La ley de Darcy

La ley de Darcy es una ecuación que describe el flujo de un fluido a través de un medio poroso y a través de una celda de Hele-Shaw . La ley fue formulada por Henry Darcy basándose en los resultados de experimentos ^{[ 1 ]} sobre el flujo de agua a través de lechos de arena , formando la base de la hidrogeología , una rama de las ciencias de la tierra . Es análoga a la ley de Ohm en electrostática, relacionando linealmente el caudal volumétrico del fluido con la diferencia de carga hidráulica (que a menudo es simplemente proporcional a la diferencia de presión) a través de la conductividad hidráulica . De hecho, la ley de Darcy es un caso especial de la ecuación de Stokes para el flujo de momento , que a su vez deriva de la ecuación de Navier-Stokes para el momento .

La ley de Darcy es análoga a la ley de Fourier en el campo de la conducción del calor , a la ley de Ohm en el campo de las redes eléctricas y a la ley de Fick en la teoría de la difusión .

Desde la década de 1830, el ingeniero hidráulico francés Henry Darcy estudió el caudal de agua en filtros de arena con el fin de mejorar el sistema de abastecimiento de agua municipal de la ciudad de Dijon , Francia. Estableció su ley empíricamente y la publicó en un informe de construcción en 1856. ^{[ 2 ]}

En su forma integral, la ley de Darcy, en ausencia de fuerzas gravitatorias y en un medio homogéneamente permeable, viene dada por una sencilla relación de proporcionalidad entre el caudal volumétrico.${\displaystyle Q}$y la caída de presión${\displaystyle \Delta p}$ a través de un medio poroso . La constante de proporcionalidad está ligada a la permeabilidad.${\displaystyle k}$del medio, la viscosidad dinámica del fluido${\displaystyle \mu }$, la distancia dada${\displaystyle L}$sobre la cual se calcula la caída de presión y el área de la sección transversal${\displaystyle A}$, en la forma: $${\displaystyle Q={\frac {kA}{\mu L}}\Delta p}$$

La proporción:

$${\displaystyle R={\frac {\mu L}{kA}}}$$

También se puede definir como la resistencia hidráulica de la ley de Darcy .

La ley de Darcy puede generalizarse a una forma local:

dónde${\displaystyle \nabla p}$es el gradiente hidráulico y${\displaystyle \mathbf {q} }$es el flujo volumétrico que aquí también se denomina velocidad superficial . Nótese que la relación:

$${\displaystyle \sigma ={\frac {k}{\mu }}}$$

puede considerarse como la ley de conductividad hidráulica de Darcy .

En la forma integral (menos general), el flujo volumétrico y el gradiente de presión corresponden a las siguientes relaciones:

${\displaystyle q={\frac {Q}{A}}}$

${\displaystyle \nabla p={\frac {\Delta p}{L}}}$.

En el caso de un medio poroso anisotrópico, la permeabilidad es un tensor de segundo orden , y en notación tensorial se puede escribir la ley más general:

Observe que la cantidad${\displaystyle \mathbf {q} }$El flujo volumétrico, a menudo denominado flujo de Darcy o velocidad de Darcy, no es la velocidad a la que el fluido se desplaza a través de los poros. Es el flujo volumétrico, o caudal por unidad de área (véase Flux Flummoxed, Ground Water , 44 (2): 125–128, 2006). La velocidad de flujo ( u ) se relaciona con el flujo ( q ) mediante la porosidad ( φ ) con la siguiente ecuación:

${\displaystyle \mathbf {q} =\varphi \,\mathbf {u} .}$

La ecuación constitutiva de Darcy, para el flujo monofásico (de fluidos), es la ecuación que define la permeabilidad absoluta (permeabilidad monofásica).

En referencia al diagrama de la derecha, la velocidad del flujo está en unidades del SI.${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$y dado que la porosidad φ es un número adimensional , el flujo de Darcy${\displaystyle \mathbf {q} }$, o descarga por unidad de área, también se define en unidades${\displaystyle \mathrm {(m/s)} }$; la permeabilidad${\displaystyle k}$en unidades${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$, la viscosidad dinámica${\displaystyle \mu }$en unidades${\displaystyle \mathrm {(Pa\cdot s)} }$y el gradiente hidráulico se expresa en unidades.${\displaystyle \mathrm {(Pa/m)} }$.

En forma integral, la caída de presión total${\displaystyle \Delta p=p_{b}-p_{a}}$está en unidades${\displaystyle \mathrm {(Pa)} }$, y${\displaystyle L}$es la longitud de la muestra en unidades${\displaystyle \mathrm {(m)} }$, el caudal volumétrico de Darcy${\displaystyle Q}$, o descarga, también se define en unidades${\displaystyle \mathrm {(m^{3}/s)} }$y el área de sección transversal${\displaystyle A}$en unidades${\displaystyle \mathrm {(m^{2})} }$Varios de estos parámetros se utilizan en definiciones alternativas a continuación. Se utiliza un signo negativo en la definición del flujo siguiendo la convención física estándar de que los fluidos fluyen de regiones de alta presión a regiones de baja presión. Nótese que debe tenerse en cuenta la altura de elevación si la entrada y la salida están a diferentes alturas. Si el cambio de presión es negativo, entonces el flujo será en la dirección positiva del eje x . Se han propuesto varias ecuaciones constitutivas para la permeabilidad absoluta, y la más famosa es probablemente la ecuación de Kozeny (también llamada ecuación de Kozeny-Carman ).

Considerando la relación para la presión estática del fluido ( ley de Stevin ):

$${\displaystyle p=\rho gh}$$ También se puede declinar la forma integral en la ecuación: $${\displaystyle Q={\frac {kAg}{\nu L}}\,{\Delta h}}$$ donde ν es la viscosidad cinemática . Por lo tanto, la conductividad hidráulica correspondiente es:

${\displaystyle K={\frac {k\rho g}{\mu }}={\frac {kg}{\nu }}.}$

La ley de Darcy es una sencilla afirmación matemática que resume de forma concisa varias propiedades conocidas que presenta el agua subterránea que fluye en los acuíferos , entre ellas:

• Si no hay gradiente de presión a lo largo de una distancia, no se produce flujo (estas son condiciones hidrostáticas ).
• Si existe un gradiente de presión, el flujo se producirá desde la alta presión hacia la baja presión (en dirección opuesta al aumento del gradiente; de ​​ahí el signo negativo en la ley de Darcy).
• cuanto mayor sea el gradiente de presión (a través del mismo material de formación), mayor será el caudal de descarga y
• La tasa de descarga del fluido a menudo será diferente, ya sea a través de diferentes materiales de formación (o incluso a través del mismo material, en una dirección diferente), incluso si existe el mismo gradiente de presión en ambos casos.

Una ilustración gráfica del uso de la ecuación de flujo de agua subterránea en estado estacionario (basada en la ley de Darcy y la conservación de la masa) se encuentra en la construcción de redes de flujo , para cuantificar la cantidad de agua subterránea que fluye debajo de una presa .

La ley de Darcy solo es válida para flujos lentos y viscosos ; sin embargo, la mayoría de los casos de flujo de agua subterránea entran en esta categoría. Normalmente, cualquier flujo con un número de Reynolds menor que uno es claramente laminar, y sería válido aplicar la ley de Darcy. Las pruebas experimentales han demostrado que los regímenes de flujo con números de Reynolds de hasta 10 aún pueden ser darcianos, como en el caso del flujo de agua subterránea. El número de Reynolds (un parámetro adimensional) para el flujo en medios porosos se expresa típicamente como

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {qd}{\nu }}\,,}$

donde ν es la viscosidad cinemática del agua , q es el caudal específico (no la velocidad de los poros, con unidades de longitud por tiempo), d es un diámetro de grano representativo para el medio poroso (la opción estándar es math| d ₃₀ , que es el tamaño que pasa al 30% de un análisis del tamaño de grano utilizando tamices, con unidades de longitud).

Para un flujo estacionario, lento e incompresible , es decir , D ( ρu _i ) / Dt ⁠ ≈ 0 , la ecuación de Navier-Stokes se simplifica a la ecuación de Stokes , que al despreciar el término global es:

${\displaystyle \mu \nabla ^{2}u_{i}-\partial _{i}p=0\,,}$

donde μ es la viscosidad, u _i es la velocidad en la dirección i y p es la presión. Suponiendo que la fuerza de resistencia viscosa es lineal con la velocidad, podemos escribir:

${\displaystyle -\left(k^{-1}\right)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\partial _{i}p=0\,,}$

donde φ es la porosidad y k _ij es el tensor de permeabilidad de segundo orden. Esto da la velocidad en la dirección n ,

${\displaystyle k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\varphi \mu }}\partial _{i}p\,,}$

lo que da la ley de Darcy para la densidad de flujo volumétrico en la dirección n ,

${\displaystyle q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\partial _{i}p\,.}$

En medios porosos isotrópicos, los elementos fuera de la diagonal en el tensor de permeabilidad son cero, k _ij = 0 para i ≠ j, y los elementos diagonales son idénticos, k _ii = k , y la forma común se obtiene como se muestra a continuación, lo que permite determinar la velocidad del flujo del líquido resolviendo un conjunto de ecuaciones en una región dada. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {k}{\mu }}\,{\boldsymbol {\nabla }}p\,.}$

La ecuación anterior es una ecuación que rige el flujo de fluidos monofásicos en un medio poroso.

La ley de Darcy es válida para el flujo laminar a través de sedimentos . En sedimentos de grano fino, las dimensiones de los intersticios son pequeñas; por lo tanto, el flujo es laminar. Los sedimentos de grano grueso también se comportan de manera similar, pero en sedimentos de grano muy grueso, el flujo puede ser turbulento . ^{[ 17 ]} Por lo tanto, la ley de Darcy no siempre es válida en dichos sedimentos. Para el flujo a través de tuberías circulares comerciales, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es menor que 2000 y turbulento cuando es mayor que 4000, pero en algunos sedimentos, se ha encontrado que el flujo es laminar cuando el valor del número de Reynolds es menor que 1. ^{[ 18 ]}

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