Cupola (geometry)

In geometry, a cupola (plural: cupolae) is a solid formed by joining two polygons, one (the base) with twice as many edges as the other, by an alternating band of isosceles triangles and rectangles. If the triangles are equilateral and the rectangles are squares, while the base and its opposite face are regular polygons, the triangular, square, and pentagonal cupolae all count among the Johnson solids, and can be formed by taking sections of the cuboctahedron, rhombicuboctahedron, and rhombicosidodecahedron, respectively. Cupolae are a subclass of the prismatoids.

A cupola can also be seen as a prism where one of the polygons has been collapsed in half by merging alternate vertices.

A cupola can be given an extended Schläfli symbol {n} || t{n}, representing a regular polygon{n} joined by a parallel of its truncation, t{n} or {2n}.

The dual of a cupola contains a shape that is sort of a weld between half of an n-sided trapezohedron and a 2n-sided pyramid.

Las cúpulas triangulares, cuadradas y pentagonales son las únicas cúpulas convexas no triviales con caras regulares: la " cúpula hexagonal " es una figura plana, y el prisma triangular podría considerarse una "cúpula" de grado  2 (la cúpula de un segmento de línea y un cuadrado). Sin embargo, las cúpulas de polígonos de mayor grado pueden construirse con caras triangulares y rectangulares irregulares .

La definición de la cúpula no requiere que la base (o el lado opuesto a la base, que puede llamarse la parte superior) sea un polígono regular, pero es conveniente considerar el caso en que la cúpula tiene su máxima simetría, C _{n v} . En ese caso, la parte superior es un n- gono regular, mientras que la base es un 2n - gono regular o un 2n - gono con dos longitudes de lado diferentes alternadas y los mismos ángulos que un 2n - gono regular. Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de modo que la base se encuentre en el plano xy , con la parte superior en un plano paralelo al plano xy . El eje z es el eje de simetría n , y los planos de simetría pasan por el eje z y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o los ángulos del polígono superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos de simetría bisecan los lados del polígono superior y la otra mitad bisecan los ángulos, mientras que si n es impar, cada plano de simetría biseca un lado y un ángulo del polígono superior). Los vértices de la base se pueden designar como${\displaystyle V_{1}}$a través de${\displaystyle V_{2n},}$mientras que los vértices del polígono superior pueden ser designados${\displaystyle V_{2n+1}}$a través de${\displaystyle V_{3n}.}$Con estas convenciones, las coordenadas de los vértices se pueden escribir como: $${\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}$$

para j = 1, 2, ..., n .

Dado que los polígonos${\displaystyle V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},}$etc. son rectángulos, esto impone una restricción a los valores de${\displaystyle r_{b},r_{t},\alpha .}$La distancia${\displaystyle {\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}}$es igual a $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}$$

mientras que la distancia${\displaystyle {\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}}$es igual a $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}$$

Estos deben ser iguales, y si este borde común se denota por s , $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}}$$

Estos valores deben insertarse en las expresiones para las coordenadas de los vértices dadas anteriormente.

Star cupolae exist for any top base {n/d} where 6/5 < n/d < 6 and d is odd. At these limits, the cupolae collapse into plane figures. Beyond these limits, the triangles and squares can no longer span the distance between the two base polygons (it can still be made with non-equilateral isosceles triangles and non-square rectangles). If d is even, the bottom base {2n/d} becomes degenerate; then we can form a cupoloid or semicupola by withdrawing this degenerate face and letting the triangles and squares connect to each other here (through single edges) rather than to the late bottom base (through its double edges). In particular, the tetrahemihexahedron may be seen as a {3/2}-cupoloid.

The cupolae are all orientable, while the cupoloids are all non-orientable. For a cupoloid, if n/d > 2, then the triangles and squares do not cover the entire (single) base, and a small membrane is placed in this base {n/d}-gon that simply covers empty space. Hence the {5/2}- and {7/2}-cupoloids pictured above have membranes (not filled in), while the {5/4}- and {7/4}-cupoloids pictured above do not.

The height h of an {n/d}-cupola or cupoloid is given by the formula: $${\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi d}{n}}\right)}}}}.}$$ En particular, h = 0 en los límites n / d = 6 y n / d = 6/5 , y h se maximiza en n / d = 2 (en la cúpula digonal : el prisma triangular, donde los triángulos están en posición vertical). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En las imágenes anteriores, las cúpulas estelares tienen un esquema de color uniforme para facilitar la identificación de sus caras: el polígono base { n / d } es rojo, el polígono base {2n / d } es amarillo, los cuadrados son azules y los triángulos son verdes. Los cupoloides tienen el polígono base { n / d } rojo, los cuadrados amarillos y los triángulos azules, ya que se ha eliminado el polígono base { 2n / d } .

Las hipercúpulas o cúpulas poliédricas son una familia de policoros convexos no uniformes (en este caso, figuras de cuatro dimensiones), análogos a las cúpulas. La base de cada una es un sólido platónico y su expansión . ^{[ 3 ]}

• Ortobicúpula
• Gyrobicupola
• Rotonda

• Johnson, NW Poliedros convexos con caras regulares. Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.

• Weisstein, Eric W. "Cúpula" . MundoMatemático .
• Segmentotopos