convolución diurna

Dado${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$para dos monoides simétricos${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} }$, definimos su convolución de Day de la siguiente manera.

Es la extensión izquierda del kan a lo largo${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{\otimes }\mathbf {C} }$de la composición${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{F,G}\mathbf {D} \times \mathbf {D} \to ^{\otimes }\mathbf {D} }$

Así se evalúa en un objeto${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$, intuitivamente obtenemos un colímite en${\displaystyle \mathbf {D} }$de${\displaystyle F(x)\otimes G(y)}$a lo largo de aproximaciones de${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$como un tensor puro${\displaystyle x\otimes y}$

Las extensiones kan izquierdas se calculan mediante coends , lo que lleva a la versión que se muestra a continuación.

Dejar${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes _{c})}$ser una categoría monoidal enriquecida sobre una categoría monoidal cerrada simétrica${\displaystyle (V,\otimes )}$Dados dos functores${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to V}$, definimos su convolución de Day como el siguiente coend. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F\otimes _{d}G=\int ^{x,y\in \mathbf {C} }\mathbf {C} (x\otimes _{c}y,-)\otimes Fx\otimes Gy}$

Si${\displaystyle \otimes _{c}}$es simétrico, entonces${\displaystyle \otimes _{d}}$También es simétrico. Podemos demostrar que esto define un producto monoide asociativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(F\otimes _{d}G)\otimes _{d}H\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}(F\otimes _{d}G)c_{1}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}\left(\int ^{c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\right)\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{2}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{3}}Fc_{3}\otimes (G\otimes _{d}H)c_{1}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&F\otimes _{d}(G\otimes _{d}H)\end{aligned}}}$