Conjunto infinito de Dedekind

En matemáticas , un conjunto A es Dedekind-infinito (llamado así en honor al matemático alemán Richard Dedekind ) si algún subconjunto propio B de A es equinumérico a A. Explícitamente, esto significa que existe una función biyectiva de A sobre algún subconjunto propio B de A. Un conjunto es Dedekind-finito si no es Dedekind-infinito (es decir, no existe tal biyección). Propuesta por Dedekind en 1888, la infinitud de Dedekind fue la primera definición de "infinito" que no se basaba en la definición de los números naturales . ^{[ 1 ]}

Un ejemplo sencillo es${\displaystyle \mathbb {N} }$, el conjunto de ^los números naturales . De la paradoja de Galileo , existe una biyección que asigna a cada número natural n su cuadrado n² . Dado que el conjunto de los cuadrados es un subconjunto propio de${\displaystyle \mathbb {N} }$,${\displaystyle \mathbb {N} }$es Dedekind-infinito.

Hasta que la crisis fundacional de las matemáticas puso de manifiesto la necesidad de un tratamiento más riguroso de la teoría de conjuntos, la mayoría de los matemáticos asumían que un conjunto es infinito si y solo si es Dedekind-finito. A principios del siglo XX, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , actualmente la forma más utilizada de teoría axiomática de conjuntos , se propuso como un sistema axiomático para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la de Russell . Utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluyendo el axioma de elección ( ZFC ), originalmente muy controvertido, se puede demostrar que un conjunto es Dedekind-finito si y solo si es finito en el sentido usual. Sin embargo, existe un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ( ZF ) en el que existe un conjunto infinito Dedekind-finito, lo que demuestra que los axiomas de ZF no son lo suficientemente fuertes como para probar que todo conjunto Dedekind-finito es finito. ^{[ 2 ] [ 1 ]} Existen definiciones de finitud e infinitud de conjuntos además de la dada por Dedekind que no dependen del axioma de elección.

Una noción vagamente relacionada es la de un anillo finito de Dedekind .

Esta definición de " conjunto infinito " debe compararse con la definición habitual: un conjunto${\displaystyle A}$⁠ es infinito cuando no se puede poner en biyección con un ordinal finito , es decir, un conjunto de la forma ⁠${\displaystyle {0,1,2,...,n-1}}$para algún número natural${\displaystyle n}$—un conjunto infinito es aquel que literalmente "no es finito", en el sentido de biyección.

Mientras tanto, un conjunto${\displaystyle A}$Un conjunto es Dedekind-infinito si y solo si tiene un subconjunto que puede ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales, es decir, si y solo si existe una sucesión infinita no repetitiva .${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$de sus elementos. [ ^{n 1 ]} Es intuitivamente obvio que tal secuencia no puede existir si${\displaystyle A}$es finito en el sentido usual, y de hecho esto puede probarse rigurosamente mediante inducción matemática sobre la cardinalidad de${\displaystyle A}$⁠ . Por otro lado, cuando ⁠${\displaystyle A}$Si es infinito en el sentido habitual, se necesita alguna forma (posiblemente débil) del axioma de elección (AC) para construir dicha secuencia infinita.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, la mayoría de los matemáticos simplemente asumían que un conjunto es infinito si y solo si es infinito de Dedekind. Sin embargo, esta equivalencia no puede demostrarse con los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección numerable (AC, por sus siglas en inglés). No se requiere la fuerza completa del AC para demostrar la equivalencia; de hecho, la equivalencia de ambas definiciones es estrictamente más débil que el axioma de elección numerable (CC). (Véanse las referencias a continuación).

Un conjunto A es Dedekind-infinito si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

• tiene un subconjunto infinito numerable ;
• existe una aplicación inyectiva de un conjunto infinitamente numerable (digamos, N , el conjunto de todos los números naturales ) a A ;
• existe una biyección entre A y algún subconjunto propio de A ;
• existe una función A → A que es inyectiva pero no sobreyectiva ;
• existe una función inyectiva A ∪ { A } → A ;

Es dualmente Dedekind-infinito si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

• Existe una función A → A que es sobreyectiva pero no inyectiva;
• existe una función sobreyectiva A → A ∪ { A };

Es débilmente Dedekind-infinito si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

• Existe una aplicación sobreyectiva de A sobre un conjunto infinito numerable;
• El conjunto potencia de A es Dedekind-infinito;

y es infinito si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes (sobre ZF ):

• para todos los números naturales n , no existe una biyección de {0, 1, 2, ..., n −1} a A ;
• El conjunto potencia de A es débilmente Dedekind-infinito. ^{[ n 2 ]}

Entonces, ZF demuestra las siguientes implicaciones: Dedekind-infinito ⇒ dualmente Dedekind-infinito ⇒ débilmente Dedekind-infinito ⇒ infinito.

Existen modelos de ZF que poseen un conjunto infinito Dedekind-finito. Sea A dicho conjunto y B el conjunto de secuencias inyectivas finitas de A. Dado que A es infinito, la función "eliminar el último elemento" de B sobre sí mismo es sobreyectiva pero no inyectiva, por lo que B es dualmente Dedekind-finito. Sin embargo, dado que A es Dedekind-finito, también lo es B (si B tuviera un subconjunto numerablemente infinito, entonces, utilizando el hecho de que los elementos de B son secuencias inyectivas, se podría demostrar un subconjunto numerablemente infinito de A ).

Cuando los conjuntos tienen estructuras adicionales, ambos tipos de infinitud pueden demostrarse equivalentes en ZF . Por ejemplo, ZF demuestra que un conjunto bien ordenado es Dedekind-infinito si y solo si es infinito.

El término recibe su nombre del matemático alemán Richard Dedekind , quien introdujo explícitamente la definición por primera vez. Cabe destacar que esta definición fue la primera de "infinito" que no se basaba en la definición de los números naturales (a menos que se siga a Poincaré y se considere que la noción de número es anterior incluso a la de conjunto). Si bien Bernard Bolzano conocía dicha definición , las condiciones de su exilio político de la Universidad de Praga en 1819 le impidieron publicar su trabajo en revistas que no fueran las más desconocidas. Además, la definición de Bolzano era más bien una relación entre dos conjuntos infinitos, en lugar de una definición de un conjunto infinito propiamente dicho .

Durante mucho tiempo, muchos matemáticos ni siquiera consideraron la posibilidad de una distinción entre los conceptos de conjunto infinito y conjunto infinito de Dedekind. De hecho, esta distinción no se comprendió realmente hasta que Ernst Zermelo formuló explícitamente el AC. La existencia de conjuntos infinitos, finitos de Dedekind, fue estudiada por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en 1912; estos conjuntos fueron denominados inicialmente cardinales mediatos o cardinales de Dedekind .

Con la aceptación generalizada del axioma de elección en la comunidad matemática, estas cuestiones relativas a los conjuntos infinitos y a los conjuntos infinitos de Dedekind han perdido relevancia para la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, el estudio de los conjuntos infinitos de Dedekind desempeñó un papel importante en el intento de esclarecer la frontera entre lo finito y lo infinito, así como en la historia del axioma de elección.

Dado que todo conjunto infinito bien ordenado es Dedekind-infinito, y puesto que el principio de AC es equivalente al teorema del buen ordenamiento que afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado, es evidente que el principio de AC general implica que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia entre ambas definiciones es mucho más débil que la fuerza total del principio de AC.

En particular, existe un modelo de ZF en el que existe un conjunto infinito sin subconjuntos infinitos numerables . Por lo tanto, en este modelo existe un conjunto infinito, finito de Dedekind. Según lo anterior, dicho conjunto no puede estar bien ordenado en este modelo.

Si asumimos el axioma de elección numerable (es decir, AC _ω ), entonces se deduce que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito. Sin embargo, la equivalencia de estas dos definiciones es, de hecho, estrictamente más débil que incluso el AC _ω . Explícitamente, existe un modelo de ZF en el que todo conjunto infinito es Dedekind-infinito, pero el AC _ω falla (suponiendo consistencia de ZF ).

Que todo conjunto Dedekind-infinito es infinito se puede demostrar fácilmente en ZF: todo conjunto finito tiene por definición una biyección con algún ordinal finito n , y se puede demostrar por inducción sobre n que este no es Dedekind-infinito.

Utilizando el axioma de elección numerable se puede demostrar lo contrario, es decir, que todo conjunto infinito X es Dedekind-infinito, como sigue:

Primero, definimos una función sobre los números naturales (es decir, sobre los ordinales finitos) f  : N → Power(Power( X )) , de modo que para cada número natural n , f ( n ) es el conjunto de subconjuntos finitos de X de tamaño n (es decir, que tienen una biyección con el ordinal finito n ). f ( n ) nunca es vacío, o de lo contrario X sería finito (como se puede demostrar por inducción sobre n ).

La imagen de f es el conjunto numerable { f ( n ) | n ∈ N }, cuyos miembros son a su vez conjuntos infinitos (y posiblemente no numerables). Usando el axioma de elección numerable podemos elegir un miembro de cada uno de estos conjuntos, y este miembro es a su vez un subconjunto finito de X. Más precisamente, según el axioma de elección numerable, existe un conjunto (contable), G = { g ( n ) | n ∈ N }, tal que para cada número natural n , g ( n ) es un miembro de f ( n ) y por lo tanto es un subconjunto finito de X de tamaño n .

Ahora, definimos U como la unión de los miembros de G. U es un subconjunto infinito numerable de X , y se puede definir fácilmente una biyección de los números naturales a U , h  : N → U. Podemos definir ahora una biyección B  : X → X \ h (0) que toma cada miembro que no está en U consigo mismo, y toma h ( n ) para cada número natural a h ( n + 1) . Por lo tanto, X es Dedekind-infinito, y hemos terminado.

Expresado en términos de teoría de categorías , un conjunto A es Dedekind-finito si en la categoría de conjuntos , todo monomorfismo f  : A → A es un isomorfismo . Un anillo regular de von Neumann R tiene la propiedad análoga en la categoría de R - módulos (izquierdo o derecho) si y solo si en R , xy = 1 implica yx = 1. Más generalmente, un anillo Dedekind-finito es cualquier anillo que satisface esta última condición. Tenga cuidado de que un anillo puede ser Dedekind-finito incluso si su conjunto subyacente es Dedekind-infinito, por ejemplo, los enteros .

• Conjunto amorfo

• Faith, Carl Clifton. Estudios y monografías matemáticas . Volumen 65. Sociedad Matemática Americana. 2.ª ed. Librería de la AMS, 2004. ISBN 0-8218-3672-2
• Moore, Gregory H., El axioma de elección de Zermelo , Springer-Verlag, 1982 (agotado), ISBN 0-387-90670-3, en particular las páginas 22-30 y las tablas 1 y 2 de las páginas 322-323.
• Jech, Thomas J. , El axioma de la elección , Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8
• Lam, Tsit-Yuen . Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Volumen 131 de Textos de posgrado en matemáticas . 2.ª ed. Springer, 2001. ISBN 0-387-95183-0
• Herrlich, Horst, Axioma de elección , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN edición impresa 0075–8434, ISSN edición electrónica: 1617-9692, en particular la Sección 4.1.