La paradoja de Cramer

En matemáticas , la paradoja de Cramer o paradoja de Cramer-Euler ^{[ 1 ]} afirma que el número de puntos de intersección de dos curvas de orden superior en el plano puede ser mayor que el número de puntos arbitrarios necesarios para definir una de dichas curvas. Recibe su nombre del matemático ginebrino Gabriel Cramer .

Este fenómeno parece paradójico porque los puntos de intersección no definen de forma unívoca ninguna curva (pertenecen al menos a dos curvas diferentes) a pesar de su gran número. Es el resultado de una comprensión ingenua o una aplicación errónea de dos teoremas:

• El teorema de Bézout establece que el número de puntos de intersección de dos curvas algebraicas es igual al producto de sus grados, siempre que se cumplan ciertas condiciones necesarias. En particular, dos curvas de grado${\displaystyle n}$generalmente tienen${\displaystyle n^{2}}$puntos de intersección.
• El teorema de Cramer establece que una curva de grado${\displaystyle n}$está determinado por${\displaystyle n(n+3)/2}$puntos, nuevamente asumiendo que se cumplen ciertas condiciones.

A pesar de${\displaystyle n\geq 3}$,${\displaystyle n^{2}\geq n(n+3)/2}$, por lo que ingenuamente parecería que para el grado tres o superior, la intersección de dos curvas tendría suficientes puntos para definir cualquiera de las curvas de manera única. Sin embargo, debido a que estos puntos pertenecen a ambas curvas, no definen una curva única de este grado. La resolución de la paradoja es que la${\displaystyle n(n+3)/2}$El límite en el número de puntos necesarios para definir una curva solo se aplica a puntos en posición general . En ciertos casos degenerados ,${\displaystyle n(n+3)/2}$Los puntos no son suficientes para determinar una curva de forma unívoca.

La paradoja fue publicada por primera vez por Colin Maclaurin en 1720. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Cramer y Leonhard Euler intercambiaron cartas sobre la paradoja en 1744 y 1745, y Euler le explicó el problema a Cramer. ^{[ 4 ]} Se la conoce como la paradoja de Cramer después de aparecer en su libro de 1750 Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques , aunque Cramer citó a Maclaurin como la fuente del enunciado. ^{[ 5 ]} Casi al mismo tiempo, Euler publicó ejemplos que mostraban una curva cúbica que no estaba definida unívocamente por 9 puntos ^{[ 4 ] [ 6 ]} y discutió el problema en su libro Introductio in analysin infinitorum . El resultado fue divulgado por James Stirling y explicado por Julius Plücker . ^{[ 1 ]}

Para curvas de primer orden (es decir, líneas ) la paradoja no se produce, porque${\displaystyle n=1}$, entonces${\displaystyle n^{2}=1<n(n+3)/2=2}$En general, dos líneas distintas se intersecan en un único punto, a menos que tengan la misma pendiente, en cuyo caso no se intersecan en absoluto. Un solo punto no basta para definir una línea (se necesitan dos); por el punto de intersección pasan no solo las dos líneas dadas, sino también un número infinito de otras líneas.

Dos cónicas no degeneradas se intersecan en un máximo de cuatro puntos finitos del plano real, que es precisamente el número máximo que predice el teorema de Bézout. Sin embargo, se necesitan cinco puntos para definir una cónica no degenerada, por lo que, de nuevo, en este caso no hay paradoja.

En una carta a Euler, Cramer señaló que las curvas cúbicas${\displaystyle x^{3}-x=0}$y${\displaystyle y^{3}-y=0}$Se intersecan en exactamente nueve puntos. La primera ecuación define tres líneas verticales.${\displaystyle x=-1}$,${\displaystyle x=0}$, y${\displaystyle x=1}$De manera similar, la segunda ecuación define tres líneas horizontales que se intersecan en una cuadrícula de nueve puntos. Por lo tanto, nueve puntos no son suficientes para determinar de forma unívoca una curva cúbica en casos degenerados como estos.

Una ecuación bivariada de grado n tiene 1 + n ( n + 3) / 2 coeficientes, pero el conjunto de puntos descritos por la ecuación se conserva si se divide por uno de los coeficientes distintos de cero, quedando un coeficiente igual a 1 y solo n ( n + 3) / 2 coeficientes para caracterizar la curva. Dados n ( n + 3) / 2 puntos ( x _i , y _i ), cada uno de estos puntos puede usarse para crear una ecuación separada al sustituirla en la ecuación polinómica general de grado n , lo que da n ( n + 3) / 2 ecuaciones lineales en los n ( n + 3) / 2 coeficientes desconocidos. Si este sistema no es degenerado en el sentido de tener un determinante distinto de cero , los coeficientes desconocidos están determinados de forma única y, por lo tanto, la ecuación polinómica y su curva están determinadas de forma única. Pero si este determinante es cero, el sistema es degenerado y los puntos pueden estar en más de una curva de grado n .

• Ed Sandifer "Cramer’s Paradox"
• Cramer's Paradox at MathPages
• Robert E. Bradley & Lee Stemkoski "When Nine Points Are Worth But Eight: Euler’s Resolution of Cramer’s Paradox – Euler's Letter to Cramer"