Número ordinal

El procedimiento de construcción de secuencias transfinitas implica que los ordinales utilizados para etiquetar sus elementos están bien ordenados . ^{[ 5 ]} Esto significa que:

Toda colección no vacía de ordinales${\displaystyle T}$Tiene un elemento mínimo único.

Intuitivamente, el ordinal menos significativo en${\displaystyle T}$⁠ es el siguiente ordinal introducido después de todos los ordinales estrictamente menores que cada ordinal en ⁠${\displaystyle T}$Se han utilizado. Por el contrario ,${\displaystyle T}$No es necesario que tenga un elemento mayor, por ejemplo cuando${\displaystyle T}$es el conjunto de todos los números naturales.

Estar bien ordenado es más fuerte que simplemente estar ordenado linealmente . Por ejemplo, los números reales están ordenados linealmente de forma natural, pero cualquier intervalo abierto no tiene un elemento mínimo.

La importancia del buen ordenamiento radica en que permite la inducción transfinita . Si una afirmación${\displaystyle P(\alpha )}$sobre un ordinal${\displaystyle \alpha }$No es universalmente cierto para todos .${\displaystyle \alpha }$⁠ , es decir, si tiene algún contraejemplo, entonces debe tener un contraejemplo mínimo. Por el contrario, si se puede demostrar que ⁠${\displaystyle P(\alpha )}$⁠ es verdadero siempre que ⁠${\displaystyle P(\beta )}$Es cierto para todos .${\displaystyle \beta <\alpha}$⁠ , entonces no puede tener ningún contraejemplo mínimo, y por lo tanto no puede tener ningún contraejemplo en absoluto, es decir, es universalmente verdadero. ^{[ 6 ]}

En la formalización habitual de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría de conjuntos, un conjunto bien ordenado es un conjunto totalmente ordenado .${\displaystyle (S,\leq )}$⁠ tal que cada subconjunto no vacío ⁠${\displaystyle T\subseteq S}$⁠ tiene un elemento mínimo.Aquí “conjunto” significa una colección que es en sí misma un objeto de ZF, a diferencia de una clase propiamente dicha .

Un conjunto bien ordenado puede escribirse como una secuencia transfinita asignando etiquetas ordinales a sus elementos de manera que se respete el orden :${\displaystyle a_{\alpha }\leq a_{\beta }}$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle \alpha \leq \beta }$⁠ . (Tal correspondencia uno a uno entre dos conjuntos ordenados se denomina isomorfismo de orden ). Las etiquetas utilizadas en dicha enumeración forman un segmento inicial de los ordinales, en el sentido de que si se utiliza una etiqueta, también se utiliza cada etiqueta ordinal menor. Por buena ordenación, existe un único ordinal mínimo que no se utiliza como etiqueta; este ordinal determina la "longitud" de la secuencia y se denomina tipo de orden de la buena ordenación. Gracias a la indexación basada en 0 , el tipo de orden coincide con la cardinalidad para conjuntos finitos, incluido el conjunto vacío. ^{[ 1 ]} Sin embargo, para conjuntos infinitos, existen diferentes relaciones de buena ordenación .${\displaystyle \leq }$Puede tener diferentes tipos de pedidos.

Los tipos de orden pueden definirse sin una noción preexistente de ordinales, trabajando directamente con isomorfismos de orden entre conjuntos generales bien ordenados, del mismo modo que la cardinalidad puede definirse mediante biyecciones entre conjuntos generales (no ordenados). Al igual que con las biyecciones, ser isomorfo a un orden es una relación de equivalencia en conjuntos bien ordenados; sus clases de equivalencia corresponden a tipos de orden (ordinales).

En el enfoque de Principia Mathematica , el tipo de orden de un conjunto bien ordenado${\displaystyle (S,\leq )}$⁠ se identifica con su clase de isomorfismo , es decir, el conjunto de todos los conjuntos bien ordenados ⁠${\displaystyle (S',\leq ')}$isomorfo al orden${\displaystyle (S,\leq )}$⁠ . Dado que los elementos de ⁠${\displaystyle S'}$Se permite que sean cualquier cosa ; esta definición tiene el matiz de " conjunto de todos los conjuntos ", y en ZF tales colecciones suelen ser demasiado grandes para ser conjuntos. Esta definición aún puede usarse en la teoría de tipos y en la teoría axiomática de conjuntos de Quine, New Foundations y sistemas relacionados. ^{[ a ]}

En ZF y sistemas relacionados de teoría axiomática de conjuntos , estas clases de equivalencia son generalmente demasiado grandes para formar conjuntos. En consecuencia, es necesario seleccionar un representante canónico único de cada clase: un único conjunto que encarne la estructura del buen ordenamiento. Dado que la relación fundamental en la teoría de conjuntos es la pertenencia a un conjunto ( ⁠${\displaystyle \in }$⁠ ), la representación ideal es aquella donde la relación de orden abstracto ⁠${\displaystyle <}$⁠ se traduce directamente en la relación de pertenencia ⁠${\displaystyle \in }$⁠ .

Definición de la relación de orden estricto${\displaystyle <}$como la relación de pertenencia${\displaystyle \in }$restringida a la clase de todos los ordinales, la caracterización recursiva${\displaystyle \gamma =\{\alpha \mid \alpha <\gamma \}}$Se reduce a la siguiente afirmación:

• Si​${\displaystyle \alpha \in \beta }$y​​${\displaystyle \beta }$Si es un ordinal, entonces${\displaystyle \alpha }$⁠ es un ordinal: transitividad de ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ como conjunto se encuentra al encontrar que todos los ordinales relevantes son elementos de ⁠${\displaystyle \beta }$y luego utilizando la transitividad del${\displaystyle \in }$relación dentro​${\displaystyle \beta }$; buen orden de${\displaystyle \alpha }$⁠ se deduce directamente del buen orden de ⁠${\displaystyle \beta }$⁠ . ^{[ 8 ]}

La relación de orden no estricto${\displaystyle \leq }$Tiene una caracterización alternativa :${\displaystyle \alpha \leq \beta }$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$para ordinales​${\displaystyle \alpha,\beta}$⁠ . La dirección "si" se deduce de la transitividad de ⁠${\displaystyle \beta }$, y la instrucción "solo si" se deduce de:

• Si​${\displaystyle \alpha \neq \beta }$⁠ son ambos ordinales y ⁠${\displaystyle \alpha \subset \beta }$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \alpha \in \beta }$: dejar​${\displaystyle \gamma =\min\{\beta \setminus \alpha \}}$.​​${\displaystyle \alpha }$es transitivo, por lo tanto${\displaystyle \alpha =\{\xi \in \beta \mid \xi <\gamma \}=\gamma \in \beta }$⁠ . ^{[ 9 ]}

Esto implica que${\displaystyle \leq }$es un orden parcial . De hecho , es un orden total y un buen orden :

• Si​${\displaystyle \alpha }$y​​${\displaystyle \beta }$Si ambos son ordinales, entonces${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$o​​${\displaystyle \beta \subseteq \alpha }$:​​${\displaystyle \gamma =\alpha \cap \beta }$⁠ es un ordinal, por lo tanto ⁠${\displaystyle \gamma =\alpha }$o​​${\displaystyle \gamma =\beta }$, o de lo contrario${\displaystyle \gamma \en \gamma }$⁠ , contradiciendo la irreflexividad. ^{[ 9 ]}
• Si​${\displaystyle A}$Si es un conjunto no vacío de ordinales, entonces${\displaystyle \min A=\bigcap A}$debe estar en${\displaystyle A}$⁠ por una lógica similar. ^{[ 10 ]}

Así pues, todos los números ordinales forman una clase bien ordenada .${\displaystyle \mathrm {ON} }$⁠ , y por lo tanto cualquier conjunto no vacío de ordinales equipado con ⁠${\displaystyle \leq }$Es un conjunto bien ordenado.

Los ordinales específicos se pueden construir explícitamente con los siguientes principios:

• ⁠${\displaystyle 0=\emptyset }$es un ordinal.
• Para cualquier ordinal ⁠${\displaystyle \alpha }$,​​${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\alpha \cup \{\alpha \}}$⁠ es un ordinal y ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\min\{\beta \mid \beta >\alpha \}}$⁠ . ^{[ 10 ]}
• Si A es un conjunto de ordinales, entonces${\displaystyle \sup A=\bigcup A}$es un ordinal. ^{[ 10 ]}

Las formas explícitas de${\displaystyle \mathrm {succ} }$y​​${\displaystyle \sup }$implican que para cualquier conjunto de ordinales, existe otro ordinal mayor que todos ellos. En otras palabras,

• ( Paradoja de Burali-Forti ) La clase de todos los ordinales ⁠${\displaystyle \mathrm {ON} }$⁠ no es un conjunto; de lo contrario ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \sup \mathrm {ON} }$⁠ sería un ordinal no en ⁠${\displaystyle \mathrm {ON} }$⁠ . ^{[ 10 ]}

Cada conjunto bien ordenado${\displaystyle S}$es isomorfo por orden a exactamente un ordinal, conocido como su tipo de orden . La unicidad está garantizada porque un conjunto bien ordenado no puede ser isomorfo a un segmento inicial propio de sí mismo, lo que impide el isomorfismo a dos ordinales distintos. La existencia de este ordinal se demuestra definiendo una aplicación que empareja cada${\displaystyle x\in S}$donde el ordinal representa el tipo de orden del segmento inicial .${\displaystyle S_{x}=\{y\in S\mid y<x\}}$⁠ . Según el esquema de reemplazo del axioma , el rango de este mapa es un conjunto de ordinales. Debido a que este rango es cerrado hacia abajo (el tipo de orden de un segmento de un segmento es un ordinal menor), el rango es en sí mismo un ordinal.${\displaystyle \gamma }$. El dominio del isomorfismo debe ser todo${\displaystyle S}$; de lo contrario, el elemento más pequeño${\displaystyle z\in S}$fuera del dominio implicaría${\displaystyle S_{z}\cong \gamma }$, lo que efectivamente incluiría${\displaystyle z}$en el dominio, una contradicción. Por lo tanto,${\displaystyle S\cong \gamma }$. ^{[ 11 ]}

La inducción transfinita puede utilizarse no solo para demostrar teoremas, sino también para definir funciones sobre ordinales. Esto se conoce como recursión transfinita .

Formalmente, una función F se define mediante recursión transfinita sobre los ordinales si, para cada ordinal α , el valor ⁠${\displaystyle F(\alpha )}$Se especifica mediante el conjunto de valores .${\displaystyle \{F(\beta )\mid \beta <\alpha \}}$.

Muy a menudo, al definir una función F mediante recursión transfinita en todos los ordinales, la definición se separa en casos según el tipo de ordinal:

1. Caso base : Definir${\displaystyle F(0)}$.
2. Paso sucesor : Definir${\displaystyle F(\alpha +1)}$arrogante${\displaystyle F(\alpha )}$está definido.
3. Paso límite : Para un ordinal límite${\displaystyle \lambda }$, definir${\displaystyle F(\lambda )}$como límite de${\displaystyle F(\beta )}$a pesar de${\displaystyle \beta <\lambda }$(ya sea en el sentido de límites ordinales o alguna otra noción de límite si el codominio lo permite).

El paso interesante en la definición suele ser el paso sucesor. Si${\displaystyle F(\alpha )}$para ordinales límite${\displaystyle \alpha }$se define como el límite superior de${\displaystyle F(\beta )}$para${\displaystyle \beta <\alpha }$y${\displaystyle F}$toma valores ordinales y no es decreciente, la función${\displaystyle F}$será continua según la definición anterior. La suma, la multiplicación y la potenciación ordinales son continuas como funciones de su segundo argumento.

La existencia y unicidad de dicha función se demuestran construyéndola como la unión de aproximaciones parciales. La demostración se lleva a cabo en tres pasos:

1. Existencia local: Para cualquier ordinal específico δ , se demuestra la existencia de un único "segmento de recursión", una función definida en δ que satisface la regla recursiva para todo ⁠${\displaystyle \beta <\delta }$⁠ .
2. Unicidad y compatibilidad: Se demuestra que cualesquiera dos segmentos de recursión coinciden en su dominio común. Si${\displaystyle g_{1}}$⁠ es un segmento sobre ⁠${\displaystyle \delta _{1}}$y​​${\displaystyle g_{2}}$⁠ es un segmento sobre ⁠${\displaystyle \delta _{2}}$con​​${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle g_{2}}$restringido a​${\displaystyle \delta _{1}}$es idéntico a${\displaystyle g_{1}}$⁠ .
3. Definición global: La función de clase global F se define como la unión de todos esos segmentos de recursión únicos. Para cualquier ordinal α , el valor ⁠${\displaystyle F(\alpha )}$⁠ es el valor asignado a α por cualquier segmento de recursión definido en un dominio mayor que α .

La justificación rigurosa de la existencia local se basa en el esquema axiomático de reemplazo para el paso de los ordinales límite con el fin de agrupar los segmentos de recursión en un conjunto.

Esta construcción permite que definiciones como la suma ordinal, la multiplicación y la potenciación sean rigurosas. Por ejemplo, la potenciación${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$⁠ se define recursivamente en β :

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }$(para ordinales sucesores)
• ${\displaystyle \alpha ^{\lambda }=\bigcup _{0<\beta <\lambda }\alpha ^{\beta }}$(para ordinales límite λ )

El principio de recursión transfinita también implica que la recursión puede realizarse hasta un ordinal específico.${\displaystyle \delta }$(definiendo un conjunto en lugar de una clase propiamente dicha). Esto se usa a menudo para definir secuencias de longitud${\displaystyle \omega }$. Por ejemplo, para demostrar que una función normal${\displaystyle f}$tiene puntos fijos arbitrariamente grandes , se construye una secuencia comenzando con cualquier ordinal${\displaystyle \gamma _{0}}$y define${\displaystyle \gamma _{n+1}=f(\gamma _{n})}$por recursión en${\displaystyle n<\omega }$. Entonces el límite${\displaystyle \delta =\sup _{n<\omega }\gamma _{n}}$es un punto fijo de${\displaystyle f}$porque la continuidad garantiza${\displaystyle f(\delta )=f(\sup \gamma _{n})=\sup f(\gamma _{n})=\sup \gamma _{n+1}=\delta }$.

Cualquier conjunto bien ordenado es similar (isomorfo al orden) a un número ordinal único.${\displaystyle \alpha }$; en otras palabras, sus elementos pueden indexarse ​​de forma creciente mediante los ordinales menores que ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ . Esto se aplica, en particular, a cualquier conjunto de ordinales: cualquier conjunto de ordinales se indexa naturalmente mediante los ordinales menores que algún ⁠${\displaystyle \alpha }$Lo mismo se aplica, con una ligera modificación, a las clases de ordinales (una colección de ordinales, posiblemente demasiado grande para formar un conjunto, definida por alguna propiedad): cualquier clase de ordinales puede ser indexada por ordinales (y, cuando la clase no está acotada en la clase de todos los ordinales, esto la coloca en biyección de clases con la clase de todos los ordinales). Por lo tanto,${\displaystyle \gamma }$Se puede hablar libremente del -ésimo elemento de la clase (con la convención de que el "0-ésimo" es el más pequeño, el "1-ésimo" es el siguiente más pequeño, y así sucesivamente). Formalmente, la definición es por inducción transfinita:${\displaystyle \gamma }$-ésimo elemento de la clase está definido (siempre que ya haya sido definido para todos${\displaystyle \beta <\gamma }$), como el elemento más pequeño mayor que el${\displaystyle \beta }$-ésimo elemento para todos ⁠${\displaystyle \beta <\gamma }$⁠ .

Esto podría aplicarse, por ejemplo, a la clase de ordinales límite: el${\displaystyle \gamma }$-ésimo ordinal, que es un límite o cero es${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$(véase aritmética ordinal para la definición de multiplicación de ordinales). De manera similar, se pueden considerar ordinales aditivamente indescomponibles (es decir, un ordinal distinto de cero que no es la suma de dos ordinales estrictamente menores): el${\displaystyle \gamma }$El -ésimo ordinal aditivamente indescomponible se indexa como ⁠${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$⁠ . La técnica de indexación de clases de ordinales suele ser útil en el contexto de puntos fijos: por ejemplo, el${\displaystyle \gamma }$-ésimo ordinal${\displaystyle \alpha }$de tal manera que${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$está escrito${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$Estos se denominan " números épsilon ".

Cada ordinal se asocia con un cardinal , su cardinalidad. Si existe una biyección entre dos ordinales (por ejemplo, ω = 1 + ω y ω + 1 > ω ), entonces se asocian con el mismo cardinal. Cualquier conjunto bien ordenado que tenga un ordinal como su tipo de orden tiene la misma cardinalidad que ese ordinal. El ordinal más pequeño asociado con un cardinal dado se llama ordinal inicial de ese cardinal. Todo ordinal finito (número natural) es inicial, y ningún otro ordinal se asocia con su cardinal. Pero la mayoría de los ordinales infinitos no son iniciales, ya que muchos ordinales infinitos se asocian con el mismo cardinal. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede ser bien ordenado, es decir, que todo cardinal tiene un ordinal inicial. En teorías con el axioma de elección, el número cardinal de cualquier conjunto tiene un ordinal inicial, y se puede emplear la asignación cardinal de Von Neumann como representación del cardinal. (Sin embargo, debemos tener cuidado de distinguir entre aritmética cardinal y aritmética ordinal). En las teorías de conjuntos sin el axioma de elección, un cardinal puede representarse mediante el conjunto de conjuntos con esa cardinalidad que tienen rango mínimo (véase el truco de Scott ).

Un problema con el truco de Scott es que identifica el número cardinal.${\displaystyle 0}$con​${\displaystyle \{\emptyset \}}$⁠ , que en algunas formulaciones es el número ordinal ⁠${\displaystyle 1}$Puede resultar más claro aplicar la asignación cardinal de Von Neumann a casos finitos y utilizar el método de Scott para conjuntos infinitos o que no admiten buenos ordenamientos. Cabe destacar que la aritmética cardinal y ordinal coinciden para números finitos .

El ordinal inicial infinito α se escribe ⁠${\displaystyle \omega _{\alpha }}$⁠ , siempre es un ordinal límite. Su cardinalidad se escribe ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$⁠ . Por ejemplo, la cardinalidad de ω ₀ = ω es ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ , que también es la cardinalidad de ω ² o ε ₀ (todos son ordinales contables). Por lo tanto, ω puede identificarse con ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ , excepto que la notación${\displaystyle \aleph _{0}}$se utiliza al escribir cardinales, y ω al escribir ordinales (esto es importante ya que, por ejemplo,${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$=${\displaystyle \aleph _{0}}$mientras${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$). También,${\displaystyle \omega _{1}}$es el ordinal no numerable más pequeño (para ver que existe, considérese el conjunto de clases de equivalencia de buenos ordenamientos de los números naturales: cada uno de esos buenos ordenamientos define un ordinal numerable, y${\displaystyle \omega _{1}}$es el tipo de orden de ese conjunto),${\displaystyle \omega _{2}}$es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠ , y así sucesivamente, y${\displaystyle \omega _{\omega }}$es el límite de la${\displaystyle \omega _{n}}$para los números naturales n (cualquier límite de cardinales es un cardinal, por lo que este límite es de hecho el primer cardinal después de todos los${\displaystyle \omega _{n}}$).

La cofinalidad de un ordinal${\displaystyle \alpha }$es el ordinal más pequeño${\displaystyle \delta }$ese es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de ⁠${\displaystyle \alpha }$Nótese que varios autores definen la cofinalidad o la utilizan únicamente para ordinales límite. La cofinalidad de un conjunto de ordinales o de cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de dicho conjunto.

Por lo tanto, para un ordinal límite, existe un${\displaystyle \delta }$-secuencia estrictamente creciente indexada con límite${\displaystyle \alpha }$Por ejemplo, la cofinalidad de ω₂ ^es ω , porque la secuencia ω· m (donde m abarca los números naturales) tiende a ω₂ ^; pero, de forma más general, cualquier ordinal límite numerable tiene cofinalidad ω. Un ordinal límite no numerable puede tener cualquiera de las dos cofinalidades ω, como ocurre con${\displaystyle \omega _{\omega }}$o una cofinalidad incontable.

La cofinalidad de 0 es 0. Y la cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite es al menos ⁠${\displaystyle \omega }$⁠ .

Un ordinal que es igual a su cofinalidad se llama regular y siempre es un ordinal inicial. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por lo tanto, también es inicial, incluso si no es regular, lo cual generalmente no ocurre. Si se cumple el axioma de elección, entonces${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$es regular para cada α . En este caso, los ordinales 0, 1, ⁠${\displaystyle \omega }$,​​${\displaystyle \omega _{1}}$y​${\displaystyle \omega _{2}}$son regulares, mientras que 2, 3, ⁠${\displaystyle \omega _{\omega }}$⁠ , y ω _ω·2 son ordinales iniciales que no son regulares.

La cofinalidad de cualquier ordinal α es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de α es la misma que la cofinalidad de α . Por lo tanto, la operación de cofinalidad es idempotente .

Los conceptos de conjuntos cerrados y no acotados se formulan típicamente para subconjuntos de una cardinalidad regular.${\displaystyle \kappa }$que es incontable. Un subconjunto${\displaystyle C\subseteq \kappa }$se dice que es ilimitado (o cofinal) en${\displaystyle \kappa }$si para cada ordinal${\displaystyle \alpha <\kappa }$, existe algo${\displaystyle \beta \in C}$de tal manera que${\displaystyle \alpha <\beta }$Para definir la propiedad de ser cerrado, primero se define un punto límite: un ordinal distinto de cero.${\displaystyle \delta <\kappa }$es un punto límite de${\displaystyle C}$si${\displaystyle \sup(C\cap \delta )=\delta }$. El conjunto${\displaystyle C}$está cerrado en${\displaystyle \kappa }$si contiene todos sus puntos límite a continuación${\displaystyle \kappa }$Un conjunto que es a la vez cerrado e ilimitado se conoce comúnmente como un conjunto de club .

Los ejemplos de conjuntos de club son fundamentales para la teoría de conjuntos. El conjunto de todos los ordinales límite menores que${\displaystyle \kappa }$es un conjunto de club, ya que siempre hay un ordinal límite mayor que cualquier ordinal dado a continuación${\displaystyle \kappa }$y un límite de ordinales límite es en sí mismo un ordinal límite. Si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal límite, el conjunto de todos los cardinales menores que${\displaystyle \kappa }$es ilimitado, y su conjunto de puntos límite —los cardinales límite— forma un conjunto cerrado ilimitado. Además, si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal límite fuerte (como un cardinal inaccesible ), el conjunto de cardinales límite fuertes que se muestra a continuación${\displaystyle \kappa }$También es un conjunto de club. Otro ejemplo significativo surge de las funciones normales (funciones${\displaystyle f:\kappa \to \kappa }$que son estrictamente crecientes y continuas); el rango de cualquier función normal es un subconjunto cerrado no acotado de${\displaystyle \kappa }$.

Los conjuntos de clubes poseen propiedades estructurales que les permiten generar un filtro . Porque${\displaystyle \kappa }$es regular e incontable, la intersección de dos conjuntos cualesquiera de clubes también es un conjunto de clubes. De manera más general, la intersección de menos de${\displaystyle \kappa }$Los conjuntos de club son un conjunto de club. En consecuencia, la colección de todos los subconjuntos de${\displaystyle \kappa }$que contienen un conjunto de clubes forman un${\displaystyle \kappa }$-filtro no principal completo, conocido como filtro cerrado no acotado (o filtro club ).

Un subconjunto${\displaystyle S\subseteq \kappa }$se denomina estacionario si tiene una intersección no vacía con cada conjunto cerrado no acotado en${\displaystyle \kappa }$Intuitivamente, los conjuntos estacionarios son lo suficientemente "grandes" como para que ningún conjunto club pueda evitarlos. Usando la notación de filtros, un conjunto es estacionario si y solo si no pertenece al ideal dual del filtro club (el ideal de conjuntos no estacionarios). Si bien todo conjunto club es estacionario, no todo conjunto estacionario es un club; por ejemplo, un conjunto estacionario${\displaystyle S}$puede que no se pueda cerrar. Además, si bien la intersección de un conjunto estacionario y un conjunto de club es estacionaria, la intersección de dos conjuntos estacionarios puede estar vacía.

La distinción entre conjuntos de club y conjuntos estacionarios es fundamental para las definiciones de ciertos cardinales grandes .${\displaystyle \kappa }$es el cardinal inaccesible más pequeño , el conjunto de cardinales límite fuertes singulares por debajo de${\displaystyle \kappa }$forma un conjunto cerrado no acotado. Debido a que este conjunto de club no contiene cardinales regulares, el conjunto de cardinales regulares debajo del primer inaccesible no es estacionario. Esto sigue siendo cierto si${\displaystyle \kappa }$es el${\displaystyle n}$-ésimo cardinal inaccesible para algunos${\displaystyle n<\kappa }$; los cardinales regulares que están debajo no formarán un conjunto estacionario. Un cardinal${\displaystyle \kappa }$Se define un cardinal como Mahlo precisamente cuando el conjunto de cardinales regulares por debajo de él es estacionario. Al relajar la condición sobre los cardinales límite, se define un cardinal como débilmente Mahlo si es débilmente inaccesible y el conjunto de cardinales regulares por debajo de él es estacionario.

El filtro cerrado no acotado no es un ultrafiltro bajo la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel con el Axioma de Elección (ZFC). Esto se debe a que se pueden encontrar dos conjuntos estacionarios disjuntos, lo que impide que el filtro decida la pertenencia para cada subconjunto. Para cualquier cardinal regular${\displaystyle \kappa >\omega _{1}}$, el conjunto de ordinales con cofinalidad${\displaystyle \omega }$y el conjunto de ordinales con cofinalidad${\displaystyle \omega _{1}}$son subconjuntos estacionarios disjuntos de${\displaystyle \kappa }$. En el caso específico de${\displaystyle \kappa =\omega _{1}}$, la no existencia de un ultrafiltro se basa en el Axioma de Elección . Bajo ZFC, el conjunto de ordinales límite en${\displaystyle \omega _{1}}$se puede dividir en${\displaystyle \omega _{1}}$conjuntos estacionarios disjuntos (un resultado relacionado con el lema de Fodor ). Sin embargo, en modelos de teoría de conjuntos sin el Axioma de Elección, como aquellos que satisfacen el Axioma de determinación , el filtro de club en${\displaystyle \omega _{1}}$puede ser un ultrafiltro, una propiedad conectada a${\displaystyle \omega _{1}}$ser un cardinal mensurable en esos contextos.

Estas definiciones se generalizan a clases propias de ordinales. Una clase${\displaystyle C}$de ordinales es ilimitado si contiene ordinales arbitrariamente grandes, y cerrado si el límite de cualquier secuencia de ordinales en${\displaystyle C}$también está en${\displaystyle C}$. Esta definición topológica es equivalente a asumir la función de clase de indexación de${\displaystyle C}$es continua. Ejemplos notables de clases cerradas no acotadas incluyen la clase de todos los cardinales infinitos, la clase de los cardinales límite y la clase de puntos fijos de la${\displaystyle \aleph }$-función. En cambio, la clase de cardinales regulares es ilimitada pero no cerrada. Una clase es estacionaria si interseca a toda clase cerrada ilimitada.