Unirse (topología)

En topología , un campo de las matemáticas , la unión de dos espacios topológicos y , a menudo denotada por o , es un espacio topológico formado al tomar la unión disjunta de los dos espacios y unir segmentos de línea que unen cada punto en con cada punto en . La unión de un espacio consigo mismo se denota por . La unión se define de formas ligeramente diferentes en diferentes contextos. ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A\ast B}$${\displaystyle A\estrella B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}$

Si y son subconjuntos del espacio euclidiano , entonces: ^{[1] : 1}${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$,

es decir, el conjunto de todos los segmentos de línea entre un punto en y un punto en . ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

Algunos autores ^{[2] : 5} restringen la definición a los subconjuntos que son unibles : dos segmentos de línea diferentes cualesquiera, que conectan un punto de A con un punto de B, se encuentran como máximo en un punto final común (es decir, no se intersecan en su interior). Cada dos subconjuntos se pueden hacer "unibles". Por ejemplo, si está en y está en , entonces y son unibles en . La figura anterior muestra un ejemplo para m=n=1, donde y son segmentos de línea. ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\times \{0^{m}\}\times \{0\}}$${\displaystyle \{0^{n}\}\veces B\veces \{1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

• La unión de dos símplices es un símplex: la unión de un símplex de dimensión n y uno de dimensión m es un símplex de dimensión ( m + n +1). Algunos casos especiales son:
  • La unión de dos puntos disjuntos es un intervalo ( m = n = 0).
  • La unión de un punto y un intervalo es un triángulo (m=0, n=1).
  • La unión de dos segmentos de línea es homeomorfa a un tetraedro sólido o difenoide , ilustrado en la figura de arriba a la derecha ( m = n = 1).
  • La unión de un punto y un símplex de dimensión ( n -1) es un símplex de dimensión n .
• La unión de un punto y un polígono (o cualquier politopo ) es una pirámide , al igual que la unión de un punto y un cuadrado es una pirámide cuadrada . La unión de un punto y un cubo es una pirámide cúbica .
• La unión de un punto y un círculo es un cono , y la unión de un punto y una esfera es un hipercono .

Si y son espacios topológicos, entonces: ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

donde el cilindro se une a los espacios originales y a lo largo de las proyecciones naturales de las caras del cilindro: ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle {A\veces B\veces \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\veces B\veces \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

Generalmente se asume implícitamente que y no están vacíos, en cuyo caso la definición a menudo se formula de manera un poco diferente: en lugar de unir las caras del cilindro a los espacios y , estas caras simplemente se colapsan de una manera sugerida por las proyecciones de unión : formamos el espacio cociente${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$$estilo de visualización p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

donde la relación de equivalencia se genera por ${\estilo de visualización \sim}$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{para todos }}a\en A{\mbox{ y }}b_{1},b_{2}\en B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{para todos }}a_{1},a_{2}\en A{\mbox{ y }}b\en B.}$

En los puntos finales, esto colapsa a y a . ${\displaystyle A\veces B\veces \{0\}}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A\veces B\veces \{1\}}$${\estilo de visualización B}$

Si y son subconjuntos acotados del espacio euclidiano , y y , donde son subespacios disjuntos de tales que la dimensión de su envoltura afín es (por ejemplo, dos líneas no paralelas que no se intersecan en ), entonces la definición topológica se reduce a la definición geométrica, es decir, la "unión geométrica" ​​es homeomorfa a la "unión topológica": ^{[3] : 75, Prop.4.2.4}${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\subseteq U}$${\displaystyle B\subseteq V}$${\estilo de visualización U,V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\estilo de visualización dimU+dimV+1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\en A,b\en B,t\en [0,1]\}}$

Si y son complejos simpliciales abstractos , entonces su unión es un complejo simplicial abstracto definido de la siguiente manera: ^{[3] : 74, Def.4.2.1}${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

• El conjunto de vértices es una unión disjunta de y .${\displaystyle V(A\star B)}$${\displaystyle V(A)}$${\estilo de visualización V(B)}$
• Los simples de son todas uniones disjuntas de un simplex de con un simplex de : (en el caso especial en el que y son disjuntos, la unión es simplemente ).${\displaystyle A\estrella B}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\en A,b\en B\}}$${\displaystyle V(A)}$${\estilo de visualización V(B)}$${\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}$

• Supóngase y , es decir, dos conjuntos con un único punto. Entonces , que representa un segmento de línea. Nótese que los conjuntos de vértices de A y B son disjuntos; de lo contrario, deberíamos haberlos hecho disjuntos. Por ejemplo, donde a ₁ y a ₂ son dos copias del único elemento en V(A). Topológicamente, el resultado es el mismo que - un segmento de línea.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$${\displaystyle A\star B}$
• Supongamos que y . Entonces , que representa un triángulo.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$
• Supongamos que y , es decir, dos conjuntos con dos puntos discretos. entonces es un complejo con facetas , que representa un "cuadrado".${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$

La definición combinatoria es equivalente a la definición topológica en el siguiente sentido: ^{[3] : 77, Ejercicio.3} para cada dos complejos simpliciales abstractos y , es homeomorfo a , donde denota cualquier realización geométrica del complejo . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle ||A\star B||}$${\displaystyle ||A||\star ||B||}$${\displaystyle ||X||}$${\displaystyle X}$

Dados dos mapas y , su unión se define en función de la representación de cada punto en la unión como , para algún : ^{[3] : 77}${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}$${\displaystyle A_{1}\star B_{1}}$${\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}$${\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}$

${\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}$

El cono de un espacio topológico , denotado , es una unión de con un solo punto. ${\displaystyle X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$

La suspensión de un espacio topológico , denotada , es una unión de con (la esfera de dimensión 0 , o bien, el espacio discreto con dos puntos). ${\displaystyle X}$${\displaystyle SX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{0}}$

La unión de dos espacios es conmutativa hasta el homeomorfismo , es decir . ${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$

No es cierto que la operación de unión definida anteriormente sea asociativa hasta el homeomorfismo para espacios topológicos arbitrarios. Sin embargo, para espacios de Hausdorff localmente compactos tenemos Por lo tanto, se puede definir la unión k veces de un espacio consigo mismo, ( k veces). ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$

Es posible definir una operación de unión diferente que utilice el mismo conjunto subyacente pero con una topología diferente, y esta operación es asociativa para todos los espacios topológicos. Para espacios de Hausdorff localmente compactos y , las uniones y coinciden. ^[4]${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$

Si y son homotópicamente equivalentes , entonces y también son homotópicamente equivalentes. ^{[3] : 77, Ejercicio.2}${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A'\star B}$

Dados los complejos CW con punto base y , la "unión reducida" ${\displaystyle (A,a_{0})}$${\displaystyle (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

es homeomorfo a la suspensión reducida

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

del producto aplastante . En consecuencia, como es contráctil , existe una equivalencia de homotopía.${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

Esta equivalencia establece el isomorfismo . ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$

Dados dos espacios triangulables , la conectividad homotópica ( ) de su unión es al menos la suma de las conectividades de sus partes: ^{[3] : 81, Prop.4.4.3}${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \eta _{\pi }}$

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$.

Como ejemplo, supongamos que hay un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que . La unión es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo que tiene un agujero bidimensional, por lo que . La unión de este cuadrado con una tercera copia de es un octaedro , que es homeomorfo a , cuyo agujero es tridimensional. En general, la unión de n copias de es homeomorfa a y . ${\displaystyle A=B=S^{0}}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$${\displaystyle A*B}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$

La unión eliminada de un complejo abstracto A es un complejo abstracto que contiene todas las uniones disjuntas de caras disjuntas de A : ^{[3] : 112}

${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}$

• Supóngase (un único punto). Entonces , es decir, un espacio discreto con dos puntos disjuntos (recordemos que = un intervalo).${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$
• Supóngase (dos puntos). Entonces es un complejo con facetas (dos aristas disjuntas).${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$
• Supongamos que (una arista). Entonces es un complejo con facetas (un cuadrado). Recordemos que representa un tetraedro sólido.${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}}$
• Supóngase que A representa un símplex ( n -1)-dimensional (con n vértices). Entonces la unión es un símplex ( 2n- 1)-dimensional (con 2 n vértices): es el conjunto de todos los puntos (x ₁ ,...,x _2n ) con coordenadas no negativas tales que x ₁ +...+x _2n =1. La unión eliminada puede considerarse como un subconjunto de este símplex: es el conjunto de todos los puntos (x ₁ ,...,x _2n ) en ese símplex, tales que las únicas coordenadas distintas de cero son algunas coordenadas k en x ₁ ,..,x _n , y las coordenadas nk complementarias en x _n+1 ,...,x _2n .${\displaystyle A^{\star 2}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$

La operación de unión eliminada conmuta con la de unión. Es decir, para cada dos complejos abstractos A y B : ^{[3] : Lem.5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

Demostración . Cada símplex en el complejo del lado izquierdo tiene la forma , donde , y son disjuntos. Debido a las propiedades de una unión disjunta, la última condición es equivalente a: son disjuntos y son disjuntos. ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

Cada símplex del complejo del lado derecho tiene la forma , donde , y son disjuntos y son disjuntos. Por lo tanto, los conjuntos de símplex en ambos lados son exactamente iguales. □ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

En particular, la unión eliminada del símplex n-dimensional consigo mismo es el politopo cruzado n-dimensional , que es homeomorfo a la esfera n-dimensional . ^{[3] : Cor.5.5.3}${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$

La unión eliminada n-fold k-wise de un complejo simple A se define como:

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$, donde "disjunto en k sentidos" significa que cada subconjunto de k tiene una intersección vacía.

En particular, la unión n -fold n -wise deleted contiene todas las uniones disjuntas de n caras cuya intersección está vacía, y la unión n -fold 2-wise deleted es más pequeña: contiene solo las uniones disjuntas de n caras que son disjuntas por pares. La unión 2-fold 2-wise deleted es simplemente la unión eliminada simple definida anteriormente.

La unión eliminada dos veces de n pliegues de un espacio discreto con m puntos se llama complejo de tablero de ajedrez ( m , n ) .

• Desuspensión

• Hatcher, Allen , Topología algebraica. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X y ISBN 0-521-79540-0  
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• Brown, Ronald , Topología y grupoides Sección 5.7 Uniones.