5-demicubes

En geometría de cinco dimensiones , un demipenteracto o 5-demiconubo es un 5-politopo semirregular , construido a partir de un 5-hipercubo ( penteracto ) con vértices alternados eliminados.

Fue descubierto por Thorold Gosset . Como era el único politopo 5- semirregular (formado por más de un tipo de facetas regulares ), lo denominó semirregular 5-ico . EL Elte lo identificó en 1912 como un politopo semirregular, etiquetándolo como HM _{5 para un politopo} de media medida de 5 dimensiones .

Coxeter nombró a este politopo como 1 ₂₁ a partir de su diagrama de Coxeter , que tiene ramas de longitud 2, 1 y 1 con un nodo anillado en una de las ramas cortas,y símbolo de Schläfli o {3,3 ^2,1 }. ${\displaystyle \left\{3{\begin{array}{l}3,3\\3\end{array}}\right\}}$

Existe en la familia de politopos k ₂₁ como 1 ₂₁ con los politopos de Gosset: 2 ₂₁ , 3 ₂₁ y 4 ₂₁ .

El gráfico formado por los vértices y las aristas del demipenteracto a veces se denomina gráfico de Clebsch , aunque ese nombre a veces se refiere al gráfico cúbico plegado de orden cinco.

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un demipenteracto centrado en el origen y con una longitud de arista de 2 √ 2 son mitades alternas del penteracto :

(±1,±1,±1,±1,±1)

con un número impar de signos más.

Esta matriz de configuración representa el semicubeo de 5 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada elemento se encuentran en el semicubeo de 5 elementos. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en su lugar. ^{[1] [2]}

Los números del vector f diagonal se derivan a través de la construcción de Wythoff , dividiendo el orden de grupo completo de un orden de subgrupo eliminando un espejo a la vez. ^[3]

* = El número de elementos (valores diagonales) se puede calcular dividiendo el orden de simetría D ₅ por el orden de simetría del subgrupo con los espejos seleccionados eliminados.

Es parte de una familia dimensional de politopos uniformes llamados semihipercubos por ser alternancia de la familia de los hipercubos .

Hay 23 5-politopos uniformes (5-politopos uniformes) que pueden construirse a partir de la simetría D ₅ del demipenteracto, 8 de los cuales son exclusivos de esta familia y 15 son compartidos dentro de la familia penteráctica .

El 5-demicubo es el tercero de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo es una figura de vértice construida del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes ( 5-símplices y 5-ortoplexes en el caso del 5-demicubo). En la notación de Coxeter, el 5-demicubo recibe el símbolo 1 ₂₁ .

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• HSM Coxeter :
  • Coxeter, Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5) 
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.ª edición, Dover Nueva York, 1973, pág. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 ) 
• Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 5D (politera) x3o3o *b3o3o - hin".

• Olshevsky, George. "Demipenteract". Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Glosario multidimensional