Orden cíclico

La definición general es la siguiente: un orden cíclico en un conjunto X es una relación C ⊂ X ³ , escrita [ a , b , c ] , que satisface los siguientes axiomas: ^[nb]

1. Ciclicidad: Si [ a , b , c ] entonces [ b , c , a ]
2. Asimetría: Si [ a , b , c ] entonces no [ c , b , a ]
3. Transitividad: Si [ a , b , c ] y [ a , c , d ] entonces [ a , b , d ]
4. Conexión: Si a , b y c son distintos, entonces o [ a , b , c ] o [ c , b , a ]

Los axiomas se nombran por analogía con los axiomas de asimetría , transitividad y conexidad para una relación binaria, que en conjunto definen un orden lineal estricto . Edward Huntington ( 1916 , 1924 ) consideró otras posibles listas de axiomas, incluyendo una lista que tenía como objetivo enfatizar la similitud entre un orden cíclico y una relación de intermediación . Una relación ternaria que satisface los tres primeros axiomas, pero no necesariamente el axioma de totalidad, es un orden cíclico parcial . 

Dado un orden lineal < en un conjunto X , el orden cíclico en X inducido por < se define de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

[ a , b , c ] si y solo si a < b < c o b < c < a o c < a < b

Dos órdenes lineales inducen el mismo orden cíclico si pueden transformarse uno en el otro mediante una reordenación cíclica, como al cortar una baraja de cartas . ^{[ 3 ]} Se puede definir una relación de orden cíclico como una relación ternaria inducida por un orden lineal estricto como el descrito anteriormente. ^{[ 4 ]}

Al eliminar un solo punto de un orden cíclico, queda un orden lineal. Más precisamente, dado un conjunto ordenado cíclicamente${\displaystyle (K,[\cdot ,\cdot ,\cdot ])}$, cada elemento${\displaystyle a\in K}$define un orden lineal natural${\displaystyle <_{a}}$en el resto del conjunto,${\displaystyle K\setminus \{a\}}$, según la siguiente regla: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle x<_{a}y}$si y solo si${\displaystyle [a,x,y]}$.

Además,${\displaystyle <_{a}}$puede extenderse mediante la unión${\displaystyle a}$como elemento mínimo; el orden lineal resultante en${\displaystyle K}$se denomina corte principal con el menor elemento${\displaystyle a}$. Asimismo, contiguo${\displaystyle a}$como el elemento más importante resulta en un corte${\displaystyle <^{a}}$. ^{[ 6 ]}

Dados dos elementos${\displaystyle a\neq b\in K}$, el intervalo abierto desde${\displaystyle a}$a${\displaystyle b}$, escrito${\displaystyle (a,b)}$, es el conjunto de todos${\displaystyle x\in K}$de tal manera que${\displaystyle [a,x,b]}$El sistema de intervalos abiertos define completamente el orden cíclico y puede utilizarse como una definición alternativa de una relación de orden cíclico. ^{[ 7 ]}

Un intervalo${\displaystyle (a,b)}$tiene un orden lineal natural dado por${\displaystyle <_{a}}$Se pueden definir intervalos semicerrados y cerrados.${\displaystyle [a,b)}$,${\displaystyle (a,b]}$, y${\displaystyle [a,b]}$por contiguo${\displaystyle a}$como elemento mínimo y/o${\displaystyle b}$como elemento mayor . ^{[ 8 ]} Como caso especial, el intervalo abierto${\displaystyle (a,a)}$se define como el corte${\displaystyle K\setminus a}$.

De manera más general, un subconjunto adecuado${\displaystyle S}$de${\displaystyle K}$Se denomina convexa si contiene un intervalo entre cada par de puntos: para${\displaystyle a\neq b\in S}$, cualquiera${\displaystyle (a,b)}$o${\displaystyle (b,a)}$También debe estar en${\displaystyle S}$. ^{[ 9 ]} Un conjunto convexo está ordenado linealmente por el corte${\displaystyle <_{x}}$para cualquier${\displaystyle x}$no está en el conjunto; este orden es independiente de la elección de${\displaystyle x}$.

Así como un círculo tiene un orden en sentido horario y otro en sentido antihorario, cualquier conjunto con un orden cíclico tiene dos sentidos . Una biyección del conjunto que conserva el orden se llama correspondencia ordenada . Si el sentido se mantiene como antes, es una correspondencia directa ; de lo contrario, se llama correspondencia opuesta . ^{[ 10 ]} Coxeter utiliza una relación de separación para describir el orden cíclico, y esta relación es lo suficientemente fuerte como para distinguir los dos sentidos del orden cíclico. Los automorfismos de un conjunto cíclicamente ordenado pueden identificarse con C ₂ , el grupo de dos elementos, de correspondencias directas y opuestas.

Un orden cíclico en un conjunto finito X puede determinarse mediante una inyección en el círculo unitario, X → S ¹ . Existen muchas funciones posibles que inducen el mismo orden cíclico; de hecho, infinitas. Para cuantificar esta redundancia, se requiere un objeto combinatorio más complejo que un simple número. El análisis del espacio de configuración de todos estos mapas conduce a la definición de un politopo ( n − 1) dimensional conocido como cicloedro . Los cicloedros se aplicaron inicialmente al estudio de invariantes de nudos ; ^{[ 11 ]} más recientemente se han aplicado a la detección experimental de genes expresados ​​periódicamente en el estudio de relojes biológicos . ^{[ 12 ]}

La categoría de homomorfismos de los ciclos finitos estándar se llama categoría cíclica ; puede usarse para construir la homología cíclica de Alain Connes .

Se puede definir un grado de función entre ciclos, análogo al grado de una aplicación continua . Por ejemplo, la aplicación natural del círculo de quintas al círculo cromático es una aplicación de grado 7. También se puede definir un número de rotación .

• Un corte con un elemento mínimo y un elemento máximo se denomina salto . Por ejemplo, cada corte de un ciclo finito Z _n es un salto. Un ciclo sin saltos se denomina denso . ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• Un corte sin un elemento mínimo ni un elemento máximo se denomina hueco . Por ejemplo, los números racionales Q tienen un hueco en cada número irracional. También tienen un hueco en el infinito, es decir, el orden usual. Un ciclo sin huecos se denomina completo . ^{[ 15 ] [ 14 ]}
• Un corte con un único extremo se denomina corte principal o de Dedekind . Por ejemplo, cada corte del círculo S ¹ es un corte principal. Un ciclo en el que todos los cortes son principales, siendo a la vez denso y completo, se denomina continuo . ^{[ 16 ] [ 14 ]}

El conjunto de todos los cortes está ordenado cíclicamente por la siguiente relación: [< ₁ , < ₂ , < ₃ ] si y solo si existen x , y , z tales que: ^{[ 17 ]}

x < ₁ y < ₁ z ,

x < ₁ y < ₂ z < ₂ x , y

x < ₁ y < ₁ z < ₃ x < ₃ y .

Un subconjunto determinado de este ciclo de cortes es la completación de Dedekind del ciclo original.

Partiendo de un conjunto ordenado cíclicamente K , se puede formar un orden lineal desenrollándolo a lo largo de una línea infinita. Esto captura la noción intuitiva de llevar la cuenta de cuántas veces se da una vuelta al círculo. Formalmente, se define un orden lineal en el producto cartesiano Z × K , donde Z es el conjunto de los enteros , fijando un elemento a y exigiendo que para todo i : ^{[ 18 ]}

Si [ a , x , y ] , entonces a _i < x _i < y _i < a _{i +1} .

Por ejemplo, los meses de enero de 2026 , mayo de 2026 , septiembre de 2026 y enero de 2027 ocurren en ese orden.

Este ordenamiento de Z × K se denomina cubierta universal de K. ^[nb] Su tipo de orden es independiente de la elección de a , pero la notación no lo es, ya que la coordenada entera " se reinicia" en a . Por ejemplo, aunque el orden cíclico de las clases de altura es compatible con el orden alfabético de A a G, se elige C como la primera nota en cada octava, por lo que en la notación de nota-octava , a B ₃ le sigue C ₄ .

La construcción inversa comienza con un conjunto ordenado linealmente y lo enrolla en un conjunto ordenado cíclicamente. Dado un conjunto ordenado linealmente L y una biyección que preserva el orden T  : L → L con órbitas no acotadas, el espacio de órbitas L / T está ordenado cíclicamente por el requisito: ^{[ 7 ] [nb]}

Si a < b < c < T ( a ) , entonces [ [ a ], [ b ], [ c ] ] .

En particular, se puede recuperar K definiendo T ( x _i ) = x _{i +1} en Z × K .

También existen recubrimientos n -ésimos para n finito ; en este caso, un conjunto ordenado cíclicamente cubre a otro conjunto ordenado cíclicamente. Por ejemplo, el reloj de 24 horas es un recubrimiento doble del reloj de 12 horas . En geometría, el haz de rayos que emanan de un punto en el plano orientado es un recubrimiento doble del haz de líneas no orientadas que pasan por el mismo punto. ^{[ 19 ]} Estos mapas de recubrimiento pueden caracterizarse elevándolos al recubrimiento universal. ^{[ 7 ]}

Dado un conjunto ordenado cíclicamente ( K , [ ]) y un conjunto ordenado linealmente ( L , <) , el producto lexicográfico (total) es un orden cíclico en el conjunto producto K × L , definido por [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] si se cumple una de las siguientes condiciones: ^{[ 20 ]}

• [ a , b , c ]
• a = b ≠ c y x < y
• b = c ≠ a e y < z
• c = a ≠ b y z < x
• a = b = c y [ x , y , z ]

El producto lexicográfico K × L se parece globalmente a K y localmente a L ; puede considerarse como K copias de L. Esta construcción se utiliza a veces para caracterizar grupos ordenados cíclicamente. ^{[ 21 ]}

También se pueden unir diferentes conjuntos ordenados linealmente para formar un conjunto ordenado circularmente. Por ejemplo, dados dos conjuntos ordenados linealmente L ₁ y L ₂ , se puede formar un círculo uniéndolos en el infinito positivo y negativo. Un orden circular en la unión disjunta L ₁ ∪ L ₂ ∪ {−∞, ∞ } se define por ∞ < L ₁ < −∞ < L ₂ < ∞ , donde el orden inducido en L ₁ es el opuesto de su orden original. Por ejemplo, el conjunto de todas las longitudes se ordena circularmente uniendo todos los puntos al oeste y todos los puntos al este, junto con el meridiano de Greenwich y el meridiano 180. Kuhlmann, Marshall y Osiak (2011) ^utilizan esta construcción al caracterizar los espacios de ordenamientos y lugares reales de series de Laurent formales dobles sobre un cuerpo real cerrado . [ ^{22 ]}

Un grupo ordenado cíclicamente es un conjunto con una estructura de grupo y un orden cíclico, de modo que la multiplicación por la izquierda y por la derecha preserva el orden cíclico. Los grupos ordenados cíclicamente fueron estudiados en profundidad por primera vez por Ladislav Rieger en 1947. ^{[ 27 ]} Son una generalización de los grupos cíclicos : el grupo cíclico infinito Z y los grupos cíclicos finitos Z / n . Dado que un orden lineal induce un orden cíclico, los grupos ordenados cíclicamente también son una generalización de los grupos ordenados linealmente : los números racionales Q , los números reales R , etc. Algunos de los grupos ordenados cíclicamente más importantes no pertenecen a ninguna de las categorías anteriores: el grupo del círculo T y sus subgrupos, como el subgrupo de puntos racionales .

Todo grupo cíclicamente ordenado puede expresarse como un cociente L / Z , donde L es un grupo linealmente ordenado y Z es un subgrupo cíclico cofinal de L. Todo grupo cíclicamente ordenado también puede expresarse como un subgrupo de un producto T × L , donde L es un grupo linealmente ordenado. Si un grupo cíclicamente ordenado es arquimediano o compacto, puede incrustarse en T mismo. ^{[ 28 ]}

Un orden cíclico parcial es una relación ternaria que generaliza un orden cíclico (total) del mismo modo que un orden parcial generaliza un orden total . Es cíclico, asimétrico y transitivo, pero no necesariamente total. Una variedad de orden es un orden cíclico parcial que satisface un axioma de propagación adicional. ^{[ 29 ]} Reemplazar el axioma de asimetría con una versión complementaria da como resultado la definición de un orden cocíclico . Los órdenes cocíclicos totales apropiados están relacionados con los órdenes cíclicos del mismo modo que ≤ está relacionado con < .

Un orden cíclico obedece a un axioma de transitividad de 4 puntos relativamente fuerte. Una estructura que debilita este axioma es un sistema CC : una relación ternaria que es cíclica, asimétrica y total, pero generalmente no transitiva. En cambio, un sistema CC debe obedecer a un axioma de transitividad de 5 puntos y a un nuevo axioma de interioridad , que restringe las configuraciones de 4 puntos que violan la transitividad cíclica. ^{[ 30 ]}

Se requiere que un orden cíclico sea simétrico bajo permutación cíclica, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] , y asimétrico bajo inversión: [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . Una relación ternaria que es asimétrica bajo permutación cíclica y simétrica bajo inversión, junto con versiones apropiadas de los axiomas de transitividad y totalidad, se denomina relación de intermediación . Una relación cuaternaria llamada separación de pares de puntos distingue los dos intervalos que un par de puntos determina en un círculo. La relación entre un orden circular y una separación de pares de puntos es análoga a la relación entre un orden lineal y una relación de intermediación. ^{[ 31 ]}