Álgebra de De Morgan

En matemáticas , un álgebra de De Morgan (llamada así en honor a Augustus De Morgan , matemático y lógico británico) es una estructura A =  (A,  ∨,  ∧,  0,  1,  ¬) tal que:

• ( A ,  ∨,  ∧,  0,  1) es un retículo distributivo acotado y
• ¬ es una involución de De Morgan: ¬( x  ∧ y ) = ¬ x ∨ ¬ y y ¬¬ x = x . (es decir, una involución que además satisface las leyes de De Morgan )   

En un álgebra de De Morgan, las leyes

• ¬ x  ∨ x = 1 ( ley del tercero excluido ), y 
• ¬ x  ∧ x = 0 ( ley de no contradicción ) 

no siempre se cumplen. En presencia de las leyes de De Morgan, una ley implica la otra, y un álgebra que las satisface se convierte en un álgebra booleana .

Nota: De ello se deduce que ¬(x  ∨  y) = ¬x  ∧  ¬y, ¬1 = 0 y ¬0 = 1 (por ejemplo, ¬1 = ¬1  ∨  0 = ¬1  ∨  ¬¬0 = ¬(1  ∧  ¬0) = ¬¬0 = 0). Por lo tanto, ¬ es un automorfismo dual de ( A ,  ∨,  ∧,  0,  1).

Si la red se define en términos del orden, es decir, (A,  ≤) es un orden parcial acotado con un límite superior mínimo y un límite inferior máximo para cada par de elementos, y las operaciones de encuentro y unión así definidas satisfacen la ley distributiva, entonces la complementación también puede definirse como un antiautomorfismo involutivo, es decir, una estructura A =  (A,  ≤,  ¬) tal que:

• (A,  ≤) es una red distributiva acotada y
• ¬¬ x = x , y
• x ≤ y → ¬ y ≤ ¬ x .

Las álgebras de De Morgan fueron introducidas por Grigore Moisil ^{[ 1 ] [ 2 ]} alrededor de 1935, ^{[ 2 ]} aunque sin la restricción de tener un 0 y un 1. ^{[ 3 ]} Luego fueron llamadas de diversas maneras álgebras cuasi-booleanas en la escuela polaca , por ejemplo por Rasiowa y también i- retículos distributivos por J.A. Kalman . ^{[ 2 ]} ( i- retículo es una abreviatura de retículo con involución). Han sido estudiadas más a fondo en la escuela argentina de lógica algebraica de Antonio Monteiro . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Las álgebras de De Morgan son importantes para el estudio de los aspectos matemáticos de la lógica difusa . El álgebra difusa estándar F =  ([0, 1],  max( x , y ), min( x , y ), 0, 1, 1 − x ) es un ejemplo de un álgebra de De Morgan donde no se cumplen las leyes del tercero excluido y de no contradicción.        

Otro ejemplo es la semántica de cuatro valores de Dunn para el álgebra de De Morgan, que tiene los valores T (rue), F (alse), B (oth) y N (either), donde

• F < B < T ,
• F < N < T y
• B y N no son comparables. ^{[ 2 ]}

Si un álgebra de De Morgan satisface además x ∧ ¬ x ≤ y ∨ ¬ y , se denomina álgebra de Kleene . ^{[ 1 ] [ 3 ]} (Esta noción no debe confundirse con la otra álgebra de Kleene que generaliza las expresiones regulares ). Kalman también ha denominado a esta noción i- retículo normal .

Ejemplos de álgebras de Kleene en el sentido definido anteriormente incluyen: grupos reticulares ordenados , álgebras de Post y álgebras de Łukasiewicz . ^{[ 3 ]} Las álgebras booleanas también cumplen esta definición de álgebra de Kleene. El álgebra de Kleene más simple que no es booleana es la lógica trivalente de Kleene K ₃ . ^{[ 4 ]} K ₃ apareció por primera vez en la obra de Kleene , Sobre la notación para números ordinales (1938). ^{[ 5 ]} El álgebra fue nombrada en honor a Kleene por Brignole y Monteiro. ^{[ 6 ]}

Las álgebras de De Morgan no son la única forma plausible de generalizar las álgebras booleanas. Otra forma es mantener ¬ x  ∧ x = 0 (es decir, la ley de no contradicción) pero eliminar la ley del tercero excluido y la ley de doble negación. Este enfoque (llamado semicomplementación ) está bien definido incluso para un semiretículo (de intersección) ; si el conjunto de semicomplementos tiene un elemento mayor, generalmente se le llama pseudocomplemento , y el álgebra resultante es un álgebra de Heyting . Si el pseudocomplemento satisface la ley del tercero excluido, el álgebra resultante también es booleana. Sin embargo, si solo se requiere la ley más débil ¬ x ∨ ¬¬ x = 1, esto da como resultado álgebras de Stone . ^{[ 1 ]} De manera más general, tanto las álgebras de De Morgan como las de Stone son subclases propias de las álgebras de Ockham .   

• Retículo ortocomplementado

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