Gramiano cruzado

En la teoría de control , el Gramiano cruzado (${\displaystyle W_{X}}$, también conocido por${\displaystyle W_{CO}}$) es una matriz de Gram que se utiliza para determinar cuán controlable y observable es un sistema lineal. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para el sistema lineal estable e invariante en el tiempo

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu\,}$

${\displaystyle y=Cx\,}$

La cruz de Gram se define como:

${\displaystyle W_{X}:=\int _{0}^{\infty }e^{At}BCe^{At}dt\,}$

y por lo tanto también viene dada por la solución de la ecuación de Sylvester :

${\displaystyle AW_{X}+W_{X}A=-BC\,}$

Esto significa que la matriz de Gram cruzada no es estrictamente una matriz de Gram , ya que generalmente no es ni semidefinida positiva ni simétrica.

El triple${\displaystyle (A,B,C)}$es controlable y observable , y por lo tanto mínimo, si y solo si la matriz${\displaystyle W_{X}}$es no singular , (es decir${\displaystyle W_{X}}$tiene rango completo, para cualquier${\displaystyle t>0}$).

Si el sistema asociado${\displaystyle (A,B,C)}$es además simétrico, de modo que existe una transformación${\displaystyle J}$con

${\displaystyle AJ=JA^{T}\,}$

${\displaystyle B=JC^{T}\,}$

entonces el valor absoluto de los autovalores de la Gramiana cruzada es igual a los valores singulares de Hankel : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle |\lambda (W_{X})|={\sqrt {\lambda (W_{C}W_{O})}}.\,}$

De este modo, la truncación directa de la descomposición en valores propios del Gramiano cruzado permite la reducción del orden del modelo (véase) sin un procedimiento de balanceo en contraposición al truncamiento balanceado .

La Gramiana cruzada también tiene aplicaciones en el control descentralizado , el análisis de sensibilidad y la transformada de dispersión inversa . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• Gramiano de controlabilidad
• Observabilidad Gramiano