Degeneración (matemáticas)

En matemáticas , un caso degenerado es un caso límite de una clase de objetos que parece ser cualitativamente diferente (y generalmente más simple) que el resto de la clase; ^{[ 1 ]} " degeneración " es la condición de ser un caso degenerado. ^{[ 2 ]} Una clase dada de objetos puede definirse mediante varios sistemas de ecuaciones diferentes en la mayoría de los escenarios, y estos diferentes sistemas de ecuaciones pueden conducir a distintos casos degenerados, al tiempo que caracterizan los mismos casos no degenerados. Esta puede ser la razón por la que no existe una definición general de degeneración, a pesar de que el concepto se usa ampliamente y se define (cuando es necesario) en cada situación específica.

A menudo, los casos degenerados son los casos excepcionales en los que se producen cambios en la dimensión usual o en la cardinalidad del objeto (o de alguna parte del mismo). Por ejemplo, un triángulo es un objeto de dimensión dos, y un triángulo degenerado está contenido en una línea ^{[ 3 ]} , lo que hace que su dimensión sea uno. Esto es similar al caso de un círculo, cuya dimensión se reduce de dos a cero al degenerar en un punto ^{[ 1 ]} . Como otro ejemplo, el conjunto solución de un sistema de ecuaciones que depende de parámetros generalmente tiene una cardinalidad y dimensión fijas, pero la cardinalidad y/o la dimensión pueden ser diferentes para algunos valores excepcionales, llamados casos degenerados. En tal caso degenerado, se dice que el conjunto solución es degenerado.

Un caso degenerado posee características especiales que lo convierten en un caso no genérico o especial . Sin embargo, no todos los casos no genéricos o especiales son degenerados. Por ejemplo, los triángulos rectángulos , isósceles y equiláteros no son genéricos ni degenerados. De hecho, los casos degenerados suelen corresponder a singularidades , ya sea en el objeto o en algún espacio de configuración . Por ejemplo, una sección cónica es degenerada si y solo si tiene puntos singulares (p. ej., un punto, una línea, líneas que se intersecan). ^{[ 4 ]}

Las definiciones de muchas clases de objetos compuestos o estructurados a menudo incluyen implícitamente desigualdades. Por ejemplo, se supone que los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo son positivos. Los casos límite, donde una o varias de estas desigualdades se convierten en igualdades, son degeneraciones. Un triángulo, por ejemplo, es degenerado si al menos una longitud de lado o un ángulo es cero. Equivalentemente, se convierte en un segmento de línea . ^{[ 3 ]} Para algunas clases de objetos compuestos, los casos degenerados dependen de las propiedades que se estudian específicamente. En particular, la clase de objetos a menudo puede definirse o caracterizarse mediante sistemas de ecuaciones.

Triángulo

Un triángulo degenerado es un triángulo "plano" en el sentido de que está contenido en un segmento de línea . En otras palabras, un triángulo degenerado es un triángulo que no satisface la desigualdad triangular estricta:${\displaystyle a+b>c}$En cambio, satisface:${\displaystyle a+b=c}$^{[ 5 ]} . Tiene, por lo tanto,vérticescolineales ^{[ 3 ]} y área cero. Si los tres vértices son distintos, tiene dos ángulos de 0° y un ángulo de 180°. Si dos vértices son iguales, tiene un ángulo de 0° y dos ángulos indefinidos. Si los tres vértices son iguales, los tres ángulos son indefinidos.

• Un conjunto que contiene un solo punto es un continuo degenerado .
• Objetos como el digon y el monógono pueden considerarse casos degenerados de polígonos : válidos en un sentido matemático abstracto general, pero que no forman parte de la concepción euclidiana original de los polígonos.
• Una variable aleatoria que solo puede tomar un valor tiene una distribución degenerada ; si ese valor es el número real 0, entonces su densidad de probabilidad es la función delta de Dirac .
• A veces se dice que una raíz de un polinomio es degenerada si es una raíz múltiple , ya que, en general, las n raíces de un polinomio de grado n son todas distintas. ^{[ 1 ]} Este uso se extiende a los problemas de autovalores: un autovalor degenerado es una raíz múltiple del polinomio característico .
• En mecánica cuántica , cualquier multiplicidad de este tipo en los autovalores del operador hamiltoniano da lugar a niveles de energía degenerados . Generalmente, dicha degeneración indica alguna simetría subyacente en el sistema.

• Degeneración (teoría de grafos)
• Forma degenerada
• Trivial (matemáticas)
• Patológico (matemáticas)
• Verdad vacía