Las leyes de De Morgan

En lógica proposicional y álgebra booleana , las leyes de De Morgan , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} también conocidas como teorema de De Morgan , ^{[ 4 ]} son un par de reglas de transformación que son reglas de inferencia válidas . Reciben su nombre de Augustus De Morgan , un matemático británico del siglo XIX. Estas reglas permiten expresar conjunciones y disyunciones exclusivamente en términos de la otra mediante la negación .

Las reglas se pueden expresar en inglés de la siguiente manera:

La negación de "A y B" es lo mismo que "ni A ni B".
La negación de "A o B" es lo mismo que "ni A ni B".

o

El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos.
El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.

o

no (A o B) = (no A) y (no B)
no (A y B) = (no A) o (no B)

donde "A o B" es un " o inclusivo " que significa al menos uno de A o B en lugar de un " o exclusivo " que significa exactamente uno de A o B.

Otra forma de la ley de De Morgan es la siguiente, como se muestra a continuación.

A-(B\cup C)=(AB)\cap (AC),

A-(B\cap C)=(AB)\cup (AC).

Las aplicaciones de estas reglas incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas informáticos y diseños de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de un concepto más general de dualidad matemática .

Notación formal

La negación de la regla de la conjunción se puede escribir en notación de secuencia :

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q),{\text{y}}\\(\neg P\lor \neg Q)&\vdash \neg (P\land Q).\end{aligned}}

La negación de la regla de disyunción se puede escribir como:

{\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q),{\text{y}}\\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q).\end{aligned}}

En forma de regla : negación de la conjunción

${\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\lor \neg Q}{\therefore \neg (P\land Q)}}$

y la negación de la disyunción

${\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}\qquad {\frac {\neg P\land \neg Q}{\therefore \neg (P\lor Q)}}$

y expresadas como tautologías veritativo-funcionales o teoremas de lógica proposicional:

{\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q),\\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q).\\\end{aligned}}

dónde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Las leyes generalizadas de De Morgan proporcionan una equivalencia para negar una conjunción o disyunción que involucra múltiples términos. Para un conjunto de proposiciones $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}$ Las leyes generalizadas de De Morgan son las siguientes:

{\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}

Estas leyes generalizan las leyes originales de De Morgan para la negación de conjunciones y disyunciones.

Formulario de sustitución

Las leyes de De Morgan se muestran normalmente en la forma compacta anterior, con la negación de la salida a la izquierda y la negación de las entradas a la derecha. Una forma más clara de sustitución se puede expresar como:

{\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}

Esto subraya la necesidad de invertir tanto las entradas como la salida, así como de cambiar el operador al realizar una sustitución.

teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos, a menudo se enuncia como "intercambio de unión e intersección bajo complementación", ^{[ 5 ]} que puede expresarse formalmente como:

{\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}

dónde:

${\overline {A}}$ es la negación de $A$ , la línea superior se escribe encima de los términos que se van a negar,
$\cap$ es el operador de intersección (AND),
$\cup$ es el operador sindical (OR).

Uniones e intersecciones de cualquier número de conjuntos

La forma generalizada es

{\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}

donde $I$ es un conjunto de índices, posiblemente numerable o incontablemente infinito.

En notación de conjuntos, las leyes de De Morgan se pueden recordar usando la mnemotecnia "rompe la línea, cambia el signo". ^{[ 6 ]}

Álgebra booleana

En álgebra booleana, de manera similar, esta ley se puede expresar formalmente como:

{\begin{aligned}{\overline {A\land B}}&={\overline {A}}\lor {\overline {B}},\\{\overline {A\lor B}}&={\overline {A}}\land {\overline {B}},\end{aligned}}

dónde:

${\overline {A}}$ es la negación de $A$ , la línea superior se escribe encima de los términos que se van a negar,
$\land$ es el operador de conjunción lógica (AND),
$\lor$ es el operador de disyunción lógica (OR).

que se puede generalizar a

{\begin{aligned}{\overline {A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\lor {\overline {A_{2}}}\lor \ldots \lor {\overline {A_{n}}},\\{\overline {A_{1}\lor A_{2}\lor \ldots \lor A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\land {\overline {A_{2}}}\land \ldots \land {\overline {A_{n}}}.\end{aligned}}

Ingeniería

En ingeniería eléctrica e informática , las leyes de De Morgan se suelen escribir de la siguiente manera:

{\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})

y

{\overline {(A+B)}}\equiv ({\overline {A}}\cdot {\overline {B}}),

dónde:

$\cdot$ es el AND lógico,
$+$ es el OR lógico,
La barra superior es la negación lógica de lo que está debajo de la barra superior.

Búsqueda de texto

Las leyes de De Morgan se aplican comúnmente a la búsqueda de texto mediante los operadores booleanos AND, OR y NOT. Consideremos un conjunto de documentos que contienen las palabras "gatos" y "perros". Según las leyes de De Morgan, estas dos búsquedas arrojarán el mismo conjunto de documentos:

Buscar A: NO (gatos O perros)

Buscar B: (NO gatos) Y (NO perros)

El conjunto de documentos que contienen "gatos" o "perros" puede representarse mediante cuatro documentos:

Documento 1: Contiene únicamente la palabra "gatos".

Documento 2: Contiene solo "perros".

Documento 3: Contiene tanto "gatos" como "perros".

Documento 4: No contiene ni "gatos" ni "perros".

Para evaluar la Búsqueda A, es evidente que la búsqueda "(gatos O perros)" dará como resultado los Documentos 1, 2 y 3. Por lo tanto, la negación de esa búsqueda (que es la Búsqueda A) dará como resultado todo lo demás, que es el Documento 4.

Al evaluar la búsqueda B, la búsqueda "(NO gatos)" dará como resultado documentos que no contienen "gatos", que son los documentos 2 y 4. De manera similar, la búsqueda "(NO perros)" dará como resultado los documentos 1 y 4. Al aplicar el operador AND a estas dos búsquedas (que es la búsqueda B), se obtendrán los documentos que son comunes a ambas búsquedas, que es el documento 4.

Se puede aplicar una evaluación similar para demostrar que las dos búsquedas siguientes devolverán los documentos 1, 2 y 4:

Buscar C: NO (gatos Y perros),

Buscar D: (NO gatos) O (NO perros).

Ejemplo resuelto

Aquí hay un ejemplo más concreto para ilustrar cómo operan en la práctica las leyes de De Morgan. ^{[ 7 ]}

Consideremos la afirmación: "No es cierto que un número sea par y positivo a la vez". Utilizando las leyes de De Morgan, esta afirmación se puede reescribir como: "El número o no es par o no es positivo" ^{[ 8 ].}

Esta transformación demuestra cómo se distribuye la negación en una conjunción al negar cada componente y cambiar el operador lógico. ^{[ 9 ]} Las reescrituras paso a paso como esta son especialmente útiles al simplificar expresiones lógicas en demostraciones y resolución de problemas.

Historia

Las leyes reciben su nombre de Augustus De Morgan (1806–1871), ^{[ 10 ]} quien introdujo una versión formal de las leyes en la lógica proposicional clásica . La primera ^{[ 11 ]} declaración explícita de las leyes de De Morgan en su propia obra se encuentra en su libro de 1847, Lógica formal . ^{[ 12 ]} La formulación de De Morgan fue influenciada por la algebrización de la lógica emprendida por George Boole , lo que posteriormente consolidó la afirmación de De Morgan sobre el hallazgo. Sin embargo, Aristóteles hizo una observación similar , conocida por los lógicos griegos y medievales. ^{[ 13 ]} Por ejemplo, en el siglo XIV, Guillermo de Ockham escribió las palabras que resultarían de leer las leyes en voz alta. ^{[ 14 ]} Jean Buridan , en su Summulae de Dialectica , también describe reglas de conversión que siguen las líneas de las leyes de De Morgan. ^{[ 15 ]} Aun así, se le reconoce a De Morgan el mérito de haber enunciado las leyes en términos de la lógica formal moderna y de haberlas incorporado al lenguaje de la lógica. Las leyes de De Morgan se pueden demostrar fácilmente e incluso pueden parecer triviales. ^{[ 16 ]} No obstante, estas leyes son útiles para realizar inferencias válidas en demostraciones y argumentos deductivos.

Demostración del álgebra booleana

El teorema de De Morgan puede aplicarse a la negación de una disyunción o a la negación de una conjunción en toda o parte de una fórmula.

Negación de una disyunción

En el caso de su aplicación a una disyunción, considérese la siguiente afirmación: "es falso que A o B sean verdaderas", que se escribe como:

\neg (A\lor B).

Dado que se ha establecido que ni A ni B son verdaderas, entonces se deduce que tanto A como B son falsas, lo cual puede escribirse directamente como:

(\neg A)\wedge (\neg B).

Si A o B fueran verdaderas, entonces la disyunción de A y B sería verdadera, lo que haría falsa su negación. En otras palabras, esto sigue la lógica de que "como dos cosas son falsas, también es falso que alguna de ellas sea verdadera".

En sentido contrario, la segunda expresión afirma que A es falso y B es falso (o, equivalentemente, que "no A" y "no B" son verdaderos). Sabiendo esto, la disyunción de A y B también debe ser falsa. Por lo tanto, la negación de dicha disyunción debe ser verdadera, y el resultado es idéntico a la primera afirmación.

Negación de una conjunción

La aplicación del teorema de De Morgan a la conjunción es muy similar a su aplicación a la disyunción, tanto en forma como en fundamento. Consideremos la siguiente afirmación: "es falso que A y B sean ambas verdaderas", que se escribe como:

\neg (A\land B).

Para que esta afirmación sea verdadera, A o B, o ambas, deben ser falsas, pues si ambas fueran verdaderas, entonces la conjunción de A y B sería verdadera, lo que haría falsa su negación. Por lo tanto, una (al menos) o más de A y B deben ser falsas (o, equivalentemente, una o más de "no A" y "no B" deben ser verdaderas). Esto se puede escribir directamente como:

(\neg A)\lor (\neg B).

Presentado en un lenguaje natural como el inglés, se expresa como "puesto que es falso que dos cosas sean ambas verdaderas, al menos una de ellas debe ser falsa".

Volviendo a la dirección opuesta, la segunda expresión afirma que al menos una de las proposiciones "no A" y "no B" debe ser verdadera, o, equivalentemente, que al menos una de ellas debe ser falsa. Dado que al menos una de ellas debe ser falsa, su conjunción también sería falsa. Por lo tanto, al negar dicha conjunción se obtiene una expresión verdadera, idéntica a la primera afirmación.

Demostración de la teoría de conjuntos

Aquí usamos ${\overline {A}}$ para denotar el complemento de A, como se indicó anteriormente en § Teoría de conjuntos y álgebra booleana . La prueba de que ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ se completa en 2 pasos demostrando ambos ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ y ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ .

Parte 1

Dejar $x\in {\overline {A\cap B}}$ . Entonces, $x\not \in A\cap B$ .

Porque $A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}$ , debe ser el caso que $x\not \in A$ o $x\not \in B$ .

Si $x\not \in A$ , entonces $x\in {\overline {A}}$ , entonces $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

De manera similar, si $x\not \in B$ , entonces $x\in {\overline {B}}$ , entonces $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

De este modo, $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A\cap B}}\implies x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}{\Big )}$ ;

eso es, ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

Parte 2

Para demostrar la dirección inversa, sea $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ y para la contradicción suponemos $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ .

Bajo esa suposición, debe ser cierto que $x\in A\cap B$ ,

Por lo tanto, se deduce que $x\in A$ y $x\in B$ y por lo tanto $x\not \in {\overline {A}}$ y $x\not \in {\overline {B}}$ .

Sin embargo, eso significa $x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ , en contradicción con la hipótesis de que $x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ,

Por lo tanto, la suposición $x\not \in {\overline {A\cap B}}$ No debe ser el caso, lo que significa que $x\in {\overline {A\cap B}}$ .

Por eso, $\forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big )}$ ,

eso es, ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ .

Conclusión

Si ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}$ y ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ , entonces ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ ; con esto concluye la demostración de la ley de De Morgan.

La otra ley de De Morgan, ${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ , se demuestra de manera similar.

Generalización de la dualidad de De Morgan

En las extensiones de la lógica proposicional clásica, la dualidad se mantiene (es decir, para cualquier operador lógico siempre se puede encontrar su dual), ya que, en presencia de las identidades que rigen la negación, siempre se puede introducir un operador que sea el dual de De Morgan de otro. Esto conduce a una propiedad importante de las lógicas basadas en la lógica clásica , a saber, la existencia de formas normales de negación : cualquier fórmula es equivalente a otra fórmula donde las negaciones solo ocurren aplicadas a los átomos no lógicos de la fórmula. La existencia de formas normales de negación impulsa muchas aplicaciones, por ejemplo, en el diseño de circuitos digitales , donde se utiliza para manipular los tipos de puertas lógicas , y en lógica formal, donde es necesario encontrar la forma normal conjuntiva y la forma normal disyuntiva de una fórmula. Los programadores informáticos las utilizan para simplificar o negar correctamente condiciones lógicas complejas . También suelen ser útiles en cálculos de teoría de probabilidad elemental .

Definamos el dual de cualquier operador proposicional P( p , q , ...) que depende de proposiciones elementales p , q , ... como el operador ${\mbox{P}}^{d}$ definido por

{\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).

Extensión a la lógica de predicados y modales.

Esta dualidad puede generalizarse a los cuantificadores, de modo que, por ejemplo, el cuantificador universal y el cuantificador existencial son duales:

\forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]

\exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]

Para relacionar estas dualidades de cuantificadores con las leyes de De Morgan, consideremos un dominio de discurso D (con un pequeño número de entidades) al que se le atribuyen propiedades de forma universal y existencial, como por ejemplo:

D = { a , b , c }.

Luego, exprese el cuantificador universal de forma equivalente mediante la conjunción de enunciados individuales.

\forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)

y cuantificador existencial por disyunción de enunciados individuales

\exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).

Pero, utilizando las leyes de De Morgan,

P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))

y

P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),

verificar las dualidades de cuantificadores en el modelo.

Luego, las dualidades de cuantificadores pueden extenderse aún más a la lógica modal , relacionando los operadores de caja ("necesariamente") y diamante ("posiblemente"):

\Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,

\Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.

En su aplicación a las modalidades aléticas de posibilidad y necesidad, Aristóteles observó este caso, y en el caso de la lógica modal normal , la relación de estos operadores modales con la cuantificación puede entenderse estableciendo modelos utilizando la semántica de Kripke .

En la lógica intuicionista

Tres de las cuatro implicaciones de las leyes de De Morgan se cumplen en la lógica intuicionista . Específicamente, tenemos:

\neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

y

{\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q).

Lo contrario de la última implicación no se cumple en la lógica intuicionista pura. Es decir, el fracaso de la proposición conjunta $P\land Q$ No necesariamente se puede resolver con el fallo de alguno de los dos elementos conjuntivos . Por ejemplo, del hecho de saber que no fue cierto que tanto Alice como Bob se presentaran a su cita, no se deduce quién no se presentó. Este último principio es equivalente al principio del tercero excluido débil. ${\mathrm {WPEM} }$ ,

(\neg P)\lor \neg (\neg P).

Esta forma débil puede utilizarse como base para una lógica intermedia . Para una versión refinada de la ley fallida relativa a las afirmaciones existenciales, véase el principio limitado menor de omnisciencia. ${\mathrm {LLPO} }$ , que sin embargo es diferente de ${\mathrm {WLPO} }$ .

La validez de las otras tres leyes de De Morgan sigue siendo cierta si se niega $\neg P$ es reemplazado por implicación $P\to C$ para algún predicado constante arbitrario C, lo que significa que las leyes anteriores siguen siendo verdaderas en lógica mínima .

De forma similar a lo anterior, las leyes de cuantificación:

\forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)

y

\exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x).

¿Son tautologías incluso en lógica mínima con la negación reemplazada por implicar una fija? $Q$ , mientras que lo contrario de la última ley no tiene por qué ser cierto en general.

Además, todavía se tiene

(P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},

(P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},

\forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),

\exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),

pero su inversión implica el tercero excluido , ${\mathrm {PEM} }$ .

En ingeniería informática

Las leyes de De Morgan se utilizan ampliamente en ingeniería informática y lógica digital con el fin de simplificar los diseños de circuitos. ^{[ 17 ]}
En los lenguajes de programación modernos, los compiladores e intérpretes utilizan las leyes de De Morgan para optimizar las expresiones booleanas. Por lo tanto, las diferencias de rendimiento entre expresiones lógicamente equivalentes suelen ser insignificantes o inexistentes.

Aplicaciones ampliadas

Las leyes de De Morgan se citan comúnmente en el diseño de circuitos digitales y el álgebra booleana; sin embargo, también desempeñan un papel importante en el razonamiento y la computación. Las leyes de De Morgan se utilizan en la teoría de la probabilidad, permitiendo simplificar los complementos de eventos compuestos. ^{[ 18 ]} Las expresiones que incluyen "no ambos" o "no ninguno" pueden reescribirse en formas más manejables.

En informática, estas leyes se aplican con frecuencia al reescribir sentencias condicionales. Negar una condición compuesta en el código a menudo requiere transformar una condición AND en una condición OR con componentes negados, lo que ilustra cómo estas leyes mejoran tanto la legibilidad como la corrección al diseñar algoritmos. ^{[ 19 ]}

Las leyes de De Morgan también son útiles en las demostraciones formales, donde la transformación de enunciados lógicos en formas equivalentes puede facilitar la construcción y verificación de argumentos.

Véase también

Referencias

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↑ 2000 Problemas Resueltos en Electrónica Digital por SP Bali
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Enlaces externos

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[6] 2000 Problemas Resueltos en Electrónica Digital por SP Bali

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