caminos. La aplicación de cubierta envía cada clase de camino a su extremo.

Como se sugiere anteriormente, si un grupo tiene un grupo de recubrimiento universal (si es conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo), con centro discreto, entonces el conjunto de todos los grupos topológicos que son cubiertos por el grupo de recubrimiento universal forman un retículo, que corresponde al retículo de subgrupos del centro del grupo de recubrimiento universal: la inclusión de subgrupos corresponde al recubrimiento de grupos cociente. El elemento máximo es el grupo de recubrimiento universal ~ H , mientras que el elemento mínimo es el grupo de recubrimiento universal módulo su centro, ~ H / Z( ~ H ) .

Esto se corresponde algebraicamente con la extensión central perfecta universal (llamada "grupo de recubrimiento", por analogía) como elemento máximo, y un grupo módulo su centro como elemento mínimo.

Esto es particularmente importante para los grupos de Lie, ya que estos grupos son todas las realizaciones (conectadas) de un álgebra de Lie particular. Para muchos grupos de Lie, el centro es el grupo de matrices escalares, y por lo tanto, el grupo módulo su centro es la proyectividad del grupo de Lie. Estas cubiertas son importantes para estudiar las representaciones proyectivas de los grupos de Lie, y las representaciones de espín conducen al descubrimiento de los grupos de espín : una representación proyectiva de un grupo de Lie no necesariamente proviene de una representación lineal del grupo, pero sí proviene de una representación lineal de algún grupo de cubierta, en particular el grupo de cubierta universal. El análogo finito condujo al grupo de cubierta o cubierta de Schur, como se mencionó anteriormente.

Un ejemplo clave surge de SL ₂ ( R ) , que tiene centro {±1} y grupo fundamental Z. Es un recubrimiento doble del grupo lineal especial proyectivo sin centro PSL ₂ ( R ), que se obtiene tomando el cociente por el centro. Por descomposición de Iwasawa , ambos grupos son fibrados circulares sobre el semiplano superior complejo, y su recubrimiento universal${\displaystyle {\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}}$es un fibrado de líneas real sobre el semiplano que forma una de las ocho geometrías de Thurston . Dado que el semiplano es contraíble, todas las estructuras de fibrado son triviales. La preimagen de SL ₂ ( Z ) en el recubrimiento universal es isomorfa al grupo de trenzas en tres hebras.

Las definiciones y construcciones anteriores se aplican al caso especial de los grupos de Lie . En particular, todo recubrimiento de una variedad es una variedad, y el homomorfismo de recubrimiento se convierte en una aplicación lisa . Del mismo modo, dado cualquier subgrupo normal discreto de un grupo de Lie, el grupo cociente es un grupo de Lie y la aplicación cociente es un homomorfismo de recubrimiento.

Dos grupos de Lie son localmente isomorfos si y solo si sus álgebras de Lie son isomorfas. Esto implica que un homomorfismo φ  : G → H de grupos de Lie es un homomorfismo de recubrimiento si y solo si el mapa inducido en las álgebras de Lie

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$

es un isomorfismo.

Dado que para cada álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Existe un único grupo de Lie simplemente conexo G con álgebra de Lie .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$⁠ , de esto se deduce que el grupo derecubrimiento universal de un grupo de Lie conexo H es el grupo de Lie simplemente conexo (único) G que tiene la misma álgebra de Lie que H.

• El grupo de recubrimiento universal del grupo circular T es el grupo aditivo de los números reales ( R , +) con el homomorfismo de recubrimiento dado por la aplicación R → T  : x ↦ exp(2 πix ) . El núcleo de esta aplicación es isomorfo a Z.
• Para cualquier entero n tenemos un grupo de recubrimiento del círculo por sí mismo T → T que envía z a z ⁿ . El núcleo de este homomorfismo es el grupo cíclico que consta de las raíces n- ésimas de la unidad .
• El grupo de rotación SO(3) tiene como recubrimiento universal el grupo SU(2) , que es isomorfo al grupo de versores en los cuaterniones. Este es un recubrimiento doble ya que el núcleo tiene orden 2. (Véase también los tangloides ).
• El grupo unitario U( n ) está cubierto por el grupo compacto T × SU( n ) con el homomorfismo de recubrimiento dado por p ( z , A ) = zA . El recubrimiento universal es R × SU( n ) .
• El grupo ortogonal especial SO( n ) tiene una doble cubierta llamada grupo de espín Spin( n ). Para n ≥ 3 , el grupo de espín es la cubierta universal de SO( n ).
• Para n ≥ 2 , la cubierta universal del grupo lineal especial SL( n , R ) no es un grupo matricial (es decir, no tiene representaciones finitas de dimensión ).

• Pontryagin, Lev S. (1986). Grupos topológicos . Trad. del ruso por Arlen Brown y PSV Naidu (3.ª  ed.). Gordon & Breach Science. ISBN 2-88124-133-6.
• Taylor, Robert L. (1954). "Grupos de recubrimiento de grupos topológicos no conexos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 5 (5): 753– 768. doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR 2031861. MR 0087028 .  
• Brown, Ronald; Mucuk, Osman (1994). "Revisión de grupos de cobertura de grupos topológicos no conexos". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 115 (1): 97– 110. arXiv : math/0009021 . Bibcode : 2000math......9021B . CiteSeerX 10.1.1.236.9436 . doi : 10.1017/S0305004100071942 .