Extensión abeliana

En álgebra abstracta , una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano . Cuando el grupo de Galois es también cíclico , la extensión se denomina extensión cíclica . En sentido inverso, una extensión de Galois se considera resoluble si su grupo de Galois es resoluble , es decir, si el grupo puede descomponerse en una serie de extensiones normales de un grupo abeliano. Toda extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica.

La teoría de cuerpos de clases proporciona información detallada sobre las extensiones abelianas de cuerpos numéricos , cuerpos de funciones de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos y cuerpos locales .

Existen dos definiciones ligeramente diferentes del término extensión ciclotómica. Puede referirse tanto a una extensión formada por raíces de la unidad adyacentes a un cuerpo, como a una subextensión de dicha extensión. Los cuerpos ciclotómicos son ejemplos de ello. Una extensión ciclotómica, según cualquiera de las dos definiciones, es siempre abeliana.

Si un cuerpo K contiene una raíz primitiva n -ésima de la unidad y se adjunta la raíz n -ésima de un elemento de K , la extensión de Kummer resultante es una extensión abeliana (si K tiene característica p, debemos decir que p no divide a n , ya que de lo contrario podría no ser incluso una extensión separable ). En general, sin embargo, los grupos de Galois de raíces n -ésimas de elementos operan tanto sobre las raíces n -ésimas como sobre las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto . La teoría de Kummer proporciona una descripción completa del caso de la extensión abeliana, y el teorema de Kronecker-Weber nos dice que si K es el cuerpo de los números racionales , una extensión es abeliana si y solo si es un subcuerpo de un cuerpo obtenido al adjuntar una raíz de la unidad.

Existe una analogía importante con el grupo fundamental en topología , que clasifica todos los espacios de recubrimiento de un espacio: los recubrimientos abelianos se clasifican por su abelianización , que se relaciona directamente con el primer grupo de homología .

• Kuz'min, LV (2001) [1994], "extensión ciclotómica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Extensión abeliana" . MathWorld .