Grupo relativamente hiperbólico

En matemáticas , los grupos relativamente hiperbólicos forman una clase importante de grupos de interés para la teoría geométrica de grupos . El objetivo principal de su estudio es extender la teoría de los grupos hiperbólicos de Gromov a grupos${\textstyle G}$que pueden considerarse como ensamblajes hiperbólicos de subgrupos${\textstyle H_{i}}$, llamados subgrupos periféricos, de una manera que permite la "reducción hiperbólica" de problemas para${\textstyle G}$a problemas para el${\textstyle H_{i}}$s.

Ejemplos ilustrativos de grupos relativamente hiperbólicos se encuentran en los grupos fundamentales de variedades hiperbólicas completas no compactas de volumen finito. La investigación actual también explora otras generalizaciones, como la hiperbolicidad acilíndrica .

Así como los grupos o espacios hiperbólicos de Gromov pueden pensarse como grupos libres engrosados ​​o árboles , la idea de un grupo${\textstyle G}$ser hiperbólico en relación con un conjunto de subgrupos${\textstyle H_{i}}$(llamados subgrupos periféricos ) es que${\textstyle G}$parece un "mosaico engrosado parecido a un árbol" de los conjugados de la${\textstyle H_{i}}$s, de modo que se aleja "hiperbólicamente" de ellos.

A partir de ahí, existen diferentes enfoques que resultan relevantes en distintos contextos.

La idea original de Gromov , motivada por ejemplos de la geometría riemanniana y posteriormente desarrollada por Bowditch , es decir que${\textstyle G}$actúa correctamente, pero no de forma cocompacta, en un espacio hiperbólico de Gromov de tal manera que los conjugados de la${\textstyle H_{i}}$s puntos fijos en el infinito y que la acción se vuelve cocompacta después de truncar horobolas a su alrededor. Por esta razón, los conjugados de la${\textstyle H_{i}}$Los s se denominan subgrupos parabólicos . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Yaman posteriormente proporcionó una caracterización completamente dinámica, que ya no involucraba un espacio hiperbólico sino solo su frontera (llamada frontera de Bowditch ). ^{[ 3 ]}

El segundo tipo de definición, primero debido a Farb , dice aproximadamente que después de contraer las clases laterales izquierdas de la${\textstyle H_{i}}$s a conjuntos acotados, el gráfico de Cayley de${\textstyle G}$se convierte en un espacio hiperbólico de Gromov (no propio). ^{[ 4 ]} La noción resultante, conocida hoy como hiperbolicidad débil , resulta requerir supuestos adicionales sobre el comportamiento de las cuasi-geodésicas para coincidir con la de Gromov-Bowditch. ^{[ 5 ]} Bowditch elaboró ​​la definición de Farb requiriendo únicamente${\textstyle G}$actuar sobre un grafo hiperbólico con ciertas propiedades adicionales, incluyendo que los conjugados de la${\textstyle H_{i}}$s son los estabilizadores de vértice infinitos. ^{[ 2 ]}

Osin caracterizó posteriormente la hiperbolicidad relativa en términos de desigualdades isoperimétricas lineales relativas. ^{[ 6 ]} Druțu y Sapir dieron una caracterización en términos de conos asintóticos que son espacios métricos graduados en árboles , una versión relativa de árboles reales . Esto permite una noción de hiperbolicidad relativa que tiene sentido para espacios métricos más generales que los grafos de Cayley, y que es invariante por cuasi-isometría . ^{[ 7 ]}

Dado un grupo finitamente generado G con grafo de Cayley Γ ( G ) equipado con la métrica de camino y un subgrupo H de G , se puede construir el grafo de Cayley cónico${\displaystyle {\sombrero {\Gamma }}(G,H)}$De la siguiente manera: Para cada clase lateral izquierda gH , agregue un vértice v ( gH ) al grafo de Cayley Γ ( G ) y para cada elemento x de gH , agregue una arista e ( x ) de longitud 1/2 desde x hasta el vértice v ( gH ). Esto da como resultado un espacio métrico que puede no ser propio (es decir, las bolas cerradas no necesariamente son compactas).

La definición de un grupo relativamente hiperbólico, según la formulación de Bowditch , es la siguiente: Se dice que un grupo G es hiperbólico con respecto a un subgrupo H si el gráfico de Cayley concéntrico es igual a un grupo.${\displaystyle {\sombrero {\Gamma }}(G,H)}$tiene las propiedades:

• Es δ-hiperbólico y
• Está bien : para cada entero L, cada arista pertenece solo a un número finito de ciclos simples de longitud L.

Si solo se cumple la primera condición, se dice que el grupo G es débilmente relativamente hiperbólico con respecto a H.

The definition of the coned off Cayley graph can be generalized to the case of a collection of subgroups and yields the corresponding notion of relative hyperbolicity. A group G which contains no collection of subgroups with respect to which it is relatively hyperbolic is said to be a non relatively hyperbolic group.

• If a group G is relatively hyperbolic with respect to a hyperbolic group H, then G itself is hyperbolic.
• If a group G is relatively hyperbolic with respect to a group H then it acts as a geometrically finite convergence group on a compact space, its Bowditch boundary
• If a group G is relatively hyperbolic with respect to a group H that has solvable word problem, then G has solvable word problem (Farb), and if H has solvable conjugacy problem, then G has solvable conjugacy problem (Bumagin)
• If a group G is torsion-free relatively hyperbolic with respect to a group H, and H has a finite classifying space, then so does G (Dahmani)
• If a group G is relatively hyperbolic with respect to a group H that satisfies the Farrell-Jones conjecture, then G satisfies the Farrell-jones conjecture (Bartels).
• More generally, in many cases (but not all, and not easily or systematically), a property satisfied by all hyperbolic groups and byH can be suspected to be satisfied by G
• The isomorphism problem for virtually torsion-free relatively hyperbolic groups when the peripheral subgroups are finitely generated nilpotent (Dahmani, Touikan)

• Any hyperbolic group, such as a free group of finite rank or the fundamental group of a hyperbolic surface, is hyperbolic relative to the trivial subgroup.
• The fundamental group of a completehyperbolic manifold of finite volume is hyperbolic relative to its cusp subgroup. A similar result holds for any complete finite volume Riemannian manifold with pinched negative sectional curvature.
• The free abelian groupZ² of rank 2 is weakly hyperbolic, but not hyperbolic, relative to the cyclic subgroup Z: even though the graph ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(\mathbb {Z} ^{2},\mathbb {Z} )}$ is hyperbolic, it is not fine.
• El producto libre de un grupo H con cualquier grupo hiperbólico es relativamente hiperbólico en relación con H.
• Los grupos límite no abelianos que aparecen como límites de grupos libres son relativamente hiperbólicos, en relación con algunos subgrupos abelianos libres. ^{[ 8 ]}
• Dado un producto semidirecto de un grupo libre por un grupo cíclico infinito, es relativamente hiperbólico, en relación con algunos subgrupos canónicos, si la acción del grupo cíclico infinito es expansiva.
• Los teoremas de combinación y las técnicas de cancelación de pequeñas cantidades permiten construir nuevos ejemplos a partir de los anteriores.
• El grupo de clases de mapeo de una superficie de tipo finito orientable es hiperbólico (cuando 3 g + n < 5, donde g es el género y n es el número de perforaciones) o no es relativamente hiperbólico con respecto a ningún subgrupo.
• El grupo de automorfismos y el grupo de automorfismos externos de un grupo libre de rango finito al menos 3 no son relativamente hiperbólicos.

• Mikhail Gromov , Grupos hiperbólicos , Ensayos sobre teoría de grupos, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, 75-263, Springer, Nueva York, 1987.
• Denis Osin , Grupos hiperbólicos relativos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas y problemas algorítmicos , arXiv:math/0404040v1 (math.GR), abril de 2004.
• Benson Farb, Grupos relativamente hiperbólicos , Geom. Funct. Anal. 8 (1998), 810–840.
• Jason Behrstock , Cornelia Druţu , Lee Mosher, Espacios métricos gruesos, hiperbolicidad relativa y rigidez cuasi-isométrica , arXiv:math/0512592v5 (math.GT), diciembre de 2005.
• Daniel Groves y Jason Fox Manning, Dehn rellenando grupos relativamente hiperbólicos , arXiv:math/0601311v4 [math.GR], enero de 2007.