Fórmulas del factor de fricción de Darcy

El flujo de transición (ni totalmente laminar ni totalmente turbulento) se produce en el rango de números de Reynolds entre 2300 y 4000. El valor del factor de fricción de Darcy está sujeto a grandes incertidumbres en este régimen de flujo.

La correlación de Blasius es la ecuación más sencilla para calcular el factor de fricción de Darcy. Dado que no incluye un término para la rugosidad de la tubería, solo es válida para tuberías lisas. Sin embargo, debido a su simplicidad, a veces se utiliza en tuberías rugosas. La correlación de Blasius es válida hasta un número de Reynolds de 100 000.

El factor de fricción de Darcy para flujo totalmente turbulento (número de Reynolds mayor que 4000) en conductos rugosos se puede modelar mediante la ecuación de Colebrook-White.

La última fórmula de la sección sobre la ecuación de Colebrook de este artículo corresponde al flujo con superficie libre. Las aproximaciones que se presentan en otras partes de este artículo no son aplicables a este tipo de flujo.

La ecuación empírica de Colebrook-White (o ecuación de Colebrook) expresa el factor de fricción de Darcy f como una función del número de Reynolds Re y la rugosidad relativa de la tubería ε / D _h , ajustándose a los datos de estudios experimentales de flujo turbulento en tuberías lisas y rugosas . ^{[ 2 ] [ 3 ]} La ecuación se puede utilizar para resolver (iterativamente) el factor de fricción de Darcy-Weisbach f .

Para un conducto que fluye completamente lleno de fluido a números de Reynolds mayores de 4000, se expresa como:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3.7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{14.8R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

• Diámetro hidráulico ,${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$(m, ft) – Para conductos circulares llenos de fluido,${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$= D = diámetro interior
• radio hidráulico ,${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$(m, ft) – Para conductos circulares llenos de fluido,${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$= D/4 = (diámetro interior)/4

Nota: Algunas fuentes utilizan una constante de 3,71 en el denominador del término de rugosidad en la primera ecuación anterior. ^{[ 4 ]}

La ecuación de Colebrook se suele resolver numéricamente debido a su naturaleza implícita. Recientemente, se ha empleado la función W de Lambert para obtener una solución exacta en una reformulación explícita de la ecuación de Colebrook. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {\varepsilon }{14.8R_{h}}},a={\frac {2.51}{Re}}}$

${\displaystyle x=-2\log(ax+b)}$

o

${\displaystyle 10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b}$

${\displaystyle p=10^{-{\frac {1}{2}}}}$

obtendrá:

${\displaystyle p^{x}=ax+b}$

${\displaystyle x=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}}\right)}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}}$

entonces:

${\displaystyle f={\frac {1}{\left({\dfrac {2W\left({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}}\right)}{\ln 10}}-{\dfrac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

Otras formas matemáticamente equivalentes de la ecuación de Colebrook son:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.7384\ldots -2\log \left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18.574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,7384... = 2 log (2 × 3,7) = 2 log (7,4)

18.574 = 2.51 × 3.7 × 2

y

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots +2\log \left(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon \right)-2\log \left(1+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots -2\log \left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,1364... = 1,7384... − 2 log (2) = 2 log (7,4) − 2 log (2) = 2 log (3,7)

9.287 = 18.574 / 2 = 2.51 × 3.7.

Las fórmulas equivalentes adicionales mencionadas anteriormente asumen que las constantes 3,7 y 2,51 de la fórmula que aparece al inicio de esta sección son exactas. Es probable que Colebrook haya redondeado estas constantes durante el ajuste de la curva ; sin embargo, se consideran exactas al comparar (con varias cifras decimales) los resultados de fórmulas explícitas (como las que se encuentran en otras partes de este artículo) con el factor de fricción calculado mediante la ecuación implícita de Colebrook.

En diversas referencias se pueden encontrar ecuaciones similares a las formas adicionales anteriores (con las constantes redondeadas a menos decimales, o quizás ligeramente desplazadas para minimizar los errores de redondeo). Cabe destacar que, en esencia, se trata de la misma ecuación.

Existe otra forma de la ecuación de Colebrook-White para superficies libres. Esta condición puede darse en una tubería que está parcialmente llena de fluido. Para flujo con superficie libre:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).}$

La ecuación anterior es válida solo para flujo turbulento. Otro enfoque para estimar f en flujos de superficie libre, que es válido bajo todos los regímenes de flujo (laminar, de transición y turbulento) es el siguiente: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle f=\left({\frac {24}{Re_{h}}}\right)^{a}\left[{\frac {0.86e^{W(1.35Re_{h})}}{Re_{h}}}\right]^{2(1-a)b}\left\{{\frac {1.34}{\left[\ln {12.21\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}\right]^{2}}}\right\}^{(1-a)(1-b)}}$

donde a es:

${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{678}}\right)^{8.4}}}}$

y b es:

${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{150\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}}\right)^{1.8}}}}$

donde Re _h es el número de Reynolds, donde h es la longitud hidráulica característica (radio hidráulico para flujos unidimensionales o profundidad del agua para flujos bidimensionales) y R _h es el radio hidráulico (para flujos unidimensionales) o la profundidad del agua (para flujos bidimensionales). La función W de Lambert se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle W(1.35Re_{h})=\ln {1.35Re_{h}}-\ln {\ln {1.35Re_{h}}}+\left({\frac {\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}{\ln {1.35Re_{h}}}}\right)+\left({\frac {\ln {[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}-2\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}}{2[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}}}\right)}$

La ecuación de Haaland fue propuesta en 1983 por el profesor SE Haaland del Instituto Noruego de Tecnología . ^{[ 9 ]} Se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular con flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White, pero la discrepancia con los datos experimentales se encuentra dentro de la precisión de los datos.

La ecuación de Haaland ^{[ 10 ]} se expresa de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$

La ecuación de Swamee-Jain se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular con flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

La solución de Serghides se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular con flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. Se derivó utilizando el método de Steffensen . ^{[ 12 ]}

La solución consiste en calcular tres valores intermedios y luego sustituir esos valores en una ecuación final.

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{12 \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0023% para un conjunto de prueba con una matriz de 70 puntos que consta de diez valores de rugosidad relativa (en el rango de 0,00004 a 0,05) por siete números de Reynolds (2500 a 10 ⁸ ).

La ecuación de Goudar es la aproximación más precisa para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. La ecuación tiene la siguiente forma ^{[ 13 ].}

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}}$

${\displaystyle d={\ln(10)\mathrm {Re} \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left(d/q\right)+D_{CFA}\right]}}$

Brkić muestra una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función W de Lambert ^{[ 14 ].}

${\displaystyle S=\ln {\frac {\mathrm {Re} }{\mathrm {1.816\ln {\frac {1.1\mathrm {Re} }{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}} }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+{2.18S \over \mathrm {Re} }\right)}$

Se comprobó que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White con una precisión del 3,15%.

Brkić y Praks muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la de Wright.${\displaystyle \omega }$-función, un cognado de la función W de Lambert ^{[ 15 ]}

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8686\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {1.038\cdot C}{\mathrm {0.332+} \,x}}\right]\,}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0884}}}$,${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.7794}$,${\textstyle C=}$${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$, y${\textstyle x=A+B}$

Se comprobó que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White con una precisión del 0,0497%.

Praks y Brkić muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la de Wright.${\displaystyle \omega }$-función, un cognado de la función W de Lambert ^{[ 16 ]}

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8685972\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}}\,\right]}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0897}}}$,${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.779626}$,${\textstyle C=}$${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$, y${\textstyle x=A+B}$

Se comprobó que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White con una precisión del 0,0012%.

Dado que la solución de Serghides resultó ser una de las aproximaciones más precisas de la ecuación implícita de Colebrook-White, Niazkar modificó la solución de Serghides para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach f para una tubería circular de flujo completo. ^{[ 17 ]}

La solución de Niazkar se muestra a continuación:

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re^{0.8784}} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se determinó que la solución de Niazkar era la correlación más precisa según un análisis comparativo realizado en la literatura entre 42 ecuaciones explícitas diferentes para estimar el factor de fricción de Colebrook. ^{[ 17 ]}

Las primeras aproximaciones para tuberías lisas ^{[ 18 ]} de Paul Richard Heinrich Blasius en términos del factor de fricción de Darcy-Weisbach se dan en un artículo de 1913: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle f=0.3164\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}}$.

Johann Nikuradse propuso en 1932 que esto corresponde a una correlación de ley de potencias para el perfil de velocidad del fluido. ^{[ 20 ]}

Mishra y Gupta en 1979 propusieron una corrección para tubos curvos o enrollados helicoidalmente, teniendo en cuenta el radio de curva equivalente, R _c : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle f=0.316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0.0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}}$,

con,

${\displaystyle R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]}$

donde f es una función de:

• Diámetro de la tubería, D (m, pies)
• Radio de curva, R (m, ft)
• Paso helicoidal, H (m, pies)
• Número de Reynolds , Re (adimensional)

Válido para:

• Re _tr < Re < 10 ⁵
• 6,7 < 2R _c /D < 346,0
• 0 < H/D < 25,4

La ecuación de Swamee se utiliza para calcular directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach ( f ) para una tubería circular de flujo completo en todos los regímenes de flujo (laminar, transicional y turbulento). Es una solución exacta para la ecuación de Hagen-Poiseuille en el régimen de flujo laminar y una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White en el régimen turbulento, con una desviación máxima inferior al 2,38 % en el rango especificado. Además, proporciona una transición suave entre los regímenes laminar y turbulento, lo que la hace válida como ecuación de rango completo, 0 < Re < ^10⁸ . ^{[ 22 ]}

${\displaystyle f=\left\lbrace \left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{8}+9.5\left[\ln \left({\frac {\varepsilon }{{3.7}{D}}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)-\left({\frac {2500}{\mathrm {Re} }}\right)^{6}\right]^{-16}\right\rbrace ^{\frac {1}{8}}}$

La siguiente tabla enumera las aproximaciones históricas a la relación de Colebrook-White ^{[ 23 ]} para el flujo impulsado por presión. La ecuación de Churchill ^{[ 24 ]} (1977) es la única que puede evaluarse para flujo muy lento (número de Reynolds < 1), pero las ecuaciones de Cheng (2008) ^{[ 25 ]} y Bellos et al. (2018) ^{[ 8 ]} también proporcionan un valor aproximadamente correcto para el factor de fricción en la región de flujo laminar (número de Reynolds < 2300). Todas las demás son solo para flujo transicional y turbulento.