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Articulo de referencia

La fórmula de Legendre

En matemáticas, la fórmula de Legendre proporciona una expresión para el exponente de la mayor potencia de un número primo p que divide al factorial n !. Recibe su nombre de Adr...

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En matemáticas, la fórmula de Legendre proporciona una expresión para el exponente de la mayor potencia de un número primo p que divide al factorial n !. Recibe su nombre de Adrien-Marie Legendre . También se la conoce a veces como la fórmula de Polignac , en honor a Alphonse de Polignac . 

Declaración

Para cualquier número primo p y cualquier entero positivo n , seaνpag(norte){\displaystyle \nu _{p}(n)}Sea el exponente de la mayor potencia de p que divide a n (es decir, la valuación p -ádica de n ). Entonces

νpag(norte¡)=∑i=1∞⌊nortepagi⌋,{\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,}

dónde⌊incógnita⌋{\displaystyle \lfloor x\rfloor }es la función piso . Si bien la suma del lado derecho es una suma infinita, para cualquier valor particular de n y p solo tiene un número finito de términos distintos de cero: para cada i suficientemente grande quepagi>norte{\displaystyle p^{i}>n}, uno tiene⌊nortepagi⌋=0{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =0}Esto reduce la suma infinita anterior a

νpag(norte¡)=∑i=1L⌊nortepagi⌋,{\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{L}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \,,}

dóndeL=⌊registropag⁡norte⌋{\displaystyle L=\lfloor \log _{p}n\rfloor }.

Ejemplo

Para n = 6, se tiene6¡=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6=24⋅32⋅51{\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}Los exponentesν2(6¡)=4{\displaystyle \nu _ {2}(6!)=4},ν3(6¡)=2{\displaystyle \nu _ {3}(6!)=2}, yν5(6¡)=1{\displaystyle \nu _ {5}(6!)=1}Se puede calcular mediante la fórmula de Legendre de la siguiente manera:

ν2(6¡)=∑i=1∞⌊62i⌋=⌊62⌋+⌊64⌋=3+1=4,ν3(6¡)=∑i=1∞⌊63i⌋=⌊63⌋=2,ν5(6¡)=∑i=1∞⌊65i⌋=⌊65⌋=1.{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}

Prueba

Desdenorte¡{\displaystyle n!}es el producto de los enteros del 1 al n , obtenemos al menos un factor de p ennorte¡{\displaystyle n!}para cada múltiplo de p en{1,2,…,norte}{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}, de los cuales hay⌊nortepag⌋{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }Cada múltiplo depag2{\displaystyle p^{2}}aporta un factor adicional de p , cada múltiplo depag3{\displaystyle p^{3}}aporta otro factor más de p , etc. Sumando el número de estos factores se obtiene la suma infinita paraνpag(norte¡){\displaystyle \nu _{p}(n!)}.

Forma alternativa

También se puede reformular la fórmula de Legendre en términos de la expansión en base p de n . Seaspag(norte){\displaystyle s_{p}(n)}denotamos la suma de los dígitos en la expansión en base p de n ; entonces

νpag(norte¡)=norte−spag(norte)pag−1.{\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}

Por ejemplo, escribiendo n = 6 en binario como 6 10 = 110 2 , tenemos ques2(6)=1+1+0=2{\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2}y entonces

ν2(6¡)=6−22−1=4.{\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}

De manera similar, escribiendo 6 en ternario como 6 10 = 20 3 , tenemos ques3(6)=2+0=2{\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2}y entonces

ν3(6¡)=6−23−1=2.{\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}

Prueba

Escribirnorte=norteℓpagℓ+⋯+norte1pag+norte0{\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}en base p . Entonces⌊nortepagi⌋=norteℓpagℓ−i+⋯+nortei+1pag+nortei{\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}}y por lo tanto

νpag(norte¡)=∑i=1ℓ⌊nortepagi⌋=∑i=1ℓ(norteℓpagℓ−i+⋯+nortei+1pag+nortei)=∑i=1ℓ∑j=iℓnortejpagj−i=∑j=1ℓ∑i=1jnortejpagj−i=∑j=1ℓnortej⋅pagj−1pag−1=∑j=0ℓnortej⋅pagj−1pag−1=1pag−1∑j=0ℓ(nortejpagj−nortej)=1pag−1(norte−spag(norte)).{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}

Aplicaciones

La fórmula de Legendre se puede utilizar para demostrar el teorema de Kummer . Como un caso especial, se puede utilizar para demostrar que si n es un entero positivo, entonces 4 divide a n.(2nortenorte){\displaystyle {\binom {2n}{n}}}si y solo si n no es una potencia de 2.

De la fórmula de Legendre se deduce que la función exponencial p -ádica tiene radio de convergenciapag−1/(pag−1){\displaystyle p^{-1/(p-1)}}.

Referencias