Tabla de Tychonoff

En topología , el tablón de Tychonoff es un espacio topológico definido mediante espacios ordinales que constituye un contraejemplo a varias conjeturas que parecen plausibles . Se define como el producto topológico de los dos espacios ordinales.${\displaystyle [0,\omega _ {1}]}$y${\displaystyle [0,\omega ]}$, dónde${\displaystyle \omega }$es el primer ordinal infinito y${\displaystyle \omega _{1}}$el primer ordinal incontable . La tabla de Tychonoff eliminada se obtiene eliminando el punto${\displaystyle \infty =(\omega _ {1},\omega )}$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \Omega }$sea ​​el conjunto de ordinales que son menores o iguales a${\displaystyle \omega }$y${\displaystyle \Omega _{1}}$el conjunto de ordinales menores o iguales a${\displaystyle \omega _{1}}$. La tabla de Tychonoff se define como el conjunto${\displaystyle \Omega \times \Omega _{1}}$con la topología del producto . ^{[ 2 ]}

El tablón de Tychonoff eliminado es el subconjunto${\displaystyle S=\Omega \times \Omega _{1}\setminus \{(\omega ,\omega _{1})\}}$, dónde${\displaystyle S}$es el tablón al que se le ha quitado una esquina. ^{[ 3 ]}

El tablón de Tychonoff es un espacio de Hausdorff compacto y, por lo tanto, es un espacio normal . Sin embargo, el tablón de Tychonoff eliminado no es normal. ^{[ 4 ]} Por lo tanto, el tablón de Tychonoff no es completamente normal . Esto demuestra que un subespacio de un espacio normal no tiene por qué ser normal. El tablón de Tychonoff no es perfectamente normal porque no es un espacio G _δ : el singleton${\displaystyle \{\infty \}}$es cerrado pero no es un conjunto G _δ . ^{[ 5 ]}

La compactificación de Stone-Čech del tablón de Tychonoff eliminado es el tablón de Tychonoff. ^{[ 6 ]}

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