Cumulante

Algunos autores ^{[ 2 ] [ 3 ]} prefieren definir la función generadora de cumulantes como el logaritmo natural de la función característica , que a veces también se denomina segunda función característica , ^{[ 4 ]} segunda característica , ^{[ 5 ]} o exponente característico , ^{[ 6 ]}$${\displaystyle H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots }$$

Una ventaja de H ( t ) —en cierto sentido, la función K ( t ) evaluada para argumentos puramente imaginarios— es que E[ e ^itX ] está bien definida para todos los valores reales de t, incluso cuando E[ e ^tX ] no lo está , como puede ocurrir cuando hay una probabilidad "excesiva" de que X tenga una magnitud grande. Aunque la función H ( t ) estará bien definida, imitará a K ( t ) en términos de la longitud de su serie de Maclaurin , que puede no extenderse más allá del orden lineal en el argumento t (o, rara vez, incluso hasta él) , y en particular, el número de cumulantes bien definidos no cambiará. Sin embargo, incluso cuando H ( t ) no tiene una serie de Maclaurin larga, puede usarse directamente para analizar y, en particular, para sumar variables aleatorias. Tanto la distribución de Cauchy (también llamada lorentziana) como, de forma más general, las distribuciones estables (relacionadas con la distribución de Lévy ) son ejemplos de distribuciones para las cuales los desarrollos en serie de potencias de las funciones generadoras tienen solo un número finito de términos bien definidos. 

Todos los cumulantes de orden superior son funciones polinómicas de los momentos centrales, con coeficientes enteros, pero solo en los grados 2 y 3 los cumulantes son realmente momentos centrales.

Dejar${\textstyle \kappa _{n}(X)}$sean los cumulantes,${\textstyle m(X):=\operatorname {E} \left[X\right]}$ser la media, y${\textstyle \mu _{n}(X):=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{n}\right]={}}$sean los momentos centrales. Entonces:

• ${\textstyle \kappa _{1}=m=\operatorname {mean} (X)}$(la media).
• ${\textstyle \kappa _{2}=\mu _{2}=\operatorname {var} (X)}$(la varianza, o segundo momento central).
• ${\textstyle \kappa _{3}=\mu _{3}}$.
• ${\textstyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}}$(Este es el primer caso en el que los cumulantes no son simplemente momentos o momentos centrales. Los momentos centrales de grado superior a 3 carecen de la propiedad acumulativa).
• ${\textstyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}}$.

Dados los resultados para los cumulantes de la distribución normal , cabría esperar encontrar familias de distribuciones para las cuales κ _m = κ _{m +1} = ⋯ = 0 para algún m > 3 , con los cumulantes de orden inferior (órdenes 3 a m − 1 ) distintos de cero. No existen tales distribuciones. ^{[ 8 ]} El resultado subyacente aquí es que la función generadora de cumulantes no puede ser un polinomio de orden finito de grado mayor que  2.

La función generadora de momentos viene dada por: $${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$$

Por lo tanto, la función generadora de cumulantes es el logaritmo de la función generadora de momentos. $${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$$

El primer cumulante es el valor esperado ; el segundo y el tercer cumulante son respectivamente el segundo y el tercer momento central (el segundo momento central es la varianza ); pero los cumulantes superiores no son ni momentos ni momentos centrales, sino funciones polinómicas más complejas de los momentos.

Los momentos se pueden recuperar en términos de cumulantes evaluando la n -ésima derivada de${\textstyle \exp(K(t))}$en​${\displaystyle t=0}$⁠ , $${\displaystyle \mu '_{n}=M^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\exp(K(t))}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

Asimismo, los cumulantes pueden recuperarse en términos de momentos evaluando la n- ésima derivada de${\textstyle \log M(t)}$en​${\displaystyle t=0}$⁠ , $${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\log M(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}.}$$

La expresión explícita para el n -ésimo momento en términos de los primeros n cumulantes, y viceversa, se puede obtener utilizando la fórmula de Faà di Bruno para derivadas de orden superior de funciones compuestas. En general, tenemos $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{n-k+1})}$$$${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}),}$$ dónde${\textstyle B_{n,k}}$son polinomios de Bell incompletos (o parciales) .

De igual modo, si la media viene dada por${\textstyle \mu }$, la función generadora del momento central viene dada por $${\displaystyle C(t)=\operatorname {E} [e^{t(x-\mu )}]=e^{-\mu t}M(t)=\exp(K(t)-\mu t),}$$ y el n -ésimo momento central se obtiene en términos de cumulantes como $${\displaystyle \mu _{n}=C^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\exp(K(t)-\mu t)\right|_{t=0}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0,\kappa _{2},\ldots ,\kappa _{n-k+1}).}$$

Además, para n > 1 , el n -ésimo cumulante en términos de los momentos centrales es $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{n}&=K^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}(\log C(t)+\mu t)\right|_{t=0}\\[4pt]&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(0,\mu _{2},\ldots ,\mu _{n-k+1}).\end{aligned}}}$$

El momento n -ésimo μ ′ _n es un polinomio de grado n en los primeros n cumulantes. Las primeras expresiones son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$$

La prima distingue los momentos μ ′ _n de los momentos centrales μ _n . Para expresar los momentos centrales como funciones de los cumulantes, basta con eliminar de estos polinomios todos los términos en los que κ ₁ aparece como factor: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0\\[4pt]\mu _{2}&=\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{3}&=\kappa _{3}\\[4pt]\mu _{4}&=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\\[4pt]\mu _{5}&=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\\[4pt]\mu _{6}&=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\end{aligned}}}$$

De manera similar, el n -ésimo cumulante κ _n es un polinomio de grado n en los primeros n momentos no centrales. Las primeras expresiones son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}={}&\mu '_{1}\\[4pt]\kappa _{2}={}&\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}\\[4pt]\kappa _{3}={}&\mu '_{3}-3\mu '_{2}\mu '_{1}+2{\mu '_{1}}^{3}\\[4pt]\kappa _{4}={}&\mu '_{4}-4\mu '_{3}\mu '_{1}-3{\mu '_{2}}^{2}+12\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{2}-6{\mu '_{1}}^{4}\\[4pt]\kappa _{5}={}&\mu '_{5}-5\mu '_{4}\mu '_{1}-10\mu '_{3}\mu '_{2}+20\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{2}+30{\mu '_{2}}^{2}\mu '_{1}-60\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{3}+24{\mu '_{1}}^{5}\\[4pt]\kappa _{6}={}&\mu '_{6}-6\mu '_{5}\mu '_{1}-15\mu '_{4}\mu '_{2}+30\mu '_{4}{\mu '_{1}}^{2}-10{\mu '_{3}}^{2}+120\mu '_{3}\mu '_{2}\mu '_{1}\\&{}-120\mu '_{3}{\mu '_{1}}^{3}+30{\mu '_{2}}^{3}-270{\mu '_{2}}^{2}{\mu '_{1}}^{2}+360\mu '_{2}{\mu '_{1}}^{4}-120{\mu '_{1}}^{6}\,.\end{aligned}}}$$

En general, ^{[ 9 ]} el cumulante es el determinante de una matriz: $${\displaystyle \kappa _{l}=(-1)^{l+1}\left|{\begin{array}{cccccccc}\mu '_{1}&1&0&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{2}&\mu '_{1}&1&0&0&0&\ldots &0\\\mu '_{3}&\mu '_{2}&{\binom {2}{1}}\mu '_{1}&1&0&0&\ldots &0\\\mu '_{4}&\mu '_{3}&{\binom {3}{1}}\mu '_{2}&{\binom {3}{2}}\mu '_{1}&1&0&\ldots &0\\\mu '_{5}&\mu '_{4}&{\binom {4}{1}}\mu '_{3}&{\binom {4}{2}}\mu '_{2}&{\binom {4}{3}}\mu '_{1}&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu '_{l-1}&\mu '_{l-2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ddots &1\\\mu '_{l}&\mu '_{l-1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &{\binom {l-1}{l-2}}\mu '_{1}\end{array}}\right|}$$

Para expresar los cumulantes κ _n para n > 1 como funciones de los momentos centrales, elimine de estos polinomios todos los términos en los que μ' ₁ aparece como factor: $${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{3}=\mu _{3}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{4}=\mu _{4}-3{\mu _{2}}^{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{5}=\mu _{5}-10\mu _{3}\mu _{2}\,}$$$${\displaystyle \kappa _{6}=\mu _{6}-15\mu _{4}\mu _{2}-10{\mu _{3}}^{2}+30{\mu _{2}}^{3}\,.}$$

Los cumulantes pueden relacionarse con los momentos diferenciando la relación K ( t ) = log M ( t ) con respecto a t , obteniendo M′ ( t ) = K′ ( t ) M ( t ) , que convenientemente no contiene exponenciales ni logaritmos. Igualando el coeficiente de t ^{n −1} / ( n −1)! en los lados izquierdo y derecho y usando μ′ ₀ = 1 se obtienen las siguientes fórmulas para n ≥ 1 : ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[1pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{1}\mu '_{1}+\kappa _{2}\\[1pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{1}\mu '_{2}+2\kappa _{2}\mu '_{1}+\kappa _{3}\\[1pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{1}\mu '_{3}+3\kappa _{2}\mu '_{2}+3\kappa _{3}\mu '_{1}+\kappa _{4}\\[1pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{1}\mu '_{4}+4\kappa _{2}\mu '_{3}+6\kappa _{3}\mu '_{2}+4\kappa _{4}\mu '_{1}+\kappa _{5}\\[1pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{1}\mu '_{5}+5\kappa _{2}\mu '_{4}+10\kappa _{3}\mu '_{3}+10\kappa _{4}\mu '_{2}+5\kappa _{5}\mu '_{1}+\kappa _{6}\\[1pt]\mu '_{n}={}&\sum _{m=1}^{n-1}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu '_{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$ Estos permiten${\textstyle \kappa _{n}}$o${\textstyle \mu '_{n}}$se calcularán a partir de los demás utilizando el conocimiento de los cumulantes y momentos de orden inferior. Las fórmulas correspondientes para los momentos centrales${\textstyle \mu _{n}}$para${\textstyle n\geq 2}$se forman a partir de estas fórmulas estableciendo${\textstyle \mu '_{1}=\kappa _{1}=0}$y reemplazando cada uno${\textstyle \mu '_{n}}$con${\textstyle \mu _{n}}$para${\textstyle n\geq 2}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2}={}&\kappa _{2}\\[1pt]\mu _{3}={}&\kappa _{3}\\[1pt]\mu _{n}={}&\sum _{m=2}^{n-2}{n-1 \choose m-1}\kappa _{m}\mu _{n-m}+\kappa _{n}\,.\end{aligned}}}$$

Estos polinomios tienen una interpretación combinatoria notable : los coeficientes cuentan ciertas particiones de conjuntos . Una forma general de estos polinomios es $${\displaystyle \mu '_{n}=\sum _{\pi \,\in \,\Pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa _{|B|}}$$ dónde

• π recorre la lista de todas las particiones de un conjunto de tamaño n ;
• " B ∈ π " significa que B es uno de los "bloques" en los que se divide el conjunto; y
• | B | es el tamaño del conjunto B .

Así, cada monomio es una constante multiplicada por un producto de cumulantes cuya suma de índices es n (por ejemplo, en el término κ ₃ κ ₂ ² κ ₁ , la suma de los índices es 3 + 2 + 2 + 1 = 8; esto aparece en el polinomio que expresa el octavo momento como función de los primeros ocho cumulantes). A cada término le corresponde una partición del entero n . El coeficiente de cada término es el número de particiones de un conjunto de n miembros que se reducen a esa partición del entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles.

Se puede encontrar una conexión adicional entre cumulantes y combinatoria en el trabajo de Gian-Carlo Rota , donde se estudian los vínculos con la teoría de invariantes , las funciones simétricas y las secuencias binomiales a través del cálculo umbral . ^{[ 11 ]}

Observa que ${\textstyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$también se puede escribir como $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k_{1}}}{\mathrm {d} t_{1,1}\cdots \mathrm {d} t_{1,k_{1}}}}\cdots {\frac {\mathrm {d} ^{k_{n}}}{\mathrm {d} t_{n,1}\cdots \mathrm {d} t_{n,k_{n}}}}G\left(\sum _{j=1}^{k_{1}}t_{1,j},\dots ,\sum _{j=1}^{k_{n}}t_{n,j}\right)\right|_{t_{i,j}=0},}$$ de lo cual concluimos que $${\displaystyle \kappa _{k_{1},\dots ,k_{n}}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\kappa _{1,\ldots ,1}(\underbrace {X_{1},\dots ,X_{1}} _{k_{1}},\ldots ,\underbrace {X_{n},\dots ,X_{n}} _{k_{n}}).}$$ Por ejemplo $${\displaystyle \kappa _{2,0,1}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z),\,}$$ y $${\displaystyle \kappa _{0,0,n,0}(X,Y,Z,T)=\kappa _{n}(Z)=\kappa (\underbrace {Z,\dots ,Z} _{n}).\,}$$ En particular, la última igualdad muestra que los cumulantes de una sola variable aleatoria son los cumulantes conjuntos de múltiples copias de esa variable aleatoria.

El cumulante conjunto de variables aleatorias puede expresarse como una suma alternada de productos de sus momentos mixtos , véase la ecuación (3.2.7) en ^{[ 12 ].}$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }(|\pi |-1)!(-1)^{|\pi |-1}\prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$$ donde π recorre la lista de todas las particiones de {1, ..., n } ; donde B recorre la lista de todos los bloques de la partición π ; y donde | π | es el número de partes en la partición.    

Por ejemplo, $${\displaystyle \kappa (X)=\operatorname {E} (X),}$$ es el valor esperado de${\textstyle X}$, $${\displaystyle \kappa (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y),}$$ es la covarianza de${\textstyle X}$y${\textstyle Y}$, y $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (Z)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (Y)-\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} (X)+2\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (Z).\,}$$

Para variables aleatorias de media cero${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, cualquier momento mixto de la forma${\textstyle \prod _{B\in \pi }E\left(\prod _{i\in B}X_{i}\right)}$desaparece si${\textstyle \pi }$es una partición de${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$que contiene un singleton${\textstyle B=\{k\}}$Por lo tanto, la expresión de su cumulante conjunto en términos de momentos mixtos se simplifica. Por ejemplo, si X, Y, Z, W son variables aleatorias de media cero, tenemos $${\displaystyle \kappa (X,Y,Z)=\operatorname {E} (XYZ).\,}$$$${\displaystyle \kappa (X,Y,Z,W)=\operatorname {E} (XYZW)-\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} (ZW)-\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (YW)-\operatorname {E} (XW)\operatorname {E} (YZ).\,}$$

En términos más generales, cualquier coeficiente de la serie de Maclaurin también puede expresarse en términos de momentos mixtos, aunque no existen fórmulas concisas. De hecho, como se mencionó anteriormente, se puede escribir como un cumulante conjunto repitiendo las variables aleatorias adecuadamente, y luego aplicar la fórmula anterior para expresarlo en términos de momentos mixtos. Por ejemplo $${\displaystyle \kappa _{201}(X,Y,Z)=\kappa (X,X,Z)=\operatorname {E} (X^{2}Z)-2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} (X)-\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Z)+2\operatorname {E} (X)^{2}\operatorname {E} (Z).\,}$$

Si algunas de las variables aleatorias son independientes de todas las demás, entonces cualquier cumulante que involucre dos (o más) variables aleatorias independientes es cero.

El significado combinatorio de la expresión de momentos mixtos en términos de cumulantes es más fácil de entender que el de los cumulantes en términos de momentos mixtos, véase la ecuación (3.2.6) en: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }\kappa (X_{i}:i\in B).}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle \operatorname {E} (XYZ)=\kappa (X,Y,Z)+\kappa (X,Y)\kappa (Z)+\kappa (X,Z)\kappa (Y)+\kappa (Y,Z)\kappa (X)+\kappa (X)\kappa (Y)\kappa (Z).\,}$$

Otra propiedad importante de los cumulantes conjuntos es la multilinealidad: $${\displaystyle \kappa (X+Y,Z_{1},Z_{2},\dots )=\kappa (X,Z_{1},Z_{2},\ldots )+\kappa (Y,Z_{1},Z_{2},\ldots ).\,}$$

Así como el segundo cumulante es la varianza, el cumulante conjunto de solo dos variables aleatorias es la covarianza . La identidad conocida $${\displaystyle \operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+2\operatorname {cov} (X,Y)+\operatorname {var} (Y)\,}$$ Se generaliza a los cumulantes: $${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}\kappa (\,\underbrace {X,\dots ,X} _{j},\underbrace {Y,\dots ,Y} _{n-j}\,).\,}$$

La ley de la esperanza total y la ley de la varianza total se generalizan naturalmente a los cumulantes condicionales. El caso n = 3 , expresado en el lenguaje de los momentos (centrales) en lugar del de los cumulantes, dice: $${\displaystyle \mu _{3}(X)=\operatorname {E} (\mu _{3}(X\mid Y))+\mu _{3}(\operatorname {E} (X\mid Y))+3\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Y),\operatorname {var} (X\mid Y)).}$$

En general, ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \kappa (X_{1},\dots ,X_{n})=\sum _{\pi }\kappa (\kappa (X_{\pi _{1}}\mid Y),\dots ,\kappa (X_{\pi _{b}}\mid Y))}$$ dónde

• la suma se realiza sobre todas las particiones π del conjunto {1, ..., n } de índices, y 
• π ₁ ,  ..., π _b son todos los "bloques" de la partición π ; la expresión κ ( X _{π m} ) indica que el cumulante conjunto de las variables aleatorias cuyos índices están en ese bloque de la partición. 

Para ciertas configuraciones, se puede establecer una identidad derivada entre el cumulante condicional y la esperanza condicional . Por ejemplo, supongamos que Y = X + Z donde Z es normal estándar independiente de X , entonces para cualquier X se cumple que ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \kappa _{n+1}(X\mid Y=y)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} y^{n}}}\operatorname {E} (X\mid Y=y),\,n\in \mathbb {N} ,\,y\in \mathbb {R} .}$$ Los resultados también pueden extenderse a la familia exponencial. ^{[ 15 ]}

De manera más general, los cumulantes de una secuencia { m _n  : n = 1, 2, 3, ... } , no necesariamente los momentos de ninguna distribución de probabilidad, son, por definición, $${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {m_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right),}$$ donde los valores de κ _n para n = 1, 2, 3, ... se hallan formalmente, es decir, solo mediante álgebra, sin tener en cuenta si alguna serie converge. Todas las dificultades del "problema de los cumulantes" desaparecen cuando se trabaja formalmente. El ejemplo más sencillo es que el segundo cumulante de una distribución de probabilidad siempre debe ser no negativo, y es cero solo si todos los cumulantes superiores son cero. Los cumulantes formales no están sujetos a tales restricciones.

En combinatoria , el n -ésimo número de Bell es el número de particiones de un conjunto de tamaño n . Todos los cumulantes de la secuencia de números de Bell son iguales a 1. Los números de Bell son los momentos de la distribución de Poisson con valor esperado 1 .

Para cualquier secuencia { κ _n  : n = 1, 2, 3, ... } de escalares en un cuerpo de característica cero, considerados cumulantes formales, existe una secuencia correspondiente { μ ′  : n = 1, 2, 3, ... } de momentos formales, dada por los polinomios anteriores. Para esos polinomios, construya una secuencia polinómica de la siguiente manera. A partir del polinomio $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{6}=\kappa _{6}&+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}\\[4pt]&{}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}\end{aligned}}}$$ crea un nuevo polinomio en estos más una variable adicional x : $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{6}(x)=\kappa _{6}\,x{}&+\left(6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}\right)x^{2}+\left(15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+15\kappa _{2}^{3}\right)x^{3}\\&{}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}\,x^{4}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}\,x^{5}+\kappa _{1}^{6}\,x^{6},\end{aligned}}}$$ y luego generalizamos el patrón. El patrón es que el número de bloques en las particiones mencionadas son los exponentes de x . Cada coeficiente es un polinomio en los cumulantes; estos son los polinomios de Bell , llamados así en honor a Eric Temple Bell .

Esta sucesión de polinomios es de tipo binomial . De hecho, no existen otras sucesiones de tipo binomial; toda sucesión de polinomios de tipo binomial está completamente determinada por su sucesión de cumulantes formales.

En la fórmula de cumulante de momento anterior $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\cdots X_{n})=\sum _{\pi }\prod _{B\,\in \,\pi }\kappa (X_{i}:i\in B)}$$ Para los cumulantes conjuntos, se suma sobre todas las particiones del conjunto { 1, ..., n } . Si en cambio se suma solo sobre las particiones que no se cruzan , entonces, resolviendo estas fórmulas para el${\textstyle \kappa }$En términos de los momentos, se obtienen cumulantes libres en lugar de los cumulantes convencionales tratados anteriormente. Estos cumulantes libres fueron introducidos por Roland Speicher y desempeñan un papel central en la teoría de la probabilidad libre . ^{[ 22 ] [ 23 ]} En esa teoría, en lugar de considerar la independencia de las variables aleatorias , definida en términos de productos tensoriales de álgebras de variables aleatorias, se considera en cambio la independencia libre de las variables aleatorias, definida en términos de productos libres de álgebras. ^{[ 23 ]}

Los cumulantes ordinarios de grado superior a 2 de la distribución normal son cero. Los cumulantes libres de grado superior a 2 de la distribución semicircular de Wigner son cero. ^{[ 23 ]} Este es un aspecto en el que el papel de la distribución de Wigner en la teoría de la probabilidad libre es análogo al de la distribución normal en la teoría de la probabilidad convencional.