Función Dehn

En el ámbito matemático de la teoría geométrica de grupos , una función de Dehn , que recibe su nombre de Max Dehn , es una función óptima asociada a una presentación finita de un grupo que delimita el área de una relación en dicho grupo (es decir, una palabra libremente reducida en los generadores que representan el elemento identidad del grupo) en función de la longitud de dicha relación (véanse las páginas  79-80 en ^{[ 1 ]} ). El tipo de crecimiento de la función de Dehn es un invariante de cuasi-isometría de un grupo finitamente presentado . La función de Dehn de un grupo finitamente presentado también está estrechamente relacionada con la complejidad algorítmica no determinista del problema de la palabra en grupos. En particular, un grupo finitamente presentado tiene un problema de la palabra resoluble si y solo si la función de Dehn para una presentación finita de este grupo es recursiva (véase el Teorema 2.1 en ^{[ 1 ]} ). La noción de función de Dehn está motivada por problemas isoperimétricos en geometría, como la desigualdad isoperimétrica clásica para el plano euclidiano y, más generalmente, la noción de una función de área de llenado que estima el área de una superficie mínima en una variedad riemanniana en términos de la longitud de la curva límite de esa superficie.

La idea de una función isoperimétrica para un grupo finitamente presentado se remonta al trabajo de Max Dehn en la década de 1910. Dehn demostró que el problema de la palabra para la presentación estándar del grupo fundamental de una superficie cerrada orientada de género al menos dos es resoluble por lo que ahora se llama el algoritmo de Dehn . Una consecuencia directa de este hecho es que para esta presentación la función de Dehn satisface Dehn( n ) ≤ n . Este resultado fue extendido en la década de 1960 por Martin Greendlinger a grupos finitamente presentados que satisfacen la condición de cancelación pequeña C'(1/6) . ^{[ 2 ]} La noción formal de una función isoperimétrica y una función de Dehn tal como se usa hoy apareció a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990 junto con la introducción y el desarrollo de la teoría de grupos hiperbólicos de palabras . En su monografía de 1987 "Grupos hiperbólicos" ^{[ 3 ]} Gromov demostró que un grupo finitamente presentado es hiperbólico en palabras si y solo si satisface una desigualdad isoperimétrica lineal, es decir, si y solo si la función de Dehn de este grupo es equivalente a la función f ( n ) = n . La demostración de Gromov se basó en gran medida en la analogía con las funciones de área de llenado para variedades riemannianas compactas donde el área de una superficie mínima que delimita una curva cerrada homotópica nula está acotada en términos de la longitud de esa curva.

El estudio de las funciones isoperimétricas y de Dehn se convirtió rápidamente en un tema principal independiente en la teoría geométrica de grupos , especialmente porque los tipos de crecimiento de estas funciones son invariantes cuasi-isométricos naturales de grupos finitamente presentados. Uno de los resultados más importantes en este campo fue obtenido por Sapir, Birget y Rips, quienes demostraron ^{[ 4 ]} que la mayoría de las funciones de complejidad temporal "razonables" de las máquinas de Turing pueden realizarse, salvo equivalencia natural, como funciones de Dehn de grupos finitamente presentados.

Dejar

${\displaystyle G=\langle X|R\rangle \qquad (*)}$

sea ​​una presentación de grupo finito donde X es un alfabeto finito y donde R  ⊆ F ( X ) es un conjunto finito de palabras reducidas cíclicamente. 

• Si G y H son grupos cuasi-isométricos finitamente presentados y alguna presentación finita de G tiene una función isoperimétrica f ( n ), entonces para cualquier presentación finita de H existe una función isoperimétrica equivalente a f ( n ). En particular, este hecho se cumple para G = H , donde el mismo grupo está dado por dos presentaciones finitas diferentes.  
• Por consiguiente, para un grupo finitamente presentado, el tipo de crecimiento de su función de Dehn, en el sentido de la definición anterior, no depende de la elección de una presentación finita para dicho grupo. De forma más general, si dos grupos finitamente presentados son cuasi-isométricos, entonces sus funciones de Dehn son equivalentes.
• Para un grupo G finitamente presentado dado por una presentación finita (*), las siguientes condiciones son equivalentes:
  • G tiene una función de Dehn recursiva con respecto a (∗).
  • Existe una función isoperimétrica recursiva f ( n ) para (∗).
  • El grupo G tiene un problema verbal que se puede resolver .

En particular, esto implica que la resolubilidad del problema de palabras es un invariante cuasi-isométrico para grupos finitamente presentados .

• Conociendo el área Area( w ) de una relación w, se puede acotar, en términos de | w |, no solo el número de conjugados de las relaciones definitorias en (♠), sino también las longitudes de los elementos conjugantes u _i . Como consecuencia, se sabe ^{[ 1 ] [ 5 ]} que si un grupo finitamente presentado G dado por una presentación finita (∗) tiene una función de Dehn computable Dehn( n ), entonces el problema de palabras para G es resoluble con una complejidad temporal no determinista Dehn( n ) y una complejidad temporal determinista Exp(Dehn( n )). Sin embargo, en general no hay una cota razonable para la función de Dehn de un grupo finitamente presentado en términos de la complejidad temporal determinista del problema de palabras y la diferencia entre las dos funciones puede ser bastante grande.

• Para cualquier presentación finita de un grupo finito G tenemos Dehn( n )  ≈ n . ^{[ 6 ]} 
• Para la superficie cerrada orientada del género 2, la presentación estándar de su grupo fundamental

${\displaystyle G=\langle a_ {1},a_ {2},b_ {1},b_ {2}|[a_ {1},b_ {1}][a_ {2},b_ {2}]=1 \rangle }$

satisface Dehn( n ) ≤ n y Dehn( n ) ≈ n .    

• Para cada entero k  ≥  2 el grupo abeliano libre${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$tiene Dehn( n )  ≈ n ² . ^{[ 6 ]} 
• El grupo Baumslag-Solitar

${\displaystyle B(1,2)=\langle a,b|b^{-1}ab=a^{2}\rangle }$

tiene Dehn( n )  ≈  2 ⁿ (ver ^{[ 7 ]} ).

• El grupo de Heisenberg discreto tridimensional

${\displaystyle H_{3}=\langle a,b,t|[a,t]=[b,t]=1,[a,b]=t^{2}\rangle }$

Satisface una desigualdad isoperimétrica cúbica pero no cuadrática. ^{[ 8 ]}

• Grupos de Heisenberg de dimensiones superiores

${\displaystyle H_{2k+1}=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k},t|[a_{i},b_{i}]=t,[a_{i},t]=[b_{i},t]=1,i=1,\dots ,k,[a_{i},b_{j}]=1,i\neq j\rangle }$,

donde k ≥ 2, satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^{[ 9 ]}  

• Si G es un "grupo de Novikov-Boone", es decir, un grupo finitamente presentado con un problema de palabras irresoluble , entonces la función de Dehn de G crece más rápido que cualquier función recursiva .
• Para el grupo de Thompson F, la función de Dehn es cuadrática, es decir, equivalente a n ² (ver ^{[ 10 ]} ).
• El llamado grupo Baumslag-Gersten

${\displaystyle G=\langle a,t|(t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1}at)=a^{2}\rangle }$

tiene una función de Dehn que crece más rápido que cualquier torre iterada fija de exponenciales. Específicamente, para este grupo

Dehn( n )  ≈  exp(exp(exp(...(exp(1))...)))

donde el número de exponenciales es igual a la parte entera de log ₂ ( n ) (ver ^{[ 1 ] [ 11 ]} ).

• Un grupo finitamente presentado es un grupo hiperbólico de palabras si y solo si su función de Dehn es equivalente a n , es decir, si y solo si toda presentación finita de este grupo satisface una desigualdad isoperimétrica lineal. ^{[ 3 ]}
• Brecha isoperimétrica : Si un grupo finitamente presentado satisface una desigualdad isoperimétrica subcuadrática, entonces es hiperbólico en palabras. ^{[ 3 ] [ 12 ] [ 13 ]} Por lo tanto, no hay grupos finitamente presentados con funciones de Dehn equivalentes a n ^d con d  ∈  (1,2).
• Los grupos automáticos y, más generalmente, los grupos combinables satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^{[ 8 ]}
• Un grupo nilpotente finitamente generado tiene una función de Dehn equivalente a n ^d donde d  ≥  1 y todos los enteros positivos d se realizan de esta manera. Además, todo grupo nilpotente finitamente generado G admite una desigualdad isoperimétrica polinomial de grado c  +  1, donde c es la clase de nilpotencia ^de G. ^{[ 14} ]
• El conjunto de números reales d  ≥  1, tal que existe un grupo finitamente presentado con función de Dehn equivalente a n ^d , es denso en el intervalo${\displaystyle [2,\infty )}$. ^{[ 15 ]}
• Si todos los conos asintóticos de un grupo finitamente presentado son simplemente conexos , entonces el grupo satisface una desigualdad isoperimétrica polinomial. ^{[ 16 ]}
• Si un grupo finitamente presentado satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática, entonces todos los conos asintóticos de este grupo son simplemente conexos. ^{[ 17 ]}
• Si ( M , g ) es una variedad riemanniana cerrada y G  = π ₁ ( M ) entonces la función de Dehn de G es equivalente a la función de área de llenado de la variedad. ^{[ 18 ]} 
• Si G es un grupo que actúa propiamente discontinuamente y cocompactamente mediante isometrías en un espacio CAT(0) , entonces G satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática. ^{[ 19 ]} En particular, esto se aplica al caso en que G es el grupo fundamental de una variedad riemanniana cerrada de curvatura seccional no positiva (no necesariamente constante).
• La función de Dehn de SL( m , Z ) es como máximo exponencial para cualquier m  ≥  3. ^{[ 20 ]} Para SL(3, Z ), esta cota es precisa y se sabe que en ese caso la función de Dehn no admite una cota superior subexponencial. ^{[ 8 ]} Las funciones de Dehn para SL( m , Z ), donde m  >  4 son cuadráticas. ^{[ 21 ]} Thurston conjeturó que la función de Dehn de SL(4, Z ) es cuadrática. Esta y, más generalmente, la conjetura de Gromov de que los retículos en grupos de Lie de rango superior tienen una función de Dehn cuadrática, ha sido demostrada por Leuzinger y Young. ^{[ 22 ]}
• Los grupos de clases de mapeo de superficies de tipo finito son automáticos y satisfacen desigualdades isoperimétricas cuadráticas. ^{[ 23 ]}
• Las funciones de Dehn para los grupos Aut( F _k ) y Out( F _k ) son exponenciales para todo k ≥ 3. Hatcher y Vogtmann hallaron desigualdades isoperimétricas exponenciales para Aut( F _k ) y Out( F _k ) cuando k ≥ 3. ^{[ 24 ]} Estas cotas son precisas, y los grupos Aut( F _k ) y Out( F _k ) no satisfacen desigualdades isoperimétricas subexponenciales, como demostraron Bridson y Vogtmann para k  = 3, ^{[ 25 ]} y Handel y Mosher para k ≥ 4. ^{[ 26 ]} 
• Para cada automorfismo φ de un grupo libre finitamente generado F _k el grupo toroide de mapeo${\displaystyle F_{k}\rtimes _ {\phi}\mathbb {Z}}$de φ satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática. ^{[ 27 ]}
• La mayoría de las funciones computables "razonables" que son ≥ n ⁴ , pueden realizarse, salvo equivalencia, como funciones de Dehn de grupos finitamente presentados. En particular, si f ( n )  ≥ n ⁴ es una función superaditiva cuya representación binaria es computable en tiempo ${\displaystyle O\left({\sqrt[{4}]{f(n)}}\right)}$Si mediante una máquina de Turing, entonces f ( n ) es equivalente a la función de Dehn de un grupo finitamente presentado.
• Aunque no se puede acotar razonablemente la función de Dehn de un grupo en términos de la complejidad de su problema de palabras, Birget, Olʹshanskii, Rips y Sapir obtuvieron el siguiente resultado, ^{[ 28 ]} proporcionando una generalización de gran alcance del teorema de incrustación de Higman : El problema de palabras de un grupo finitamente generado es decidible en tiempo polinomial no determinista si y solo si este grupo puede incrustarse en un grupo finitamente presentado con una función isoperimétrica polinomial. Además, todo grupo con el problema de palabras resoluble en tiempo T( n ) puede incrustarse en un grupo con función isoperimétrica equivalente a n ² T( n ² ) ⁴ .

• Hay varias nociones complementarias estrechamente relacionadas con la noción de función isoperimétrica. Así, una función isodiamétrica ^{[ 29 ]} acota el diámetro más pequeño (con respecto a la métrica simplicial donde cada arista tiene longitud uno) de un diagrama de van Kampen para una relación particular w en términos de la longitud de w . Una función de longitud de llenado acota la longitud de llenado más pequeña de un diagrama de van Kampen para una relación particular w en términos de la longitud de w . Aquí, la longitud de llenado de un diagrama es el mínimo, sobre todas las homotopías nulas combinatorias del diagrama, de la longitud máxima de los bucles intermedios que acotan los diagramas intermedios a lo largo de dichas homotopías nulas. ^{[ 30 ]} La función de longitud de llenado está estrechamente relacionada con la complejidad espacial no determinista del problema de palabras para grupos finitamente presentados. Hay varias desigualdades generales que conectan la función de Dehn, la función isodiamétrica óptima y la función de longitud de llenado óptima, pero la relación precisa entre ellas aún no se comprende.
• También existen generalizaciones de dimensiones superiores de las funciones isoperimétricas y de Dehn. ^{[ 31 ]} Para k  ≥  1, la función isoperimétrica k -dimensional de un grupo acota el volumen combinatorio mínimo de los rellenos de bolas ( k  + 1)-dimensionales de k -esferas mapeadas en un espacio k- conexo sobre el cual el grupo actúa propiamente y de forma cocompacta; la cota se da como una función del volumen combinatorio de la k -esfera. La noción estándar de una función isoperimétrica corresponde al caso k = 1. En comparación con el caso clásico, se sabe poco sobre estas funciones de relleno de dimensiones superiores. Un resultado principal es que los retículos en grupos de Lie semisimples de rango superior no se distorsionan en dimensiones inferiores al rango, es decir, satisfacen las mismas funciones de relleno que su espacio simétrico asociado . ^{[ 22 ]}   
• En su monografía Invariantes asintóticos de grupos infinitos ^{[ 32 ],} Gromov propuso una versión probabilística o promediada de la función de Dehn y sugirió que, para muchos grupos, las funciones de Dehn promediadas deberían tener una asintótica estrictamente más lenta que las funciones de Dehn estándar. Posteriormente, otros investigadores dieron tratamientos más precisos de la noción de función de Dehn promediada o función de Dehn media, demostrando también que, efectivamente, las funciones de Dehn promediadas son subasintóticas a las funciones de Dehn estándar en varios casos (como los grupos nilpotentes y abelianos). ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

• Una versión relativa de la noción de función isoperimétrica juega un papel central en el enfoque de Osin para grupos relativamente hiperbólicos . ^{[ 36 ]}
• Grigorchuk e Ivanov exploraron varias generalizaciones naturales de la función de Dehn para presentaciones de grupos en un número finito de generadores pero con un número infinito de relaciones definitorias. ^{[ 37 ]}

• Diagrama de van Kampen
• grupo hiperbólico de palabras
• Grupo automático
• Teoría de cancelación pequeña
• teoría geométrica de grupos

• Noel Brady, Tim Riley y Hamish Short. La geometría del problema verbal para grupos finitamente generados. Cursos avanzados de matemáticas CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, Basilea, 2007. ISBN 3-7643-7949-9.
• Martin R. Bridson. La geometría del problema verbal. Invitaciones a la geometría y la topología, págs.  29-91 , Oxford Graduate Texts in Mathematics, 7, Oxford University Press , Oxford, 2002. ISBN 0-19-850772-0.

• La desigualdad isoperimétrica para SL(n,Z). Un taller de septiembre de 2008 en el Instituto Americano de Matemáticas .
• PDF del artículo de Bridson: La geometría del problema verbal.