La conjetura de Crouzeix

La conjetura de Crouzeix es un problema sin resolver en el análisis matricial . Fue propuesta por Michel Crouzeix en 2004, ^{[ 1 ]} y se puede enunciar de la siguiente manera:

${\displaystyle \|f(A)\|\leq 2\sup _{z\in W(A)}|f(z)|,}$

donde el conjunto${\displaystyle W(A)}$es el campo de valores de una matriz compleja n × n (es decir, cuadrada )${\displaystyle A}$ y${\displaystyle f}$es una función compleja que es analítica en el interior de${\displaystyle W(A)}$y continua hasta el límite de${\displaystyle W(A)}$Reformulada ligeramente, la conjetura también puede enunciarse de la siguiente manera: para todas las matrices cuadradas complejas${\displaystyle A}$y todos los polinomios complejos${\displaystyle p}$:

${\displaystyle \|p(A)\|\leq 2\sup _{z\in W(A)}|p(z)|}$

se cumple, donde la norma del lado izquierdo es la norma 2 del operador espectral.

El teorema de Crouzeix , demostrado en 2007, establece que: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \|f(A)\|\leq 11.08\sup _{z\in W(A)}|f(z)|}$

(la constante${\displaystyle 11.08}$ es independiente de la dimensión de la matriz , por lo que es transferible a entornos de dimensión infinita).

Michel Crouzeix y César Palencia demostraron en 2017 que el resultado se mantiene para${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$, ^{[ 3 ]} mejorando la constante original de${\displaystyle 11.08}$. Más recientemente, se han obtenido mejoras dependientes de la dimensión: Malman, Mashreghi, O'Loughlin y Ransford demostraron que para cada dimensión fija${\displaystyle N}$existe una constante${\displaystyle C_{N}<1+{\sqrt {2}}}$de tal manera que la desigualdad se cumple para todos${\displaystyle N\times N}$matrices. ^{[ 4 ]}

Trabajos relacionados conectan la constante en desigualdades de tipo Crouzeix con constantes de configuración derivadas del operador de Neumann-Poincaré y producen mejoras dependientes del dominio de la cota de Crouzeix-Palencia en ciertos entornos. ^{[ 5 ]}

La conjetura aún no probada afirma que la constante puede refinarse a${\displaystyle 2}$.

Si bien se desconoce el caso general, se sabe que la conjetura se cumple para algunos casos especiales. Por ejemplo, se cumple para todas las matrices normales ^{[ 6 ]} , para matrices tridiagonales de 3×3 con un campo elíptico de valores centrado en un valor propio ^{[ 7 ]} y para matrices generales de n × n que son casi bloques de Jordan ^{[ 6 ]} . Además, Anne Greenbaum y Michael L. Overton proporcionaron evidencia numérica que respalda la conjetura de Crouzeix ^{[ 8 ] .}

• Ransford, Thomas; Schwenninger, Felix L. (2018-03-01). "Observaciones sobre la prueba de Crouzeix-Palencia de que el rango numérico es un${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})}$-Conjunto espectral". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 39 (1): 342– 345. arXiv : 1708.08633 . doi : 10.1137/17M1143757 . S2CID 43945191 . 
• Gorkin, Pamela; Bickel, Kelly (27-10-2018). "Rango numérico y compresiones del desplazamiento". arXiv : 1810.11680 [ math.FA ].

• La desigualdad de Von Neumann