Representación cuspidal

En teoría de números , las representaciones cuspidales son ciertas representaciones de grupos algebraicos que aparecen discretamente en${\displaystyle L^{2}}$espacios. ^{[ 1 ]} El término cuspidal se deriva, a cierta distancia, de las formas cuspidales de la teoría clásica de formas modulares . En la formulación contemporánea de representaciones automorfas , las representaciones toman el lugar de las funciones holomorfas ; estas representaciones pueden ser de grupos algebraicos adélicos .

Cuando el grupo es el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$Las representaciones cuspidales están directamente relacionadas con las formas cuspidales y las formas de Maass . En el caso de las formas cuspidales, cada autoforma de Hecke ( nueva forma ) corresponde a una representación cuspidal.

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo numérico${\displaystyle K}$y dejar${\displaystyle \mathbb {A} }$denotan los adeles de${\displaystyle K}$El grupo${\displaystyle G(K)}$se incrusta diagonalmente en el grupo${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$enviando${\displaystyle g}$en${\displaystyle G(K)}$a la tupla${\displaystyle (g_{p})_{p}}$en${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$con${\displaystyle g=g_{p}}$para todos los números primos (finitos e infinitos)${\displaystyle p}$.

Dejar${\displaystyle Z}$denotan el centro de${\displaystyle G}$y dejar${\displaystyle \omega }$ser un carácter unitario continuo de${\displaystyle Z(K)\setminus Z(\mathbb {A} )^{\times }}$a${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$. Fijar una medida de Haar en${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$y dejar${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbb {A} ),\omega )}$denotamos el espacio de Hilbert de funciones medibles con valores complejos.${\displaystyle f}$en${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$satisfactorio

1. ${\displaystyle f(\gamma g)=f(g)}$a pesar de${\displaystyle \gamma \en G(K)}$,
2. ${\displaystyle f(gz)=f(g)\omega (z)}$a pesar de${\displaystyle z\en Z(\mathbb {A} )}$,
3. ${\displaystyle \textstyle \int _{Z(\mathbb {A} )G(K)\,\setminus \,G(\mathbb {A} )}|f(g)|^{2}\,dg<\infty }$,
4. ${\displaystyle \textstyle \int _ {U(K)\,\setminus \,U(\mathbb {A} )}f(ug)\,du=0}$para todos los radicales unipotentes${\displaystyle U}$de todos los subgrupos parabólicos propios de${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$y${\displaystyle g\in G(\mathbb {A} )}$.

El espacio vectorial${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbb {A} ),\omega )}$se denomina espacio de formas de cúspide con carácter central ω en${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$Una función que aparece en dicho espacio se denomina función cuspidal .

Una función cuspidal genera una representación unitaria del grupo.${\displaystyle G(\mathbb {A} )}$en el espacio de Hilbert complejo${\displaystyle V_{f}}$generado por las traducciones correctas de${\displaystyle f}$Aquí la acción de${\displaystyle g\in G(\mathbb {A} )}$en${\displaystyle V_{f}}$es dado por

${\displaystyle (g\cdot u)(x)=u(xg),\qquad u(x)=\sum _{j}c_{j}f(xg_{j})\in V_{f}.}$

El espacio de formas de cúspide con carácter central${\displaystyle \omega }$se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert

${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbb {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi })}m_{\pi }V_{\pi }}$

donde la suma se realiza sobre subrepresentaciones irreducibles de${\displaystyle L_{0}^{2}(G(K)\setminus G(\mathbb {A} ),\omega )}$y el${\displaystyle m_{\pi }}$son enteros positivos (es decir, cada subrepresentación irreducible aparece con multiplicidad finita ). Una representación cuspidal de G (${\displaystyle \mathbb {A} }$) es una subrepresentación de este tipo${\displaystyle (\pi,V_{\pi })}$para algunos${\displaystyle \omega }$.

Los grupos para los cuales las multiplicidades${\displaystyle m_{\pi }}$todos iguales${\displaystyle 1}$Se dice que tienen la propiedad de multiplicidad uno .

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