Conectado de forma semilocal simplemente

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la propiedad de conexidad semilocal (o conexidad semilocal ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es una condición de conexidad local que surge en la teoría de espacios recubridores . En términos generales, un espacio topológico X satisface la propiedad si para cada punto x en X cualquier bucle suficientemente pequeño que pase por x puede contraerse dentro de X hasta un punto. Esta condición es necesaria para la mayor parte de la teoría de espacios recubridores, incluyendo la existencia de un recubrimiento universal y la correspondencia de Galois entre espacios recubridores y subgrupos del grupo fundamental .

La mayoría de los espacios “agradables”, como las variedades y los complejos CW, son semilocalmente simplemente conexos, y los espacios topológicos que no satisfacen esta condición se consideran algo patológicos . El ejemplo estándar de un espacio no semilocalmente simplemente conexo es el pendiente hawaiano .

Un espacio X se denomina semilocalmente simplemente conexo si cada punto x en X tiene un entorno U con la propiedad de que cada bucle en U que comienza en x puede contraerse dentro de X al bucle constante en x (es decir, cada bucle en U que comienza y termina en x es nulo-homotópico en X a través de una homotopía que preserva el punto base).

Nótese que si U satisface esta condición, también lo hace cualquier entorno más pequeño de x , de modo que x tiene entornos arbitrariamente pequeños que satisfacen la condición. El entorno U no tiene por qué ser simplemente conexo : aunque cada bucle en U con base en x debe ser contraíble dentro de X , no es necesario que la contracción tenga lugar dentro de U. Por esta razón, un espacio puede ser semilocalmente simplemente conexo sin ser localmente simplemente conexo . Además, no es necesario que cada bucle en U sea nulohomotópico en X ; solo los bucles en U con base en x deben ser nulohomotópicos en X. En general, un espacio semilocalmente simplemente conexo puede tener puntos x con entornos arbitrariamente pequeños que contienen bucles (que no pasan por x ) que no pueden contraerse a un punto, incluso con homotopías en X.

Una formulación equivalente de la definición es que cada punto en${\displaystyle x\in X}$tiene un vecindario abierto${\displaystyle U}$para el cual el homomorfismo${\displaystyle \pi _{1}(U,x)\to \pi _{1}(X,x)}$inducido por el mapa de inclusión de${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$es trivial. ^{[ 1 ]} Aquí,${\displaystyle \pi _{1}(U,x)}$es el grupo fundamental de${\displaystyle U}$en relación con el punto de referencia${\displaystyle x;}$y de manera similar para${\displaystyle \pi _{1}(X,x).}$

La mayoría de los teoremas principales sobre espacios recubridores , incluyendo la existencia de un recubrimiento universal y la correspondencia de Galois, requieren que un espacio sea conexo por caminos , localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo, una condición conocida como no bucleable ( délaçable en francés). ^{[ 3 ]} En particular, esta condición es necesaria para que un espacio localmente conexo por caminos tenga un espacio recubridor simplemente conexo.

Un ejemplo sencillo de un espacio que no es semilocalmente simplemente conexo es el pendiente hawaiano : la unión de los círculos en el plano euclidiano con centros (1/ n , 0) y radios 1/ n , donde n es un número natural . Demos a este espacio la topología de subespacio . Entonces, todos los entornos del origen contienen círculos que no son nulohomotópicos .

El pendiente hawaiano también puede utilizarse para construir un espacio semilocalmente simplemente conexo que no lo es localmente . En particular, el cono del pendiente hawaiano es contraíble y, por lo tanto, semilocalmente simplemente conexo, pero claramente no lo es localmente.

En términos de la topología natural del grupo fundamental, un espacio localmente conexo por caminos es semilocalmente simplemente conexo si y solo si su grupo fundamental cuasitopológico es discreto.

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