Grupo Dempwolff

En la teoría matemática de grupos finitos, el grupo de Dempwolff es un grupo finito de orden 319979520 =  2 ¹⁵ ·3 ² ·5·7·31, que es la única extensión no escindida.${\displaystyle 2^{5\,.}\mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})}$de${\displaystyle \mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})}$por su módulo natural de orden${\displaystyle 2^{5}}$La unicidad de dicha extensión no escindida fue demostrada por Dempwolff (1972) , y su existencia por Thompson (1976) , quien demostró utilizando algunos cálculos computacionales de Smith (1976) que el grupo de Dempwolff está contenido en el grupo de Lie compacto.${\displaystyle E_{8}}$como el subgrupo que fija una cierta red en el álgebra de Lie de${\displaystyle E_{8}}$y también está contenido en el grupo esporádico de Thompson (el grupo de automorfismos completo de este retículo) como un subgrupo maximal.

Huppert (1967 , p. 124) demostró que cualquier extensión de${\displaystyle \mathrm {GL} _ {n}(\mathbb {F} _ {q})}$por su módulo natural${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$divisiones si${\displaystyle q>2}$. Nótese que este teorema no necesariamente se aplica a extensiones de${\displaystyle \mathrm {SL} _ {n}(\mathbb {F} _ {q})}$; por ejemplo, existe una extensión no dividida${\displaystyle 5^{3\,.}\mathrm {SL} _{3}(\mathbb {F} _{5})}$, que es un subgrupo maximal del grupo de Lyons . Dempwolff (1973) demostró que también se divide si${\displaystyle n}$no es 3, 4 ni 5, y en cada uno de estos tres casos hay solo una extensión no dividida. Estas tres extensiones no divididas se pueden construir de la siguiente manera:

• La extensión no dividida${\displaystyle 2^{3\,.}\mathrm {GL} _{3}(\mathbb {F} _{2})}$es un subgrupo maximal del grupo de Chevalley${\displaystyle G_{2}(\mathbb {F} _{3})}$.
• La extensión no dividida${\displaystyle 2^{4\,.}\mathrm {GL} _{4}(\mathbb {F} _{2})}$es un subgrupo máximo del grupo esporádico de Conway  Co ₃ .
• La extensión no dividida${\displaystyle 2^{5\,.}\mathrm {GL} _{5}(\mathbb {F} _{2})}$es un subgrupo máximo del grupo esporádico de Thompson  Th.

• Dempwolff, Ulrich (1972), "Sobre extensiones de un grupo abeliano elemental de orden 2 ⁵ por GL(5,2)" , Rediconti del Seminario Matematico della Università di Padova. The Mathematical Journal of the University of Padova , 48 : 359– 364, ISSN 0041-8994 , MR 0393276  
• Dempwolff, Ulrich (1973), "Sobre la segunda cohomología de GL(n,2)", Journal of the Australian Mathematical Society , 16 (2): 207–209 , doi : 10.1017/S1446788700014221 , ISSN 0263-6115 , MR 0357639  
• Griess, Robert L. (1976), "Sobre un subgrupo de orden 2 ¹⁵ . ¦GL(5,2)¦ en E ₈ (C), el grupo de Dempwolff y Aut(D ₈ °D ₈ °D ₈ )" (PDF) , Journal of Algebra , 40 (1): 271– 279, doi : 10.1016/0021-8693(76)90097-1 , hdl : 2027.42/21778 , ISSN 0021-8693 , MR 0407149  
• Huppert, Bertram (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050  
• Smith, PE (1976), "Un subgrupo simple de M? y E ₈ (3)", The Bulletin of the London Mathematical Society , 8 (2): 161– 165, doi : 10.1112/blms/8.2.161 , ISSN 0024-6093 , MR 0409630  
• Thompson, John G. (1976), "Un teorema de conjugación para E ₈ ", Journal of Algebra , 38 (2): 525– 530, doi : 10.1016/0021-8693(76)90235-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0399193  

• Grupo Dempwolff en el atlas de grupos.