Mojadura

En los sistemas físicos , la amortiguación es la pérdida de energía de un sistema oscilante por disipación . ^{[ 1 ] [ 2 ]} La amortiguación es una influencia dentro o sobre un sistema oscilatorio que tiene el efecto de reducir o impedir su oscilación. ^{[ 3 ]} Ejemplos de amortiguación incluyen la amortiguación viscosa en un fluido (ver arrastre viscoso ), la fricción superficial , la radiación , ^{[ 1 ]} la resistencia en osciladores electrónicos y la absorción y dispersión de la luz en osciladores ópticos . La amortiguación no basada en la pérdida de energía puede ser importante en otros sistemas oscilantes como los que ocurren en sistemas biológicos y bicicletas ^{[ 4 ]} (p. ej. Suspensión (mecánica) ). La amortiguación no debe confundirse con la fricción , que es un tipo de fuerza disipativa que actúa sobre un sistema. La fricción puede causar o ser un factor de amortiguación.

Muchos sistemas exhiben un comportamiento oscilatorio cuando se ven perturbados en su posición de equilibrio estático . Una masa suspendida de un resorte, por ejemplo, podría, al ser estirada y liberada, rebotar. En cada rebote, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio, pero la sobrepasa. A veces, las pérdidas (por ejemplo, por fricción) amortiguan el sistema y pueden provocar que las oscilaciones disminuyan gradualmente en amplitud hasta casi cero o se atenúen .

El coeficiente de amortiguación es una medida adimensional , entre otras, que caracteriza el grado de amortiguación de un sistema. Se denota por ζ (" zeta ") y varía desde sin amortiguación ( ζ = 0 ), subamortiguado ( ζ < 1 ) hasta amortiguado críticamente ( ζ = 1 ) y sobreamortiguado ( ζ > 1 ).

El comportamiento de los sistemas oscilantes suele ser de interés en diversas disciplinas, como la ingeniería de control , la ingeniería química , la ingeniería mecánica , la ingeniería estructural y la ingeniería eléctrica . La magnitud física que oscila varía enormemente, desde el balanceo de un edificio alto con el viento hasta la velocidad de un motor eléctrico ; sin embargo, un enfoque normalizado o adimensionalizado puede resultar útil para describir aspectos comunes de su comportamiento.

Dependiendo del grado de amortiguación presente, un sistema exhibe diferentes comportamientos y velocidades oscilatorias.

• Cuando el sistema masa-resorte no tiene pérdidas, la masa oscilaría indefinidamente, con cada rebote de igual altura que el anterior. Este caso hipotético se denomina sin amortiguación .
• Si el sistema presentara pérdidas elevadas, por ejemplo, si el experimento masa-resorte se realizara en un fluido viscoso , la masa podría regresar lentamente a su posición de reposo sin sobrepasarla. Este caso se denomina amortiguamiento excesivo .
• Generalmente, la masa tiende a sobrepasar su posición inicial y luego regresar, sobrepasándola nuevamente. Con cada sobrepaso, se disipa parte de la energía del sistema y las oscilaciones se atenúan hasta llegar a cero. Este caso se denomina subamortiguado.
• Entre los casos de amortiguamiento excesivo y insuficiente, existe un cierto nivel de amortiguamiento en el que el sistema no sobrepasa el límite de oscilación y no realiza ninguna oscilación. Este caso se denomina amortiguamiento crítico . La diferencia clave entre el amortiguamiento crítico y el sobreamortiguamiento es que, en el amortiguamiento crítico, el sistema regresa al equilibrio en el menor tiempo posible. ^{[ 5 ]}

Una onda sinusoidal amortiguada o sinusoide amortiguada es una función sinusoidal cuya amplitud tiende a cero a medida que aumenta el tiempo. Corresponde al caso subamortiguado de sistemas de segundo orden amortiguados o ecuaciones diferenciales de segundo orden subamortiguadas. ^{[ 6 ]} Las ondas sinusoidales amortiguadas se observan comúnmente en ciencia e ingeniería , dondequiera que un oscilador armónico esté perdiendo energía más rápido de lo que se le suministra. Una onda sinusoidal verdadera que comienza en el tiempo = 0 comienza en el origen (amplitud = 0). Una onda coseno comienza en su valor máximo debido a su diferencia de fase con respecto a la onda sinusoidal. Una forma de onda sinusoidal dada puede tener una fase intermedia, teniendo componentes tanto de seno como de coseno. El término "onda sinusoidal amortiguada" describe todas estas formas de onda amortiguadas, cualquiera que sea su fase inicial.

La forma más común de amortiguación, que suele asumirse, es la que se encuentra en los sistemas lineales. Esta forma es la amortiguación exponencial, en la que la envolvente exterior de los picos sucesivos es una curva de decaimiento exponencial. Es decir, cuando se conectan los puntos máximos de cada curva sucesiva, el resultado se asemeja a una función de decaimiento exponencial. La ecuación general para una sinusoide con amortiguación exponencial se puede representar como: $${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$ dónde:

• ${\displaystyle y(t)}$es la amplitud instantánea en el tiempo t ;
• ${\displaystyle A}$es la amplitud inicial de la envolvente;
• ${\displaystyle \lambda }$es la tasa de decaimiento, en el recíproco de las unidades de tiempo de la variable independiente t ;
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo de fase en t = 0 ;
• ${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular .

Otros parámetros importantes incluyen:

• Frecuencia :${\displaystyle f=\omega /(2\pi )}$, el número de ciclos por unidad de tiempo. Se expresa en unidades de tiempo inversas.${\displaystyle t^{-1}}$o hercios .
• Constante de tiempo :${\displaystyle \tau =1/\lambda }$, el tiempo para que la amplitud disminuya por el factor de e .
• La vida media es el tiempo que tarda la envolvente de amplitud exponencial en disminuir en un factor de 2. Es igual a${\displaystyle \ln(2)/\lambda}$que es aproximadamente${\displaystyle 0,693/\lambda }$.
• Coeficiente de amortiguación:${\displaystyle \zeta }$es una caracterización adimensional de la tasa de decaimiento en relación con la frecuencia, aproximadamente${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$, o exactamente${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1}$.
• Factor Q :${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$es otra caracterización adimensional de la cantidad de amortiguación; un valor alto de Q indica una amortiguación lenta en relación con la oscilación.

El coeficiente de amortiguación es un parámetro adimensional, generalmente representado por ζ (letra griega zeta), ^{[ 7 ]} que caracteriza el grado de amortiguación en una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden . Es particularmente importante en el estudio de la teoría de control . También es importante en el oscilador armónico . Cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguación, mayor será la amortiguación del sistema.

• Los sistemas sin amortiguación tienen un coeficiente de amortiguación de 0.
• Los sistemas subamortiguados tienen un valor inferior a uno.
• Los sistemas críticamente amortiguados tienen un coeficiente de amortiguación de 1.
• Los sistemas sobreamortiguados tienen un coeficiente de amortiguación mayor que 1.

El coeficiente de amortiguación expresa el nivel de amortiguación en un sistema en relación con la amortiguación crítica y se puede definir utilizando el coeficiente de amortiguación:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

El coeficiente de amortiguación es adimensional, siendo la relación entre dos coeficientes de unidades idénticas.

Tomando el ejemplo simple de un modelo masa-resorte-amortiguador con masa m , coeficiente de amortiguación c y constante elástica k , donde${\displaystyle x}$representa el grado de libertad , la ecuación de movimiento del sistema viene dada por:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$. ^{[ 8 ]}

El coeficiente de amortiguación crítico correspondiente es:${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

y la frecuencia natural del sistema es:${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

Utilizando estas definiciones, la ecuación de movimiento se puede expresar como:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

Esta ecuación es más general que el sistema masa-resorte-amortiguador y se aplica a circuitos eléctricos y a otros dominios. Se puede resolver con el siguiente enfoque:

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

donde C y s son constantes complejas , y s satisface

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

Dos de estas soluciones, para los dos valores de s que satisfacen la ecuación, pueden combinarse para obtener las soluciones reales generales, con propiedades oscilatorias y decrecientes en varios regímenes:

Sin amortiguación

¿Es el caso donde${\displaystyle \zeta =0}$corresponde al oscilador armónico simple no amortiguado, y en ese caso la solución se ve así:${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$Como era de esperar, este caso es extremadamente raro en la naturaleza, siendo los ejemplos más cercanos aquellos en los que la fricción se redujo deliberadamente a valores mínimos.

Amortiguación insuficiente

Si s es un par de valores complejos, entonces cada término de solución complejo es una exponencial decreciente combinada con una porción oscilatoria que se parece a${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$Este caso ocurre para${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$y se denomina subamortiguado (por ejemplo, cable elástico).

Amortiguación excesiva

Si s es un par de valores reales, entonces la solución es simplemente una suma de dos exponenciales decrecientes sin oscilación. Este caso ocurre para${\displaystyle \zeta >1}$y se denomina sobreamortiguado . Las situaciones en las que el sobreamortiguado es práctico suelen tener consecuencias trágicas si se produce un sobreimpulso, generalmente eléctrico en lugar de mecánico. Por ejemplo, al aterrizar un avión con piloto automático: si el sistema se sobreimpulsa y libera el tren de aterrizaje demasiado tarde, el resultado sería un desastre.

Amortiguación crítica

El caso donde${\displaystyle \zeta =1}$es el límite entre los casos de amortiguación excesiva y subamortiguación, y se denomina amortiguación crítica . Esto resulta ser un resultado deseable en muchos casos donde se requiere el diseño de ingeniería de un oscilador amortiguado (por ejemplo, un mecanismo de cierre de puerta).

El factor Q , la relación de amortiguación ζ y la tasa de decaimiento exponencial α están relacionados de tal manera que ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

Cuando un sistema de segundo orden tiene${\displaystyle \zeta <1}$(es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dos polos complejos conjugados que tienen cada uno una parte real de${\displaystyle -\alpha }$Es decir, el parámetro de tasa de decaimiento representa la tasa de decaimiento exponencial de las oscilaciones. Un coeficiente de amortiguamiento menor implica una tasa de decaimiento menor, por lo que los sistemas muy subamortiguados oscilan durante largos períodos de tiempo. ^{[ 10 ]} Por ejemplo, un diapasón de alta calidad , que tiene un coeficiente de amortiguamiento muy bajo, presenta una oscilación que dura mucho tiempo y se atenúa muy lentamente después de ser golpeado con un martillo.

Para vibraciones subamortiguadas, el coeficiente de amortiguación también está relacionado con el decremento logarítmico.${\displaystyle \delta }$. El coeficiente de amortiguación se puede encontrar para cualquier par de picos, incluso si no son adyacentes. ^{[ 11 ]} Para picos adyacentes: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ dónde${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

donde x ₀ y x ₁ son las amplitudes de dos picos sucesivos cualesquiera.

Como se muestra en la figura de la derecha:

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

dónde${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{3}}$son amplitudes de dos picos positivos sucesivos y${\displaystyle x_{2}}$,${\displaystyle x_{4}}$son las amplitudes de dos picos negativos sucesivos.

En teoría de control , el sobreimpulso se refiere a una salida que excede su valor final en estado estacionario. ^{[ 13 ]} Para una entrada escalón , el sobreimpulso porcentual (PO) es el valor máximo menos el valor del escalón dividido por el valor del escalón. En el caso de un escalón unitario, el sobreimpulso es simplemente el valor máximo de la respuesta al escalón menos uno.

El sobreimpulso porcentual (PO) está relacionado con el coeficiente de amortiguación ( ζ ) mediante:

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

Por el contrario, el coeficiente de amortiguación ( ζ ) que produce un determinado porcentaje de sobreimpulso viene dado por:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$