Grado de un polinomio

En matemáticas , el grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios (términos individuales) con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él y, por lo tanto, es un entero no negativo . Para un polinomio univariado , el grado del polinomio es simplemente el exponente más alto que aparece en él. ^{[ 1 ]} El término orden se ha utilizado como sinónimo de grado , pero hoy en día puede referirse a varios otros conceptos (véase Orden de un polinomio (desambiguación) ).

Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$que también se puede escribir como${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$Tiene tres términos. El primer término tiene grado 5 (la suma de las potencias 2 y 3), el segundo término tiene grado 1 y el último término tiene grado 0. Por lo tanto, el polinomio tiene grado 5, que es el grado más alto de cualquiera de sus términos.

Para determinar el grado de un polinomio que no está en forma estándar, como por ejemplo:${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$, se puede poner en forma estándar expandiendo los productos (por distributividad ) y combinando los términos semejantes; por ejemplo,${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$es de grado 1, aunque cada sumando tenga grado 2. Sin embargo, esto no es necesario cuando el polinomio se escribe como un producto de polinomios en forma estándar, porque el grado de un producto es la suma de los grados de los factores.

Los siguientes nombres se asignan a los polinomios según su grado: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• Caso especial: cero (véase §  Grado del polinomio cero , más abajo)
• Grado 0 – constante distinta de cero ^{[ 5 ]}
• Grado 1 – lineal
• Grado 2 – cuadrático
• Grado 3 – cúbico
• Grado 4 – cuártico (o, si todos los términos tienen grado par, bicuadrático )
• Grado 5 – quíntico
• Grado 6 – séxtico (o, menos comúnmente, hexico)
• Grado 7 – séptico (o, menos comúnmente, heptico)
• Grado 8 – óctico
• Grado 9 – nónico
• Grado 10 – decic

Names for degree above three are based on Latin ordinal numbers, and end in -ic. This should be distinguished from the names used for the number of variables, the arity, which are based on Latin distributive numbers, and end in -ary. For example, a degree two polynomial in two variables, such as ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$, is called a "binary quadratic": binary due to two variables, quadratic due to degree two.^[a] There are also names for the number of terms, which are also based on Latin distributive numbers, ending in -nomial; the common ones are monomial, binomial, and (less commonly) trinomial; thus ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ is a "binary quadratic binomial".

The polynomial ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ is a cubic polynomial: after multiplying out and collecting terms of the same degree, it becomes ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$, with highest exponent 3.

The polynomial ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ is a quintic polynomial: upon combining like terms, the two terms of degree 8 cancel, leaving ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$, with highest exponent 5.

The degree of the sum, the product or the composition of two polynomials is strongly related to the degree of the input polynomials.^[6]

El grado del polinomio cero se deja sin definir o se define como negativo (generalmente −1 o${\displaystyle -\infty }$). ^{[ 7 ]}

Como cualquier valor constante, el valor 0 puede considerarse un polinomio (constante), llamado polinomio cero . No tiene términos distintos de cero y, por lo tanto, estrictamente hablando, tampoco tiene grado. En consecuencia, su grado suele ser indefinido. Las proposiciones para el grado de sumas y productos de polinomios en la sección anterior no se aplican si alguno de los polinomios involucrados es el polinomio cero. ^{[ 8 ]}

Sin embargo, es conveniente definir el grado del polinomio cero como menos infinito ,${\displaystyle -\infty ,}$y para introducir las reglas aritméticas ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

y

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Estos ejemplos ilustran cómo esta extensión cumple con las reglas de comportamiento mencionadas anteriormente:

• El grado de la suma${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$es 3. Esto satisface el comportamiento esperado, que es que${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$.
• El grado de diferencia${\displaystyle (x)-(x)=0}$es${\displaystyle -\infty }$. Esto satisface el comportamiento esperado, que es que${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$.
• El grado del producto${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$es${\displaystyle -\infty }$. Esto satisface el comportamiento esperado, que es que${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$.

Existen varias fórmulas que permiten evaluar el grado de una función polinómica f . Una de ellas, basada en el análisis asintótico, es:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

Este es el equivalente exacto del método para estimar la pendiente en un gráfico log-log .

Esta fórmula generaliza el concepto de grado a algunas funciones que no son polinomios. Por ejemplo:

• El grado del inverso multiplicativo ,${\displaystyle \ 1/x}$, es − 1.
• El grado de la raíz cuadrada ,${\displaystyle {\sqrt {x}}}$, es 1/2.
• El grado del logaritmo ,${\displaystyle \ \log x}$, es 0.
• El grado de la función exponencial ,${\displaystyle \exp x}$, es${\displaystyle \infty .}$

La fórmula también proporciona resultados sensatos para muchas combinaciones de dichas funciones, por ejemplo, el grado de${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$es${\displaystyle -1/2}$.

Otra fórmula para calcular el grado de f a partir de sus valores es

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

Esta segunda fórmula se obtiene al aplicar la regla de L'Hôpital a la primera fórmula. Sin embargo, intuitivamente, se trata más bien de mostrar el grado d como el factor constante adicional en la derivada.${\displaystyle dx^{d-1}}$de${\displaystyle x^{d}}$.

Se puede obtener una descripción más detallada (que un simple grado numérico) de la asintótica de una función utilizando la notación O grande . En el análisis de algoritmos , por ejemplo, suele ser relevante distinguir entre las tasas de crecimiento de${\displaystyle x}$y${\displaystyle x\log x}$, que según las fórmulas anteriores darían como resultado el mismo grado.

Para polinomios con dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado (a veces llamado ^grado total ) del polinomio es nuevamente el máximo de los grados de todos los términos en el polinomio. Por ejemplo, el polinomio ^{x²y² + 3x³ +} 4y tiene grado 4 , el mismo grado que ^{el término} x²y² .

Sin embargo, un polinomio en variables x e y es un polinomio en x con coeficientes que son polinomios en y , y también un polinomio en y con coeficientes que son polinomios en x . El polinomio

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

tiene grado 3 en x y grado 2 en y .

Dado un anillo R , el anillo de polinomios R [ x ] es el conjunto de todos los polinomios en x que tienen coeficientes en R. En el caso especial de que R sea también un cuerpo , el anillo de polinomios R [ x ] es un dominio de ideales principales y, lo que es más importante para nuestra discusión aquí, un dominio euclidiano .

Se puede demostrar que el grado de un polinomio sobre un cuerpo satisface todos los requisitos de la función norma en el dominio euclidiano. Es decir, dados dos polinomios f ( x ) y g ( x ), el grado del producto f ( x ) g ( x ) debe ser mayor que los grados de f y g individualmente. De hecho, se cumple algo más fuerte:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

Para un ejemplo de por qué la función de grado puede fallar sobre un anillo que no es un cuerpo, tomemos el siguiente ejemplo. Sea R =${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$, el anillo de los enteros módulo 4. Este anillo no es un cuerpo (y ni siquiera es un dominio de integridad ) porque 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Por lo tanto, sea f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Entonces, f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Así, deg( f ⋅ g ) = 0 que no es mayor que los grados de f y g (que tenían grado 1 cada uno).

Dado que la función norma no está definida para el elemento cero del anillo, consideramos que el grado del polinomio f ( x ) = 0 también es indefinido, de modo que sigue las reglas de una norma en un dominio euclidiano.

• Teorema de Abel-Ruffini
• Teorema fundamental del álgebra

• Axler, Sheldon (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª  ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
• Childs, Lindsay N. (1995), Una introducción concreta al álgebra superior (2.ª  ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
• Childs, Lindsay N. (2009), Una introducción concreta al álgebra superior (3.ª  ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
• Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta (2.ª  ed.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
• King, R. Bruce (2009), Más allá de la ecuación cuártica , Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª  ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Shafarevich, Igor R. (2003), Discursos sobre álgebra , Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532