forma de onda de masas

El operador de Laplace hiperbólico en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$se define como

${\displaystyle \Delta :C^{\infty }({\mathcal {H}})\to C^{\infty }({\mathcal {H}}),}$

${\displaystyle \Delta =-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

Un formulario de Maass para el grupo${\displaystyle \Gamma (1):=\mathrm {SL} _ {2}(\mathbb {Z} )}$es una función suave de valor complejo${\displaystyle f}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$satisfactorio

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z){\text{ para todo }}\gamma \in \Gamma (1),\qquad z\in {\mathcal {H}}}$
2. ${\displaystyle {\text{there exists }}\lambda \in \mathbb {C} {\text{ with }}\Delta (f)=\lambda f}$
3. ${\displaystyle {\text{there exists }}N\in \mathbb {N} {\text{ with }}f(x+iy)={\mathcal {O}}(y^{N}){\text{ for }}y\geq 1}$

Si

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(z+t)dt=0{\text{ for all }}z\in {\mathcal {H}}}$

nosotros llamamos${\displaystyle f}$Forma de cúspide de Maass.

Dejar${\displaystyle f}$ser una forma de Maass. Dado que

${\displaystyle \gamma$ :={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)}

tenemos:

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {H}}:\qquad f(z)=f(\gamma z)=f(z+1).}$

Por lo tanto${\displaystyle f}$tiene una expansión de Fourier de la forma

${\displaystyle f(x+iy)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(y)e^{2\pi inx},}$

con funciones de coeficiente${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} .}$

Es fácil demostrar que${\displaystyle f}$es la forma de cúspide de Maass si y solo si${\displaystyle a_{0}(y)=0\;\;\forall y>0}$.

Podemos calcular las funciones de coeficientes de forma precisa. Para ello necesitamos la función de Bessel.${\displaystyle K_{v}}$.

Definición: La función de Bessel${\displaystyle K_{v}}$se define como

${\displaystyle K_{s}(y):={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {y(t+t^{-1})}{2}}}t^{s}{\frac {dt}{t}},\qquad s\in \mathbb {C} ,y>0.}$

La integral converge localmente de forma uniforme absolutamente para${\displaystyle y>0}$en${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$y la desigualdad

${\displaystyle K_{s}(y)\leq e^{-{\frac {y}{2}}}K_{\operatorname {Re} (s)}(2)}$

se aplica a todos${\displaystyle y>4}$.

Por lo tanto,${\displaystyle |K_{s}|}$disminuye exponencialmente para${\displaystyle y\to \infty }$Además, tenemos${\displaystyle K_{-s}(y)=K_{s}(y)}$a pesar de${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,y>0}$.

Prueba: Tenemos

${\displaystyle \Delta (f)=\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f.}$

Por la definición de los coeficientes de Fourier obtenemos

${\displaystyle a_{n}(y)=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx}$

para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

En conjunto se deduce que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)a_{n}(y)&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}\right)f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}(\Delta f)(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx+\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\right)\\[4pt]&{\overset {(1)}{=}}-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi inx}dx\\[4pt]&=-y^{2}(2\pi in)^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\\[4pt]&=4\pi ^{2}n^{2}y^{2}a_{n}(y)-y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)\end{aligned}}}$

para${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$

En (1) usamos que el n -ésimo coeficiente de Fourier de${\textstyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$es${\displaystyle (2\pi in)^{2}a_{n}(y)}$para el primer término de la sumatoria. En el segundo término cambiamos el orden de integración y diferenciación, lo cual está permitido ya que f es suave en y. Obtenemos una ecuación diferencial lineal de segundo grado:

${\displaystyle y^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}a_{n}(y)+\left({\frac {1}{4}}-\nu ^{2}-4\pi n^{2}y^{2}\right)a_{n}(y)=0}$

Para${\displaystyle n=0}$Se puede demostrar que para cada solución${\displaystyle f}$existen coeficientes únicos${\displaystyle c_{0},d_{0}\in \mathbb {C} }$con la propiedad${\displaystyle a_{0}(y)=c_{0}y^{{\frac {1}{2}}-\nu }+d_{0}y^{{\frac {1}{2}}+\nu }.}$

Para${\displaystyle n\neq 0}$cada solución${\displaystyle f}$tiene coeficientes de la forma

${\displaystyle a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)+d_{n}{\sqrt {y}}I_{v}(2\pi |n|y)}$

para ser único${\displaystyle c_{n},d_{n}\in \mathbb {C} }$. Aquí${\displaystyle K_{v}(s)}$y${\displaystyle I_{v}(s)}$son funciones de Bessel.

Las funciones de Bessel${\displaystyle I_{v}}$crecen exponencialmente, mientras que las funciones de Bessel${\displaystyle K_{v}}$disminuyen exponencialmente. Junto con la condición de crecimiento polinomial 3) obtenemos${\displaystyle f:a_{n}(y)=c_{n}{\sqrt {y}}K_{v}(2\pi |n|y)}$(también${\displaystyle d_{n}=0}$) para un único${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$QED​

Formas de Maass pares e impares: Deje${\displaystyle i(z):=-{\overline {z}}}$. Luego , opera sobre todas las funciones.${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$por${\displaystyle i(f):=f(i(z))}$y conmuta con el laplaciano hiperbólico. Una forma de Maass${\displaystyle f}$se llama par, si${\displaystyle i(f)=f}$y extraño si${\displaystyle i(f)=-f}$. Si f es una forma de Maass, entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f+i(f))}$es una forma de Maass uniforme y${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$una extraña forma de Maass y sostiene que${\displaystyle f={\tfrac {1}{2}}(f+i(f))+{\tfrac {1}{2}}(f-i(f))}$.

Solo mostramos${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$-invariancia y la ecuación diferencial. Una demostración de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump. La condición de crecimiento se deduce del desarrollo de Fourier de la serie de Eisenstein.

Primero mostraremos el${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$-invariancia. Sea

${\displaystyle \Gamma _{\infty }:=\pm {\begin{pmatrix}1&\mathbb {Z} \\0&1\\\end{pmatrix}}}$

ser el grupo estabilizador${\displaystyle \infty }$correspondiente al funcionamiento de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}\cup \{\infty \}}$.

Proposición. E es${\displaystyle \Gamma (1)}$-invariante.

Prueba. Definir:

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s):=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}.}$

(a)${\displaystyle {\tilde {E}}}$converge absolutamente en${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$para${\displaystyle \Re (s)>1}$y${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s).}$

Desde

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\in \Gamma (1)\Longrightarrow \Im (\gamma z)={\frac {\Im (z)}{|cz+d|^{2}}},}$

obtenemos

${\displaystyle {\tilde {E}}(z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}.}$

Eso demuestra la convergencia absoluta en${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Además, se deduce que

${\displaystyle \zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|cz+d|^{2s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{(c,d)=1{\bmod {\pm }}1}{\frac {y^{s}}{|ncz+nd|^{2s}}}=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {y^{s}}{|mz+n|^{2s}}},}$

ya que el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {N} \times \{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}:(x,y)=1\}\to \mathbb {Z} ^{2}-\{(0,0)\}\\(n,(x,y))\mapsto (nx,ny)\end{cases}}}$

es una biyección (a) de la cual se deduce.

(b) Tenemos${\displaystyle E(\gamma z,s)=E(z,s)}$a pesar de${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$.

Para${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Gamma (1)}$obtenemos

${\displaystyle {\tilde {E}}({\tilde {\gamma }}z,s)=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im ({\tilde {\gamma }}\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}={\tilde {E}}(z,s).}$

Junto con (a),${\displaystyle E}$también es invariante bajo${\displaystyle \Gamma (1)}$QED

Proposición. E es una forma propia del operador de Laplace hiperbólico.

Necesitamos el siguiente lema:

Lema:${\displaystyle \Delta }$se desplaza con la operación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {H}})}$. Más precisamente para todos${\displaystyle g\in G}$tenemos:${\displaystyle L_{g}\Delta =\Delta L_{g}.}$

Prueba: El grupo${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$se genera mediante los elementos de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {R} ^{\times };\quad {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\\\end{pmatrix}},x\in \mathbb {R}$ ;\quad S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.}

Se calcula el reclamo para estos generadores y se obtiene el reclamo para todos${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$QED

Desde${\displaystyle E(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s){\tilde {E}}(z,s)}$Es suficiente mostrar la ecuación diferencial para${\displaystyle {\tilde {E}}}$. Tenemos:

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s):=\Delta \sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Im (\gamma z)^{s}=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma }\Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)}$

Además, uno tiene

${\displaystyle \Delta \left(\Im (z)^{s}\right)=\Delta (y^{s})=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}y^{s}}{\partial y^{2}}}\right)=s(1-s)y^{s}.}$

Dado que el operador de Laplace conmuta con la operación de${\displaystyle \Gamma (1)}$, obtenemos

${\displaystyle \forall \gamma \in \Gamma (1):\quad \Delta \left(\Im (\gamma z)^{s}\right)=s(1-s)\Im (\gamma z)^{s}}$

y entonces

${\displaystyle \Delta {\tilde {E}}(z,s)=s(1-s){\tilde {E}}(z,s).}$

Por lo tanto, la ecuación diferencial se cumple para E en${\displaystyle \Re (s)>3}$. Para obtener la reclamación por todos${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, considere la función${\displaystyle \Delta E(z,s)-s(1-s)E(z,s)}$Al calcular explícitamente la expansión de Fourier de esta función, obtenemos que es meromorfa . Dado que se anula para${\displaystyle \Re (s)>3}$, debe ser la función cero por el teorema de identidad .

Para${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$dejar${\displaystyle \Gamma (N)}$ser el núcleo de la proyección canónica

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$

Nosotros llamamos${\displaystyle \Gamma (N)}$subgrupo de congruencia principal de nivel${\displaystyle N}$. Un subgrupo${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$se denomina subgrupo de congruencia, si existe${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, de modo que${\displaystyle \Gamma (N)\subseteq \Gamma }$Todos los subgrupos de congruencia son discretos.

Dejar

${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}:=\Gamma (1)/\{\pm 1\}.}$

Para un subgrupo de congruencia${\displaystyle \Gamma ,}$dejar${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ser la imagen de${\displaystyle \Gamma }$en${\displaystyle {\overline {\Gamma (1)}}}$. Si S es un sistema de representantes de${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\backslash {\overline {\Gamma (1)}}}$, entonces

${\displaystyle SD=\bigcup _{\gamma \in S}\gamma D}$

es un dominio fundamental para${\displaystyle \Gamma }$. El conjunto${\displaystyle S}$está determinado de forma única por el dominio fundamental${\displaystyle SD}$. Además,${\displaystyle S}$es finito.

Los puntos${\displaystyle \gamma \infty }$para${\displaystyle \gamma \in S}$se denominan cúspides del dominio fundamental${\displaystyle SD}$Son un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$.

Para cada cúspide${\displaystyle c}$existe${\displaystyle \sigma \in \Gamma (1)}$con${\displaystyle \sigma \infty =c}$.

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un subgrupo de congruencia y${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Definimos el operador de Laplace hiperbólico${\displaystyle \Delta _{k}}$de peso${\displaystyle k}$como

${\displaystyle \Delta _{k}:C^{\infty }({\mathcal {H}})\to C^{\infty }({\mathcal {H}}),}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$

Esta es una generalización del operador de Laplace hiperbólico.${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta }$.

Definimos una operación de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$en${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {H}})}$por

${\displaystyle f_{||k}g(z):=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{-k}f(gz)}$

dónde

${\displaystyle z\in {\mathcal {H}},g={\begin{pmatrix}\ast &\ast \\c&d\\\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}).}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle (\Delta _{k}f)_{||k}g=\Delta _{k}(f_{||k}g)}$

se aplica a todos${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}),k\in \mathbb {Z} }$y cada${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$.

Por lo tanto,${\displaystyle \Delta _{k}}$opera en el espacio vectorial

${\displaystyle C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k):=\{f\in C^{\infty }({\mathcal {H}}):f_{||k}\gamma =f\forall \gamma \in \Gamma \}}$.

Definición. Una forma de masa de peso.${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$para${\displaystyle \Gamma }$es una función${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$que es una autofunción de${\displaystyle \Delta _{k}}$y presenta un crecimiento moderado en los cúspides.

El término crecimiento moderado en las cúspides necesita aclaración. El infinito es una cúspide para${\displaystyle \Gamma ,}$una función${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$es de crecimiento moderado en${\displaystyle \infty }$si${\displaystyle f(x+iy)}$está acotada por un polinomio en y como${\displaystyle y\to \infty }$. Dejar${\displaystyle c\in \mathbb {Q} }$ser otra cúspide. Entonces existe${\displaystyle \theta \in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$con${\displaystyle \theta (\infty )=c}$. Dejar${\displaystyle f':=f_{||k}\theta }$. Entonces${\displaystyle f'\in C^{\infty }(\Gamma '\backslash {\mathcal {H}},k)}$, dónde${\displaystyle \Gamma '}$es el subgrupo de congruencia${\displaystyle \theta ^{-1}\Gamma \theta }$Decimos${\displaystyle f}$es de crecimiento moderado en la cúspide${\displaystyle c}$, si${\displaystyle f'}$es de crecimiento moderado en${\displaystyle \infty }$.

Definición. Si${\displaystyle \Gamma }$contiene un subgrupo de congruencia principal de nivel${\displaystyle N}$, decimos que${\displaystyle f}$es cuspidal en el infinito, si

${\displaystyle \forall z\in {\mathcal {H}}:\quad \int _{0}^{N}f(z+u)du=0.}$

Decimos que${\displaystyle f}$es cuspidal en la cúspide${\displaystyle c}$si${\displaystyle f'}$es cuspidal en el infinito. Si${\displaystyle f}$es cuspidal en cada cúspide, lo llamamos${\displaystyle f}$una forma de cúspide .

Damos un ejemplo sencillo de una forma de peso de Maass.${\displaystyle k>1}$Para el grupo modular:

Ejemplo. Dejemos${\displaystyle g:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ser una forma modular de peso uniforme${\displaystyle k}$para${\displaystyle \Gamma (1).}$Entonces${\displaystyle f(z):=y^{\frac {k}{2}}g(z)}$es una forma de peso de Maass${\displaystyle k}$para el grupo${\displaystyle \Gamma (1)}$.

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un subgrupo de congruencia de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$y dejar${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$sea ​​el espacio vectorial de todas las funciones medibles${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$con${\displaystyle f_{||k}\gamma =f}$a pesar de${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$satisfactorio

${\displaystyle \|f\|^{2}:=\int _{\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}|f(z)|^{2}d\mu (z)<\infty }$

funciones módulo con${\displaystyle \|f\|=0.}$La integral está bien definida, ya que la función${\displaystyle |f(z)|^{2}}$es${\displaystyle \Gamma }$-invariante. Este es un espacio de Hilbert con producto interno.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}f(z){\overline {g(z)}}d\mu (z).}$

El operador${\displaystyle \Delta _{k}}$puede definirse en un espacio vectorial${\displaystyle B\subset L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$que es denso en${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$. Allá${\displaystyle \Delta _{k}}$es un operador simétrico semidefinido positivo. Se puede demostrar que existe una única continuación autoadjunta en${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k).}$

Definir${\displaystyle C(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$como el espacio de todas las formas de cúspide${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\cap C^{\infty }(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k).}$Entonces${\displaystyle \Delta _{k}}$funciona en${\displaystyle C(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$y tiene un espectro discreto . El espectro perteneciente al complemento ortogonal tiene una parte continua y puede describirse con la ayuda de series de Eisenstein no holomorfas (modificadas), sus continuaciones meromorfas y sus residuos. (Véase Bump o Iwaniec ).

Si${\displaystyle \Gamma }$es un subgrupo discreto (sin torsión) de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$, de modo que el cociente${\displaystyle \Gamma \backslash {\mathcal {H}}}$es compacto, el problema espectral se simplifica. Esto se debe a que un subgrupo cocompacto discreto no tiene cúspides. Aquí todo el espacio${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$es una suma de autoespacios.

${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$es un grupo unimodular localmente compacto con la topología de${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un subgrupo de congruencia. Dado que${\displaystyle \Gamma }$es discreto en${\displaystyle G}$, está cerrado en${\displaystyle G}$también. El grupo${\displaystyle G}$es unimodular y dado que la medida de conteo es una medida de Haar en el grupo discreto${\displaystyle \Gamma }$,${\displaystyle \Gamma }$también es unimodular. Por la fórmula integral del cociente existe una${\displaystyle G}$Medida de Radon invariante por la derecha${\displaystyle dx}$en el espacio localmente compacto${\displaystyle \Gamma \backslash G}$. Dejar${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ser el correspondiente${\displaystyle L^{2}}$-espacio. Este espacio se descompone en una suma directa de espacios de Hilbert:

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$

dónde

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k):=\left\{\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G)\mid \phi (xk_{\theta })=e^{ik\theta }F(x)\forall x\in \Gamma \backslash G\forall \theta \in \mathbb {R} \right\}}$

y

${\displaystyle k_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\\\end{pmatrix}}\in SO(2),\theta \in \mathbb {R} .}$

El espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)}$puede incrustarse isométricamente en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G,k)}$La isometría viene dada por el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{k}:L^{2}(\Gamma \backslash {\mathcal {H}},k)\to L^{2}(\Gamma \backslash G,k)\\\psi _{k}(f)(g):=f_{||k}\gamma (i)\end{cases}}}$

Por lo tanto, todas las formas de cúspide de Maass para el grupo de congruencia${\displaystyle \Gamma }$pueden ser considerados como elementos de${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$.

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$es un espacio de Hilbert que lleva una operación del grupo${\displaystyle G}$, la denominada representación regular derecha :

${\displaystyle R_{g}\phi$ :=\phi (xg),{\text{ donde }}x\in \Gamma \backslash G{\text{ y }}\phi \in L^{2}(\Gamma \backslash G).}

Se puede demostrar fácilmente que${\displaystyle R}$es una representación unitaria de${\displaystyle G}$en el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$. Uno está interesado en una descomposición en subrepresentaciones irreducibles. Esto solo es posible si${\displaystyle \Gamma }$es cocompacto. Si no, también existe una parte integral de Hilbert continua. Lo interesante es que la solución de este problema también resuelve el problema espectral de las formas de Maass. (Véase Bump , C. 2.3)

Sea k un número entero, s un número complejo y Γ un subgrupo discreto de SL ₂ ( R ) . Una forma de Maass de peso k para Γ con autovalor de Laplace s es una función suave del semiplano superior a los números complejos que satisface las siguientes condiciones:

• A pesar de${\displaystyle \gamma =\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma }$y todo${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$, tenemos${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\left({\frac {cz+d}{|cz+d|}}\right)^{k}f(z).}$
• Tenemos${\displaystyle \Delta _{k}f=sf}$, dónde${\displaystyle \Delta _{k}}$es el peso k hiperbólico laplaciano definido como$${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$
• La función${\displaystyle f}$tiene un crecimiento polinómico como máximo en las cúspides .

Una forma de Maass débil se define de manera similar pero con la tercera condición reemplazada por "La función${\displaystyle f}$tiene como máximo un crecimiento exponencial lineal en las cúspides". Además,${\displaystyle f}$Se dice que es armónico si es aniquilado por el operador laplaciano.

Dejar${\displaystyle f}$Sea una forma cúspide de Maass de peso 0. Su coeficiente de Fourier normalizado en un primo p está acotado por p ^7/64 + p ^−7/64 . Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak . Es una aproximación a la conjetura de Ramanujan-Petersson .

Las formas de cúspide de Maass pueden considerarse formas automorfas en GL(2). Es natural definir las formas de cúspide de Maass en GL( n ) como formas automorfas esféricas en GL( n ) sobre el cuerpo de los números racionales. Su existencia fue demostrada por Miller, Mueller, etc.

Dejar${\displaystyle R}$Sea un anillo conmutativo con unidad y sea${\displaystyle G_{R}:=\mathrm {GL} _{2}(R)}$ser el grupo de${\displaystyle 2\times 2}$matrices con entradas en${\displaystyle R}$y determinante invertible. Sea${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$sea ​​el anillo de adele racionales,${\displaystyle \mathbb {A} _{\text{fin}}}$el anillo de los adeles finitos (racionales) y para un número primo${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$dejar${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$Sea el campo de los números p -ádicos. Además, sea${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$Sea el anillo de los enteros p-ádicos (véase el anillo de Adele ). Defina${\displaystyle G_{p}:=G_{\mathbb {Q} _{p}}}$. Ambos${\displaystyle G_{p}}$y${\displaystyle G_{\mathbb {R} }}$son grupos unimodulares localmente compactos si se les dota de las topologías de subespacio de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{4}}$respectivamente${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Entonces:

${\displaystyle G_{\text{fin}}:=G_{\mathbb {A} _{\text{fin}}}\cong {\widehat {\prod _{p<\infty }^{K_{p}}}}G_{p}.}$

El lado derecho es el producto restringido, en lo que respecta a los subgrupos compactos y abiertos.${\displaystyle K_{p}:=G_{\mathbb {Z} _{p}}}$de${\displaystyle G_{p}}$. Entonces${\displaystyle G_{\text{fin}}}$grupo localmente compacto, si lo equipamos con la topología de producto restringida.