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Análisis matricial

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal y aplicaciones, el análisis matricial es el estudio de las matrices y sus propiedades algebraicas. [ 1 ] Algunos temas particu...

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En matemáticas , particularmente en álgebra lineal y aplicaciones, el análisis matricial es el estudio de las matrices y sus propiedades algebraicas. [ 1 ] Algunos temas particulares, entre muchos, incluyen: operaciones definidas sobre matrices (como la suma de matrices , la multiplicación de matrices y operaciones derivadas de estas), funciones de matrices (como la exponenciación de matrices y el logaritmo de matrices , e incluso senos y cosenos, etc. de matrices), y los valores propios de matrices ( descomposición en valores propios de una matriz , teoría de perturbación de valores propios ). [ 2 ]

Espacios matriciales

El conjunto de todas las matrices m × n sobre un cuerpo F, denotado en este artículo como M mn ( F ), forma un espacio vectorial . Ejemplos de F incluyen el conjunto de números racionales.Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, los números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }y un conjunto de números complejosdo{\displaystyle \mathbb {C} }Los espacios M mn ( F ) y M pq ( F ) son espacios diferentes si m y p son diferentes, y si n y q son diferentes; por ejemplo, M 32 ( F ) ≠ M 23 ( F ). Dos matrices m × n A y B en M mn ( F ) se pueden sumar para formar otra matriz en el espacio M mn ( F ):

A,B∈METROmetronorte(F),A+B∈METROmetronorte(F){\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf {A} +\mathbf {B} \in M_{mn}(F)}

y multiplicada por un α en F , para obtener otra matriz en M mn ( F ):

α∈F,αA∈METROmetronorte(F){\displaystyle \alpha \in F\,,\quad \alpha \mathbf {A} \in M_{mn}(F)}

Combinando estas dos propiedades, una combinación lineal de matrices A y B está en M mn ( F ) es otra matriz en M mn ( F ):

αA+βB∈METROmetronorte(F){\displaystyle \alpha \mathbf {A} +\beta \mathbf {B} \in M_{mn}(F)}

donde α y β son números en F.

Cualquier matriz puede expresarse como una combinación lineal de matrices base, que desempeñan el papel de vectores base para el espacio de matrices. Por ejemplo, para el conjunto de matrices de 2 × 2 sobre el campo de los números reales,METRO22(R){\displaystyle M_{22}(\mathbb {R} )}, un conjunto base legítimo de matrices es:

(1000),(0100),(0010),(0001),{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}

porque cualquier matriz de 2 × 2 se puede expresar como:

(abdod)=a(1000)+b(0100)+do(0010)+d(0001),{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,}

donde a , b , c , d son números reales. Esta idea se aplica a otros campos y matrices de dimensiones superiores.

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada es una propiedad importante. El determinante indica si una matriz es invertible (es decir, si su inversa existe cuando el determinante es distinto de cero). Los determinantes se utilizan para hallar los autovalores de las matrices (véase más adelante) y para resolver sistemas de ecuaciones lineales (véase la regla de Cramer ).

Valores propios y vectores propios de matrices

Definiciones

Una matriz A de n × n tiene vectores propios x y valores propios λ definidos por la relación:

Aincógnita=λincógnita{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }

En otras palabras, la multiplicación matricial de A seguida de un vector propio x (en este caso, una matriz columna n -dimensional ) es equivalente a multiplicar el vector propio por el valor propio. Para una matriz n × n , existen n valores propios. Los valores propios son las raíces del polinomio característico :

pagA(λ)=det(A−λI)=0{\displaystyle p_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}

donde I es la matriz identidad n × n .

Las raíces de los polinomios, en este contexto los autovalores, pueden ser todas diferentes o algunas iguales (en cuyo caso el autovalor tiene multiplicidad , es decir, el número de veces que aparece). Tras calcular los autovalores, los autovectores correspondientes se pueden obtener mediante la ecuación definitoria.

Perturbaciones de los valores propios

Similitud de matrices

Dos matrices n × n , A y B, son similares si están relacionadas por una transformación de similitud :

B=PAGAPAG−1{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}}

La matriz P se denomina matriz de similitud y es necesariamente invertible .

Similitud unitaria

Formas canónicas

Forma escalonada de filas

Jordan forma normal

Forma canónica de Weyr

Forma normal de Frobenius

Factorización triangular

descomposición LU

La descomposición LU divide una matriz en el producto matricial de una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior.

Normas matriciales

Dado que las matrices forman espacios vectoriales, se pueden formular axiomas (análogos a los de los vectores) para definir el "tamaño" de una matriz determinada. La norma de una matriz es un número real positivo.

Definición y axiomas

Para todas las matrices A y B en M mn ( F ), y todos los números α en F , una norma matricial, delimitada por barras verticales dobles || ... ||, cumple: [ nota 1 ]

‖A‖≥0{\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geq 0}
con igualdad solo para A = 0 , la matriz cero .
‖αA‖=|α|‖A‖{\displaystyle \|\alpha \mathbf {A} \|=|\alpha |\|\mathbf {A} \|}
‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖{\displaystyle \|\mathbf {A} +\mathbf {B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}

norma de Frobenius

La norma de Frobenius es análoga al producto escalar de vectores euclidianos; se multiplican los elementos de la matriz uno por uno, se suman los resultados y luego se toma la raíz cuadrada positiva :

‖A‖=A:A=∑i=1metro∑j=1norte(Aij)2{\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(A_{ij})^{2}}}}

Se define para matrices de cualquier dimensión (es decir, sin restricciones a matrices cuadradas).

Matrices definidas positivas y semidefinidas

Funciones

Los elementos de una matriz no se limitan a números constantes, también pueden ser variables matemáticas .

Funciones de matrices

Una función de matriz recibe una matriz como entrada y devuelve otra cosa (un número, un vector, una matriz, etc.).

Funciones con valores matriciales

Una función que acepta valores matriciales recibe un parámetro (un número, un vector, una matriz, etc.) y devuelve una matriz.

Véase también

Otras ramas del análisis

Otros conceptos de álgebra lineal

Tipos de matriz

funciones matriciales

Notas a pie de página

  1. ↑ Algunos autores, por ejemplo Horn y Johnson, utilizan barras verticales triples en lugar de dobles: ||| A |||.

Referencias

Notas

  1. ↑ RA Horn, CR Johnson (2012). Análisis matricial (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-052-183-940-2.
  2. ↑ NJ Higham (2000). Funciones de matrices: teoría y computación . SIAM. ISBN 089-871-777-9.

Lecturas adicionales

  • C. Meyer (2000). Análisis matricial y álgebra lineal aplicada: Libro y manual de soluciones . Vol.  2. SIAM. ISBN 089-871-454-0.
  • TS Shores (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado . Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
  • Rajendra Bhatia (1997). Análisis matricial . Serie Análisis matricial. Vol.  169. Springer. ISBN 038-794-846-5.
  • Alan J. Laub (2012). Análisis computacional de matrices . SIAM. ISBN 978-161-197-221-4.
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