Jerarquía Korteweg-De Vries

En matemáticas , la jerarquía de Korteweg-De Vries (KdV) es una secuencia infinita de ecuaciones de evolución no lineales mutuamente compatibles que contiene la ecuación de Korteweg-de Vries como su primer miembro no trivial. Es uno de los ejemplos centrales en la teoría de sistemas integrables y ecuaciones de solitones , porque combina varias características de la integrabilidad: una formulación de Lax , infinitos flujos conmutativos y cantidades conservadas , estructuras hamiltonianas y bi-hamiltonianas, y métodos de solución exactos como la transformada de dispersión inversa y la integración de brecha finita. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Se formula más comúnmente como una familia de ecuaciones de Lax para el operador de Schrödinger unidimensional .$${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u(x),}$$ o, equivalentemente, hasta las convenciones de signos,${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x)}$La jerarquía consiste en flujos conmutativos en variables auxiliares.${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\dots }$, cada uno de los cuales conserva los datos espectrales de${\displaystyle L}$En entornos periódicos y cuasiperiódicos, esta interpretación espectral conduce a la teoría de soluciones de brecha finita y algebraico-geométricas, mientras que, de forma más general, la jerarquía sirve como prototipo para muchas jerarquías integrables y reducciones posteriores, como las jerarquías KdV y KP modificadas . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dejar $${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u(x,t_{0},t_{1},t_{2},\dots ).}$$ La jerarquía KdV puede definirse exigiendo que${\displaystyle L}$evolucionan según la familia de ecuaciones de Lax. $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}=[P_{2n+1},L],\qquad n=0,1,2,\dots,}$$ donde cada${\displaystyle P_{2n+1}}$es un operador diferencial de orden impar determinado por${\displaystyle L}$Una forma compacta de construir estos operadores utiliza operadores pseudodiferenciales formales : $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}={\big [}(L^{(2n+1)/2})_{+},L{\big ]},}$$ dónde${\displaystyle (\cdot )_{+}}$denota la parte diferencial de un operador pseudodiferencial formal. Esta formulación implica que los flujos conmutan: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{m}}}{\frac {\partial L}{\partial t_{n}}}={\frac {\partial }{\partial t_{n}}}{\frac {\partial L}{\partial t_{m}}},}$$ por lo que se puede considerar la jerarquía como un sistema sobredeterminado compatible para${\displaystyle u}$dependiendo de un número infinito de veces. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Se pueden dar descripciones equivalentes en términos de campos vectoriales hamiltonianos conmutativos o del esquema de recursión de Lenard-Magri. En todas estas formulaciones, la característica distintiva de la jerarquía es que produce infinitos flujos compatibles, todos asociados al mismo operador de Schrödinger. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Aunque el operador Lax se escribe aquí como${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u}$, es costumbre mostrar las ecuaciones no lineales en una convención equivalente obtenida al reemplazar${\displaystyle u}$por${\displaystyle -u}$y reescalando las variables de tiempo. En esa convención, las primeras ecuaciones de la jerarquía son $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t_{0}}&=u_{x},\\u_{t_{1}}&=6uu_{x}-u_{xxx},\\u_{t_{2}}&=u_{xxxxx}-10uu_{xxx}-20u_{x}u_{xx}+30u^{2}u_{x}.\end{aligned}}}$$ El${\displaystyle t_{0}}$-flow es el flujo de traducción. El${\displaystyle t_{1}}$-el flujo es la propia ecuación de Korteweg-de Vries, hasta la sustitución convencional.${\displaystyle t_{1}=t}$. Los miembros superiores se denominan ecuaciones KdV superiores . Diferentes convenciones de signos para${\displaystyle L}$y diferentes normalizaciones de los tiempos producen fórmulas equivalentes con coeficientes o signos alterados. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

La jerarquía de KdV es también una jerarquía hamiltoniana . La ecuación de KdV admite infinitos funcionales conservados , y al elegirlos sucesivamente como hamiltonianos se obtienen los flujos superiores. En la formulación estándar de Poisson , la jerarquía se puede escribir esquemáticamente como $${\displaystyle u_{t_{n}}=\partial _{x}{\frac {\delta I_{n}}{\delta u}},}$$ dónde${\displaystyle I_{n}[u]}$son cantidades conservadas en la involución. Este punto de vista hamiltoniano está estrechamente relacionado con el formalismo de Gelfand-Dikii y con la estructura bi-hamiltoniana de KdV. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ]}

Una ecuación de Lax implica que el operador${\displaystyle L}$evoluciona isoespectralmente. Por lo tanto, los datos espectrales del problema auxiliar de Schrödinger se conservan a lo largo de cada flujo de KdV. ^{[ 3 ] [ 1 ]} En el caso de potenciales periódicos, esto puede expresarse en términos de datos espectrales de Floquet o Bloch. Sea${\displaystyle T}$ser el operador de traducción${\displaystyle T\psi (x)=\psi (x+1)}$. Para un potencial 1-periódico${\displaystyle u}$, uno estudia pares${\displaystyle (\lambda ,\alpha )}$para la cual existe una solución no nula de $${\displaystyle (\partial _{x}^{2}+u)\psi =\lambda \psi ,\qquad T\psi =\alpha \psi .}$$El espectro de Bloch-Floquet resultante es invariante bajo los flujos de KdV. Este problema espectral periódico es uno de los principales puntos de partida para la integración de brecha finita. ^{[ 5 ] [ 8 ]}

Para muchos propósitos, una solución de la jerarquía KdV se codifica mediante una función tau.${\displaystyle \tau (t_{0},t_{1},t_{2},\dots )}$, definido salvo multiplicación por la exponencial de una función lineal arbitraria de los tiempos. En una normalización común, el potencial${\displaystyle u}$se recupera de${\displaystyle \tau }$tomando la segunda derivada de${\displaystyle \log \tau }$con respecto a la variable espacial${\displaystyle x=t_{0}}$; más generalmente, derivadas logarítmicas superiores de${\displaystyle \tau }$dar las funciones de correlación o${\displaystyle n}$Funciones de punto de la jerarquía. Esto proporciona una forma compacta de organizar los flujos de KdV conmutativos y sus identidades bilineales, y es un lenguaje estándar para soluciones exactas de jerarquías integrables. ^{[ 7 ] [ 9 ]}

Un trabajo reciente de Dubrovin, Yang y Zagier expresa la serie generadora de las derivadas logarítmicas de la función tau en términos de la resolvente matricial básica del operador de Schrödinger, y equivalentemente en términos de una función de onda asociada y una función de onda dual. ^{[ 9 ]}

Un ejemplo destacado es la función tau de Witten-Kontsevich , cuyo logaritmo es la función generadora para los números de intersección de${\displaystyle \psi }$-clases sobre los espacios de módulos de Deligne-Mumford${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$Edward Witten conjeturó que esta función generadora es una función tau de la jerarquía de KdV que satisface la ecuación de cuerdas, y Maxim Kontsevich demostró la conjetura utilizando la función de Airy matricial . Este resultado estableció una conexión importante entre la jerarquía de KdV, la gravedad bidimensional y la teoría de la intersección en espacios de módulos de curvas. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Otra formulación de la jerarquía de KdV utiliza una resolvente matricial asociada al operador de Schrödinger. En una normalización común, el operador escalar de Lax se escribe como${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+2u}$e introduce el correspondiente primer orden${\displaystyle 2\times 2}$operador matricial $${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{x}+\Lambda (\lambda )+q,\qquad \Lambda (\lambda )={\begin{pmatrix}0&1\\\lambda &0\end{pmatrix}},}$$ con${\displaystyle q}$que contiene el potencial. La resolvente de matriz básica es la única formal${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$Serie Laurent de gran valor${\displaystyle R(\lambda )}$satisfactorio $${\displaystyle [{\mathcal {L}},R(\lambda )]=0,\qquad R(\lambda )=\Lambda (\lambda )+{\text{lower-order terms}},\qquad \operatorname {tr} R(\lambda )^{2}=2\lambda .}$$ Su entrada superior derecha${\displaystyle b(\lambda )}$tiene una expansión recursiva cuyos coeficientes determinan las derivaciones de KdV conmutativas. ^{[ 9 ] [ 4 ]}

En este enfoque, la función tau se codifica generando series construidas a partir de${\displaystyle R(\lambda )}$Dubrovin, Yang y Zagier demostraron que para cualquier solución de la jerarquía, las derivadas logarítmicas de la función tau se pueden escribir en términos de la resolvente matricial básica, y luego dieron fórmulas equivalentes en términos de una función de onda.${\displaystyle \psi (z,t)}$y su dualidad${\displaystyle \psi ^{*}(z,t)}$. ^{[ 9 ]} Estos satisfacen los problemas lineales auxiliares para la jerarquía, y su producto recupera la entrada resolvente: $${\displaystyle \psi (z,t)\psi ^{*}(z,t)=b(z^{2},t).}$$ De ellos se forma el núcleo $${\displaystyle D(z,w,t)={\frac {\psi (z,t)\,\partial _{x}\psi ^{*}(w,t)-\psi ^{*}(w,t)\,\partial _{x}\psi (z,t)}{w^{2}-z^{2}}},}$$ y la serie generadora de la${\displaystyle n}$-funciones de correlación de puntos de${\displaystyle \log \tau }$se obtiene como una suma cíclica de productos de estos núcleos. Una fórmula equivalente utiliza un núcleo invariante de calibre construido únicamente a partir de${\displaystyle b(z^{2},t)}$. ^{[ 9 ]}

Esto no reemplaza las definiciones habituales de Lax o pseudodiferenciales de la jerarquía, pero proporciona otra forma eficaz de calcular sus datos de función tau. En particular, después de especializarse a${\displaystyle t_{1}=t_{2}=\cdots =0}$, un par de funciones de onda determinadas por los datos iniciales produce todos los coeficientes de Taylor de${\displaystyle \log \tau }$Esto hace que el método sea útil para soluciones explícitas como las soluciones de tipo Witten-Kontsevich, Brézin-Gross-Witten generalizadas y Lamé analizadas por Dubrovin, Yang y Zagier. ^{[ 9 ]}

Escribiendo la resolvente de matriz básica como $${\displaystyle R(\lambda )={\begin{pmatrix}a(\lambda )&b(\lambda )\\c(\lambda )&-a(\lambda )\end{pmatrix}},}$$ la ecuación${\displaystyle [\partial _{x}+\Lambda (\lambda )+q,R(\lambda )]=0}$da $${\displaystyle a={\frac {1}{2}}b_{x},\qquad c=(\lambda -u)b-{\frac {1}{2}}b_{xx},}$$ y por lo tanto la ecuación escalar de tercer orden $${\displaystyle b_{xxx}-4(\lambda -u)b_{x}+2u_{x}\,b=0.}$$ La normalización${\displaystyle \operatorname {tr} R(\lambda )^{2}=2\lambda }$es equivalente a $${\displaystyle b\,b_{xx}-{\frac {1}{2}}b_{x}^{2}-2(\lambda -u)b^{2}=-2\lambda .}$$ En expansión $${\displaystyle b(\lambda )=\sum _{k\geq -1}b_{k}\,\lambda ^{-k-1},\qquad b_{-1}=1,}$$ se obtiene la relación diferencial recursiva $${\displaystyle \partial _{x}b_{k}=u\,\partial _{x}b_{k-1}+{\frac {1}{2}}u_{x}\,b_{k-1}+{\frac {1}{4}}\,\partial _{x}^{3}b_{k-1},\qquad k\geq 0,}$$ junto con una recursión algebraica que determina cada${\displaystyle b_{k}}$de forma única a partir de los coeficientes anteriores. Los primeros términos son $${\displaystyle b_{0}={\frac {1}{2}}u,\qquad b_{1}={\frac {1}{8}}(3u^{2}+u_{xx}).}$$ Estos coeficientes generan la jerarquía recursivamente: tras la misma elección de normalizaciones temporales utilizada en otras partes de este artículo, reproducen el flujo de traslación, la ecuación de KdV y las ecuaciones de KdV de orden superior. En esta forma, la recursión diferencial es la recursión de Lenard-Magri escrita en lenguaje de resolución matricial. ^{[ 9 ] [ 4 ] [ 6 ]}

Entre las soluciones exactas más conocidas de la jerarquía de KdV se encuentran sus soluciones solitónicas . En una normalización común, se escriben en términos de una función tau mediante $${\displaystyle u=-2\,\partial _{x}^{2}\log \tau .}$$ Para la propia ecuación de Korteweg-de Vries, $${\displaystyle u_{t_{1}}=6uu_{x}-u_{xxx},}$$ La solución de un solitón es $${\displaystyle u(x,t_{1})=-2\kappa ^{2}\operatorname {sech} ^{2}\!{\big (}\kappa (x-4\kappa ^{2}t_{1}-x_{0}){\big )},}$$ dónde${\displaystyle \kappa >0}$y${\displaystyle x_{0}}$son constantes. Es una onda viajera localizada de forma permanente, y su velocidad es proporcional a su amplitud. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

En términos más generales, el${\displaystyle N}$Las soluciones de solitones pueden escribirse como $${\displaystyle \tau =\sum _{\mu _{i}\in \{0,1\}}\exp \!\left(\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}\eta _{i}+\sum _{1\leq i<j\leq N}\mu _{i}\mu _{j}A_{ij}\right),}$$ dónde $${\displaystyle e^{A_{ij}}=\left({\frac {\kappa _{i}-\kappa _{j}}{\kappa _{i}+\kappa _{j}}}\right)^{2}.}$$ Para la ecuación de KdV, se puede tomar $${\displaystyle \eta _{i}=2\kappa _{i}x-8\kappa _{i}^{3}t_{1}+\delta _{i},}$$ con constantes${\displaystyle \delta _{i}}$Las soluciones resultantes describen superposiciones no lineales de ondas solitarias. Tras la interacción, los solitones reaparecen con las mismas amplitudes y velocidades, diferenciándose únicamente por desfases; este comportamiento de dispersión elástica es una de las características de los sistemas integrables. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 1 ]}

La misma forma de función tau se extiende a toda la jerarquía KdV. Se permite que cada fase${\displaystyle \eta _{i}}$dependen linealmente de todos los tiempos de jerarquía $${\displaystyle t_{0}=x,\;t_{1},\;t_{2},\dots ,}$$ con coeficientes proporcionales a potencias impares de${\displaystyle \kappa _{i}}$Por lo tanto, una única elección de parámetros de solitón determina una solución compatible de todos los flujos de KdV conmutativos. En este sentido, las soluciones de solitón jerárquicas son las soluciones de solitón simultáneas de toda la familia de ecuaciones, no solo del primer flujo de KdV. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

Desde el punto de vista espectral, las soluciones solitónicas corresponden a operadores de Schrödinger sin reflexión. Los autovalores discretos del problema de Schrödinger unidimensional asociado determinan los parámetros del solitón.${\displaystyle \kappa _{i}}$, mientras que la ausencia de reflexión es responsable de sus propiedades exactas de transmisión y dispersión elástica. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

Para datos iniciales que decaen rápidamente en la recta real, la ecuación de KdV se puede resolver mediante la transformada de dispersión inversa . Se estudia el operador de Schrödinger unidimensional asociado. $${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t),}$$ o equivalentemente${\displaystyle L=\partial _{x}^{2}+u}$con una convención de signos diferente, y calcula sus datos de dispersión: el coeficiente de reflexión, los valores propios discretos y las constantes de normalización correspondientes. La evolución no lineal de${\displaystyle u}$luego se convierte en una evolución lineal de estos datos de dispersión. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

En el lenguaje de pares laxos, el operador${\displaystyle L}$evoluciona isoespectralmente, por lo que sus autovalores son independientes del tiempo. Para el flujo de KdV, la dependencia temporal de los datos de dispersión restantes es elemental: el coeficiente de reflexión adquiere un factor de fase exponencial simple, mientras que los autovalores discretos permanecen fijos y las constantes de normalización evolucionan exponencialmente. El potencial${\displaystyle u(x,t)}$Luego se recupera a partir de los datos de dispersión resolviendo la ecuación integral de Gelfand-Levitan-Marchenko . ^{[ 3 ] [ 14 ] [ 15 ]}

Este método explica el papel especial de las soluciones de solitones. Los datos de dispersión sin reflexión producen soluciones exactas de múltiples solitones, mientras que los datos de decaimiento más generales producen soluciones dispersivas junto con cualquier componente de solitón determinado por el espectro discreto. De esta manera, la transformada de dispersión inversa desempeña para KdV un papel análogo al de la transformada de Fourier para ecuaciones dispersivas lineales. ^{[ 12 ] [ 14 ]}

El mismo problema de dispersión subyace a toda la jerarquía de KdV. Los flujos superiores conservan el espectro del mismo operador de Schrödinger y actúan mediante diferentes evoluciones de fase lineal sobre los mismos datos de dispersión. Por lo tanto, la transformada de dispersión inversa proporciona un método de solución común para todos los flujos de la jerarquía, no solo para la primera ecuación de KdV. ^{[ 3 ] [ 14 ]}

Se puede considerar la jerarquía como un sistema sobredeterminado para $${\displaystyle u=u(x=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ).}$$ Las soluciones que son estacionarias con respecto a todos los flujos suficientemente altos se denominan soluciones de brecha finita o soluciones algebraico-geométricas . En el caso periódico, estas se describen mediante curvas espectrales hiperelípticas, y las soluciones correspondientes pueden escribirse en términos de funciones theta de Riemann .${\displaystyle 0}$da soluciones constantes, mientras que el género${\displaystyle 1}$proporciona las soluciones de onda cnoidal de KdV. ^{[ 5 ] [ 16 ] [ 17 ]}

Las soluciones de brecha finita forman una clase importante y explícitamente descriptible de soluciones periódicas y cuasiperiódicas, pero no agotan la definición de la jerarquía en sí. En particular, deben considerarse como soluciones especiales que se distinguen por condiciones espectrales o de estacionariedad adicionales, en lugar de como la forma general de una solución periódica de KdV. ^{[ 5 ] [ 17 ]}

Una jerarquía integrable estrechamente relacionada es la jerarquía KdV modificada ( jerarquía mKdV ) para una función.${\displaystyle v=v(x,t_{0},t_{1},t_{2},\dots )}$. Con la normalización utilizada en este artículo, su primer flujo no trivial es $${\displaystyle v_{t_{1}}=6v^{2}v_{x}-v_{xxx},}$$ junto con flujos compatibles más altos en las variables${\displaystyle t_{2},t_{3},\dots }$Mientras que la jerarquía de KdV se escribe comúnmente en términos del operador de Schrödinger de segundo orden, la jerarquía modificada se formula naturalmente mediante un operador de primer orden.${\displaystyle 2\times 2}$Operador de Lax, y también puede ser visto como el${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$Jerarquía de Drinfeld-Sokolov. ^{[ 1 ] [ 7 ]}

La relación entre las dos jerarquías viene dada por la transformación de Miura.$${\displaystyle u=v_{x}+v^{2}.}$$ Si${\displaystyle v}$satisface la ecuación de KdV modificada, entonces${\displaystyle u}$satisface la ecuación de KdV $${\displaystyle u_{t_{1}}=6uu_{x}-u_{xxx}.}$$ De manera más general, la transformación de Miura envía cada flujo de la jerarquía mKdV al flujo correspondiente de la jerarquía KdV. Dado que la ecuación KdV modificada es invariante bajo${\displaystyle v\mapsto -v}$, también se obtiene la transformación compañera $${\displaystyle u=-v_{x}+v^{2}.}$$ Estos dos mapas a menudo se toman juntos como el mapa de Miura. ^{[ 18 ] [ 1 ] [ 7 ]}

En la convención de signos alternativa${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}$, la transformación de Miura se refleja en la factorización $${\displaystyle -\partial _{x}^{2}+u=(\partial _{x}+v)(-\partial _{x}+v)}$$ o $${\displaystyle -\partial _{x}^{2}+u=(-\partial _{x}+v)(\partial _{x}+v),}$$ lo cual produce${\displaystyle u=v_{x}+v^{2}}$y${\displaystyle u=-v_{x}+v^{2}}$, respectivamente. Esta factorización ayuda a explicar por qué muchas construcciones para la jerarquía KdV tienen versiones paralelas para mKdV, y por qué las dos jerarquías se discuten a menudo juntas. ^{[ 18 ] [ 7 ]}

Las reformulaciones geométricas interpretan la transformación de Miura como el paso de los datos de conexión de primer orden a la conexión proyectiva asociada ; en la${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$En este caso, esto se refleja en la factorización del operador de Schrödinger en factores de primer orden. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Se obtiene una jerarquía KdV no conmutativa o matricial permitiendo que la variable dependiente tome valores en un álgebra asociativa, en particular en el álgebra de${\displaystyle N\times N}$matrices. En una convención estándar, su primer miembro no trivial es la ecuación matricial de KdV. $${\displaystyle U_{t}=U_{xxx}+3(UU_{x}+U_{x}U),}$$ donde el término no lineal se simetriza porque la multiplicación de matrices no es conmutativa. En la normalización utilizada en este artículo, la misma ecuación se puede escribir como $${\displaystyle U_{t_{1}}=3(UU_{x}+U_{x}U)-U_{xxx}.}$$ Cuando las entradas de la matriz conmutan, esto se reduce a la ecuación escalar de KdV. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Carillo y Schiebold desarrollaron jerarquías de KdV con valores de operador y KdV modificadas mediante métodos recursivos, siendo el caso matricial la especialización de dimensión finita del mismo marco no conmutativo. Su trabajo proporciona operadores recursivos explícitos y fórmulas de solución para las jerarquías de KdV, KdV potencial y KdV modificadas, tanto en el contexto escalar como matricial. ^{[ 22 ] [ 20 ]}

En términos más generales, matriz${\displaystyle r}$Las jerarquías -KdV surgen en la teoría de jerarquías de Gelfand-Dikii de matrices y reducciones generalizadas de Drinfeld-Sokolov. En este contexto se trabaja con operadores pseudodiferenciales de Lax de matrices, y la jerarquía escalar KdV se recupera como el caso${\displaystyle p=1}$. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

La jerarquía KdV es una reducción de la jerarquía KP . También aparece en la teoría de operadores diferenciales ordinarios conmutativos, en la transformada de dispersión inversa y en enfoques algebraico-geométricos para sistemas integrables. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 16 ]}

Los enfoques basados ​​en la teoría de twistores interpretan la jerarquía de KdV como una reducción de simetría de la teoría de Yang-Mills anti-autodual ; en el trabajo de Mason y Sparling, las jerarquías de KdV y de Schrödinger no lineal surgen de una jerarquía de Bogomolny tras la imposición de una simetría adicional, y la transformada de dispersión inversa se interpreta como una realización de coordenadas de la correspondencia de twistores . ^{[ 25 ]}

La teoría moderna comienza con el descubrimiento de que la ecuación de KdV admite una representación de Lax, que explica la existencia de infinitas cantidades conservadas y sus invariantes espectrales. ^{[ 3 ]} La teoría espectral periódica y la construcción de brecha finita fueron desarrolladas en el trabajo de Lax, Novikov, Dubrovin, Matveev y Krichever en la década de 1970. ^{[ 5 ] [ 8 ] [ 16 ]}

• Par de lax
• Jerarquía Gelfand-Dikii
• jerarquía KP
• Integración de brecha finita
• Transformación de dispersión inversa

• Jerarquía de KdV en la wiki de EDP dispersivas.