Oscilación

La oscilación es la variación repetitiva o periódica , generalmente en el tiempo , de alguna magnitud alrededor de un valor central (a menudo un punto de equilibrio ) o entre dos o más estados diferentes. Ejemplos comunes de oscilación incluyen un péndulo oscilante y la corriente alterna . En física, las oscilaciones se utilizan frecuentemente para aproximar interacciones complejas, como las que se producen entre átomos.

Las oscilaciones se producen no solo en sistemas mecánicos, sino también en sistemas dinámicos en prácticamente todas las áreas de la ciencia: por ejemplo, el latido del corazón humano (para la circulación), los ciclos económicos , los ciclos poblacionales de depredadores y presas , los géiseres geotérmicos , la vibración de las cuerdas de la guitarra y otros instrumentos de cuerda , la activación periódica de las células nerviosas del cerebro y la hinchazón periódica de las estrellas variables Cefeidas . El término vibración se utiliza precisamente para describir una oscilación mecánica.

La oscilación, especialmente la oscilación rápida, puede ser un fenómeno indeseable en el control de procesos y la teoría de control (por ejemplo, en el control por modos deslizantes ), donde el objetivo es la convergencia a un estado estable . En estos casos se denomina vibración o aleteo, como en el caso de la vibración de válvulas y el aleteo de rutas .

El sistema oscilante mecánico más simple es una masa unida a un resorte lineal sometido únicamente a peso y tensión . Este sistema puede aproximarse a una mesa de aire o una superficie de hielo. El sistema se encuentra en equilibrio cuando el resorte está estático. Si el sistema se desplaza del equilibrio, se genera una fuerza restauradora neta sobre la masa, que tiende a devolverla al equilibrio. Sin embargo, al mover la masa de vuelta a la posición de equilibrio, adquiere un momento que la mantiene moviéndose más allá de dicha posición, estableciendo una nueva fuerza restauradora en sentido contrario. Si se añade una fuerza constante , como la gravedad , al sistema, el punto de equilibrio se desplaza. El tiempo que tarda en producirse una oscilación se denomina a menudo período oscilatorio .

Los sistemas donde la fuerza restauradora sobre un cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento, como la dinámica del sistema masa-resorte, se describen matemáticamente mediante el oscilador armónico simple , y el movimiento periódico regular se conoce como movimiento armónico simple . En el sistema masa-resorte, las oscilaciones se producen porque, en el desplazamiento de equilibrio estático , la masa posee energía cinética que se convierte en energía potencial almacenada en el resorte en los extremos de su trayectoria. El sistema masa-resorte ilustra algunas características comunes de la oscilación, a saber, la existencia de un equilibrio y la presencia de una fuerza restauradora que se intensifica a medida que el sistema se aleja del equilibrio.

En el caso del sistema masa-resorte, la ley de Hooke establece que la fuerza restauradora de un resorte es: $${\displaystyle F=-kx}$$

Utilizando la segunda ley de Newton , se puede derivar la ecuación diferencial: $${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,}$$ dónde${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

La solución de esta ecuación diferencial produce una función de posición sinusoidal: $${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

donde ω es la frecuencia de oscilación, A es la amplitud y δ es el desfase de la función. Estos parámetros se determinan mediante las condiciones iniciales del sistema. Dado que el coseno oscila entre 1 y -1 indefinidamente, nuestro sistema masa-resorte oscilaría entre amplitudes positivas y negativas para siempre sin fricción.

En dos o tres dimensiones, los osciladores armónicos se comportan de forma similar a los de una dimensión. El ejemplo más sencillo es un oscilador isotrópico , donde la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, con la misma constante restauradora en todas las direcciones. $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

Esto produce una solución similar, pero ahora hay una ecuación diferente para cada dirección. $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

Todos los sistemas osciladores del mundo real son termodinámicamente irreversibles . Esto significa que existen procesos disipativos, como la fricción o la resistencia eléctrica , que convierten continuamente parte de la energía almacenada en el oscilador en calor en el entorno. Esto se denomina amortiguación. Por lo tanto, las oscilaciones tienden a atenuarse con el tiempo, a menos que exista una fuente neta de energía en el sistema. La descripción más sencilla de este proceso de atenuación se puede ilustrar con la atenuación de la oscilación del oscilador armónico.

Los osciladores amortiguados se crean al introducir una fuerza resistiva que depende de la primera derivada de la posición, o en este caso, de la velocidad. La ecuación diferencial derivada de la segunda ley de Newton incorpora esta fuerza resistiva con una constante arbitraria b . Este ejemplo supone una dependencia lineal con la velocidad. $${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

Esta ecuación se puede reescribir como antes: $${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$ dónde${\estilo de texto 2\beta ={\frac {b}{m}}}$.

Esto produce la solución general: $${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$ dónde${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$.

El término exponencial fuera del paréntesis es la función de decaimiento y β es el coeficiente de amortiguación. Hay 3 categorías de osciladores amortiguados: subamortiguados, donde β < ω ₀ ; sobreamortiguados, donde β > ω ₀ ; y críticamente amortiguados, donde β = ω ₀ .

Además, un sistema oscilante puede estar sujeto a alguna fuerza externa, como cuando un circuito de CA se conecta a una fuente de alimentación externa. En este caso, se dice que la oscilación es impulsada .

El ejemplo más sencillo de esto es un sistema masa-resorte con una fuerza impulsora sinusoidal .$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$dónde${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

Esto nos da la solución:$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$ dónde${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$y${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

El segundo término de x ( t ) es la solución transitoria de la ecuación diferencial. Esta solución transitoria se puede obtener utilizando las condiciones iniciales del sistema.

Algunos sistemas pueden ser excitados por la transferencia de energía del entorno. Esta transferencia suele producirse cuando los sistemas están inmersos en un flujo de fluido . Por ejemplo, el fenómeno de aleteo en aerodinámica se produce cuando un desplazamiento arbitrariamente pequeño del ala de un avión (respecto a su posición de equilibrio) provoca un aumento del ángulo de ataque del ala sobre el flujo de aire y, en consecuencia, un aumento del coeficiente de sustentación , lo que conlleva un desplazamiento aún mayor. Con desplazamientos suficientemente grandes, la rigidez del ala predomina para proporcionar la fuerza restauradora que permite la oscilación.

El oscilador armónico y los sistemas que modela tienen un solo grado de libertad . Los sistemas más complejos tienen más grados de libertad, por ejemplo, dos masas y tres resortes (cada masa unida a puntos fijos y entre sí). En tales casos, el comportamiento de cada variable influye en el de las demás. Esto conduce a un acoplamiento de las oscilaciones de los grados de libertad individuales. Por ejemplo, dos relojes de péndulo (de idéntica frecuencia) montados en una pared común tenderán a sincronizarse. Este fenómeno fue observado por primera vez por Christiaan Huygens en 1665. ^{[ 2 ]} Los movimientos aparentes de las oscilaciones compuestas suelen parecer muy complicados, pero una descripción más económica, computacionalmente más simple y conceptualmente más profunda se obtiene al resolver el movimiento en modos normales .

La forma más simple de osciladores acoplados es un sistema de tres resortes y dos masas, donde las masas y las constantes elásticas son iguales. Este problema comienza con la deducción de la segunda ley de Newton para ambas masas. $${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

A continuación, las ecuaciones se generalizan en forma matricial. $${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$ dónde${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$, y${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

Los valores de k y m pueden sustituirse en las matrices. $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Estas matrices ahora se pueden incorporar a la solución general.$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(kM\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}}$$

El determinante de esta matriz produce una ecuación cuadrática. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(km\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

Dependiendo del punto de partida de las masas, este sistema tiene dos frecuencias posibles (o una combinación de ambas). Si las masas se desplazan inicialmente en la misma dirección, la frecuencia es la de un sistema de una sola masa, ya que el resorte central nunca se extiende. Si las dos masas se desplazan inicialmente en direcciones opuestas, la segunda frecuencia, más rápida, es la del sistema. ^{[ 1 ]}

Un caso más particular son los osciladores acoplados, donde la energía alterna entre dos formas de oscilación. Un ejemplo conocido es el péndulo de Wilberforce , en el que la oscilación alterna entre el alargamiento de un resorte vertical y la rotación de un objeto situado en el extremo de dicho resorte.

Los osciladores acoplados son una descripción común de dos fenómenos relacionados, pero diferentes. Un caso se da cuando ambas oscilaciones se afectan mutuamente, lo que suele dar lugar a un único estado de oscilación sincronizada, donde ambas oscilan con una frecuencia de compromiso . Otro caso se da cuando una oscilación externa afecta a una interna, pero no se ve afectada por ella. En este caso, las regiones de sincronización, conocidas como lenguas de Arnold , pueden dar lugar a fenómenos muy complejos, como por ejemplo la dinámica caótica.

En física, un sistema con un conjunto de fuerzas conservativas y un punto de equilibrio puede aproximarse como un oscilador armónico cerca del equilibrio. Un ejemplo de esto es el potencial de Lennard-Jones , donde el potencial viene dado por: $${\displaystyle U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

A continuación se hallan los puntos de equilibrio de la función: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

A continuación, se halla la segunda derivada, que se utiliza como constante de potencial efectiva: $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

El sistema experimentará oscilaciones cerca del punto de equilibrio. La fuerza que crea estas oscilaciones se deriva de la constante de potencial efectiva mencionada anteriormente: $${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

Esta ecuación diferencial se puede reescribir en forma de un oscilador armónico simple: $${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0}$$

Por lo tanto, la frecuencia de las pequeñas oscilaciones es: $${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}}$$

O, en forma general ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

Esta aproximación se comprende mejor al observar la curva de potencial del sistema. Imaginemos la curva de potencial como una colina; si colocáramos una bola en cualquier punto de la curva, rodaría cuesta abajo siguiendo la pendiente de la curva. Esto se debe a la relación entre la energía potencial y la fuerza. $${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

Al pensar en el potencial de esta manera, se verá que en cualquier mínimo local hay un "pozo" en el que la bola rodaría de un lado a otro (oscilaría) entre${\displaystyle r_{\text{min}}}$y${\displaystyle r_{\text{max}}}$Esta aproximación también resulta útil para pensar en las órbitas de Kepler .

Cuando el número de grados de libertad se vuelve arbitrariamente grande, un sistema se aproxima a la continuidad ; ejemplos de ello son una cuerda o la superficie de una masa de agua . Dichos sistemas poseen (en el límite clásico ) un número infinito de modos normales y sus oscilaciones se producen en forma de ondas que pueden propagarse de manera característica.

Las matemáticas de la oscilación se ocupan de cuantificar la magnitud del desplazamiento de una secuencia o función entre extremos. Existen varias nociones relacionadas: oscilación de una secuencia de números reales , oscilación de una función de valores reales en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).

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• Vibraciones Archivado el 14/12/2010 en Wayback Machine : un capítulo de un libro de texto en línea.