Teorema de Delzant

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas, el teorema de Delzant proporciona una clasificación completa de las variedades tóricas simplécticas en términos de una clase especial de politopos . ^{[ 1 ]} Fue demostrado por Thomas Delzant en 1988. ^{[ 2 ]}

Una variedad tórica simpléctica es una variedad simpléctica conexa compacta.${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$junto con una acción hamiltoniana efectiva de la${\displaystyle n}$toro dimensional${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {S} ^{1}\times \ldots \times \mathbb {S} ^{1}}$en${\displaystyle M}$, con el mapa de momentos denotado por${\displaystyle \mu :M\to \mathbb {R} ^{n}}$.

El teorema de convexidad , demostrado independientemente en 1982 por Atiyah y por Guillemin y Sternberg utilizando la teoría de Morse , establece que la imagen${\displaystyle \mu (M)\subset \mathbb {R} ^{n}}$es la envoltura convexa de las imágenes de los puntos fijos de la${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$-acción. Por lo tanto, es un politopo convexo , también llamado politopo de momentos . ^{[ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Un politopo de Delzant es un tipo especial de politopo convexo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que satisfacen las siguientes tres propiedades

• es un politopo simple , es decir, para cada vértice${\displaystyle x}$, exactamente${\displaystyle n}$Los bordes se encuentran en${\displaystyle v}$;
• es un politopo racional, es decir, para cada vértice${\displaystyle x}$, los bordes en${\displaystyle x}$son de la forma${\displaystyle x+tu_{i}^{x}}$, con${\displaystyle t\geq 0}$y${\displaystyle u_{i}^{x}\in \mathbb {Q} }$;
• es un politopo suave, es decir, para cada vértice${\displaystyle x}$, los vectores correspondientes${\displaystyle u_{i}^{x}}$forma un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-base de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

El teorema de Delzant establece que existe una correspondencia biyectiva entre${\displaystyle 2n}$Variedades tóricas simplécticas de dimensión (hasta simplectomorfismo equivariante de toro) y politopos de Delzant en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:$${\displaystyle \{{\text{Variedades tóricas}}\}\leftrightarrow \{{\text{Polítopos de Delzant}}\},\quad (M^{2n},\omega ,\mathbb {T} ^{n},\mu )\mapsto \mu (M).}$$Más precisamente, el politopo de momentos de cada variedad tórica simpléctica es un politopo de Delzant, cada politopo de Delzant es el politopo de momentos de dicha variedad, y cualesquiera dos de dichas variedades con politopos de momentos equivalentes (salvo traslaciones y${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} )}$Las transformaciones admiten un simplectomorfismo equivariante en el toro entre ellas. La demostración de este resultado se basa en la reducción simpléctica . ^{[ 1 ]}