Grupo de tipo Lie

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , la expresión « grupo de Lie» suele referirse a grupos finitos estrechamente relacionados con el grupo de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo con valores en un cuerpo finito . La importante colección de grupos simples finitos de Lie conforma la mayor parte de los grupos en la clasificación de grupos simples finitos .

El nombre "grupos de tipo Lie" se debe a su estrecha relación con los grupos de Lie (infinitos) , ya que un grupo de Lie compacto puede considerarse como los puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo sobre el cuerpo de los números reales . Dieudonné (1971) y Carter (1989) son referencias estándar para los grupos de tipo Lie.

Un primer acercamiento a esta cuestión fue la definición y el estudio detallado de los llamados grupos clásicos sobre cuerpos finitos y otros cuerpos , realizado por Jordan (1870) . Estos grupos fueron estudiados por L. E. Dickson y Jean Dieudonné . Emil Artin investigó los órdenes de dichos grupos con el fin de clasificar los casos de coincidencia.

Un grupo clásico es, en términos generales, un grupo lineal , ortogonal , simpléctico o unitario especial . Existen varias variaciones menores de estos, obtenidas mediante subgrupos derivados o cocientes centrales , estos últimos dando lugar a grupos lineales proyectivos . Se pueden construir sobre cuerpos finitos (o cualquier otro cuerpo) de forma muy similar a como se construyen sobre los números reales. Corresponden a las series A _n , B _n , C _n , D _n , ² A _n , ² D _n de los grupos de Chevalley y Steinberg.

Los grupos de Chevalley pueden considerarse grupos de Lie sobre cuerpos finitos. La teoría fue clarificada por la teoría de grupos algebraicos y el trabajo de Chevalley  ( 1955 ) sobre álgebras de Lie, mediante el cual se aisló el concepto de grupo de Chevalley . Chevalley construyó una base de Chevalley (una especie de forma integral, pero sobre cuerpos finitos) para todas las álgebras de Lie simples complejas (o más bien de sus álgebras envolventes universales ), que puede usarse para definir los grupos algebraicos correspondientes sobre los enteros. En particular, podía tomar sus puntos con valores en cualquier cuerpo finito. Para las álgebras de Lie A _n , B _n , C _n , D _n esto dio grupos clásicos bien conocidos, pero su construcción también dio grupos asociados a las álgebras de Lie excepcionales E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , y G ₂ . Los de tipo G ₂ (a veces llamados grupos de Dickson ) ya habían sido construidos por Dickson (1905) , y los de tipo E ₆ por Dickson (1901) .

La construcción de Chevalley no proporcionó todos los grupos clásicos conocidos: omitió los grupos unitarios y los grupos ortogonales no escindidos . Steinberg (1959) halló una modificación de la construcción de Chevalley que proporcionó estos grupos y dos nuevas familias, ³ D ₄ , ² E ₆ , la segunda de las cuales fue descubierta casi al mismo tiempo desde un punto de vista diferente por Tits (1958) . Esta construcción generaliza la construcción usual del grupo unitario a partir del grupo lineal general.

El grupo unitario surge de la siguiente manera: el grupo lineal general sobre los números complejos tiene un automorfismo de diagrama dado al invertir el diagrama de Dynkin A _n (que corresponde a tomar la transpuesta inversa), y un automorfismo de cuerpo dado al tomar la conjugación compleja , los cuales conmutan. El grupo unitario es el grupo de puntos fijos del producto de estos dos automorfismos.

De igual modo, muchos grupos de Chevalley poseen automorfismos de diagramas inducidos por automorfismos de sus diagramas de Dynkin , y automorfismos de cuerpos inducidos por automorfismos de un cuerpo finito. De forma análoga al caso unitario, Steinberg construyó familias de grupos tomando puntos fijos del producto de un automorfismo de diagrama y un automorfismo de cuerpo.

Estos dieron:

• los grupos unitarios ² A _n , del automorfismo de orden 2 de A _n ;
• grupos ortogonales adicionales ² D _n , del automorfismo de orden 2 de D _n ;
• la nueva serie ² E ₆ , del automorfismo de orden 2 de E ₆ ;
• la nueva serie ³ D ₄ , del automorfismo de orden 3 de D ₄ .

Los grupos de tipo ³ D ₄ no tienen análogo sobre los números reales, ya que los números complejos no tienen automorfismos de orden 3. Las simetrías del diagrama D ₄ también dan lugar a la trialidad .

Suzuki  ( 1960 ) descubrió una nueva serie infinita de grupos que, a primera vista, parecían no estar relacionados con los grupos algebraicos conocidos. Ree  ( 1960 , 1961 ) sabía que el grupo algebraico B₂ _tenía un automorfismo "extra" en característica 2 cuyo cuadrado era el automorfismo de Frobenius . Descubrió que si un cuerpo finito de característica 2 también tiene un automorfismo cuyo cuadrado es la aplicación de Frobenius, entonces un análogo de la construcción de Steinberg da lugar a los grupos ^de Suzuki. Los cuerpos con dicho automorfismo son los de orden 2₂ₙ₊₁ ^, y los grupos correspondientes son los grupos de Suzuki ^.

² B ₂ (2 ^{2 norte +1} ) = Suz(2 ^{2 norte +1} ).

(Estrictamente hablando, el grupo Suz(2) no se considera un grupo de Suzuki, ya que no es simple: es el grupo de Frobenius de orden 20). Ree pudo encontrar dos nuevas familias similares.

² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

y

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

de grupos simples utilizando el hecho de que F ₄ y G ₂ tienen automorfismos adicionales en característica 2 y 3. (En términos generales, en característica p se permite ignorar la flecha en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin al tomar automorfismos del diagrama). El grupo más pequeño ² F ₄ (2) de tipo ² F ₄ no es simple, pero tiene un subgrupo simple de índice 2, llamado grupo de Tits (nombrado en honor al matemático Jacques Tits ). El grupo más pequeño ² G ₂ (3) de tipo ² G ₂ no es simple, pero tiene un subgrupo normal simple de índice 3, isomorfo a A ₁ (8). En la clasificación de grupos simples finitos , los grupos de Ree

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

son aquellos cuya estructura es más difícil de determinar explícitamente. Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL(2, q ) para q = 3 ⁿ , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL(2, 5) Janko encontró el grupo esporádico  J ₁ .

Los grupos de Suzuki son los únicos grupos simples no abelianos finitos con orden no divisible por 3. Tienen orden 2 ^{2(2 n +1)} (2 ^{2(2 n +1)} + 1)(2 ^{(2 n +1)} − 1).

Los grupos finitos de tipo Lie fueron de los primeros grupos considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternantes , siendo los grupos lineales especiales proyectivos sobre cuerpos finitos primos, PSL(2, p ), construidos por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de los grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan que establece que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y proporciona una importante familia infinita PSL( n , q ) de grupos simples finitos . Otros grupos clásicos fueron estudiados por Leonard Dickson a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se percató de que, tras una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos sobre un cuerpo arbitrario k , lo que condujo a la construcción de lo que ahora se denomina grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi tan simples como los grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tits ). Si bien se sabía desde el siglo XIX que existían otros grupos simples finitos (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se consolidó la idea de que casi todos los grupos simples finitos pueden explicarse mediante extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con los grupos cíclicos y alternantes. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tits.

La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de los grupos simples finitos . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un cuerpo finito incluyen todos los grupos simples finitos, excepto los grupos cíclicos, los grupos alternantes, el grupo de Tits y los 26 grupos simples esporádicos .

En general, el grupo finito asociado a un endomorfismo de un grupo algebraico simple simplemente conexo es la extensión central universal de un grupo simple, por lo que es perfecto y tiene un multiplicador de Schur trivial . Sin embargo, algunos de los grupos más pequeños de las familias mencionadas anteriormente no son perfectos o tienen un multiplicador de Schur mayor de lo esperado.

Los casos en los que el grupo no es perfecto incluyen:

• A ₁ (2) = SL(2, 2) Resoluble de orden 6 (el grupo simétrico en 3 puntos)
• A ₁ (3) = PSL(2, 3) Resoluble de orden 12 (el grupo alternante en 4 puntos)
• ² A ₂ (4) Resoluble
• B ₂ (2) No es perfecto, pero es isomorfo al grupo simétrico en 6 puntos, por lo que su subgrupo derivado tiene índice 2 y es simple de orden 360.
• ² B ₂ (2) = Suz(2) Resoluble de orden 20 (un grupo de Frobenius)
• ² F ₄ (2) No es perfecto, pero el grupo derivado tiene índice 2 y es el grupo simple de Tits .
• G ₂ (2) No es perfecto, pero el grupo derivado tiene índice 2 y es simple de orden 6048.
• ² G ₂ (3) No es perfecto, pero el grupo derivado tiene índice 3 y es el grupo simple de orden 504.

Algunos casos en los que el grupo es perfecto pero tiene un multiplicador de Schur mayor de lo esperado incluyen:

• A ₁ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• A ₁ (9) El multiplicador de Schur tiene un Z /3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 6 en lugar de 2.
• A ₂ (2) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• A ₂ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /4 Z × Z /4 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 48 en lugar de 3.
• A ₃ (2) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• B ₃ (2) = C ₃ (2) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• B ₃ (3) El multiplicador de Schur tiene un Z /3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 6 en lugar de 2.
• D ₄ (2) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z × Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 4 en lugar de 1.
• F ₄ (2) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• G ₂ (3) El multiplicador de Schur tiene un Z /3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 3 en lugar de 1.
• G ₂ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• ² A ₃ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 2 en lugar de 1.
• ² A ₃ (9) El multiplicador de Schur tiene un Z /3 Z × Z /3 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 36 en lugar de 4.
• ² A ₅ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z × Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 12 en lugar de 3.
• ² E ₆ (4) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z × Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 12 en lugar de 3.
• ² B ₂ (8) El multiplicador de Schur tiene un Z /2 Z × Z /2 Z adicional , por lo que el multiplicador de Schur del grupo simple tiene orden 4 en lugar de 1.

Existe una cantidad sorprendente de isomorfismos "accidentales" entre varios grupos pequeños de tipo Lie (y grupos alternantes). Por ejemplo, los grupos SL(2, 4), PSL(2, 5) y el grupo alternante de 5 puntos son todos isomorfos.

Para obtener una lista completa de estas excepciones, consulte la lista de grupos simples finitos . Muchas de estas propiedades especiales están relacionadas con ciertos grupos simples esporádicos.

Los grupos alternantes a veces se comportan como si fueran grupos de tipo Lie sobre el cuerpo con un elemento . Algunos de los grupos alternantes pequeños también tienen propiedades excepcionales. Los grupos alternantes suelen tener un grupo de automorfismos externos de orden 2, pero el grupo alternante en 6 puntos tiene un grupo de automorfismos externos de orden 4. Los grupos alternantes suelen tener un multiplicador de Schur de orden 2, pero los que tienen 6 o 7 puntos tienen un multiplicador de Schur de orden 6 .

No existe una notación estándar para los grupos finitos de tipo Lie, y la literatura contiene docenas de sistemas de notación incompatibles y confusos para ellos.

• El grupo simple PSL( n , q ) no suele coincidir con el grupo PSL( n , Fq ₎ de puntos con valores _en Fq del grupo algebraico PSL( n ). El problema radica en que una aplicación sobreyectiva de grupos algebraicos como SL( n ) → PSL( n ) no necesariamente induce una aplicación sobreyectiva de los grupos correspondientes con valores en algún cuerpo (no algebraicamente cerrado). Existen problemas similares con los puntos de otros grupos algebraicos con valores en cuerpos finitos.
• Los grupos de tipo A _{n −1} a veces se denotan por PSL( n , q ) (el grupo lineal especial proyectivo) o por L ( n , q ).
• Los grupos de tipo C _n a veces se denotan por Sp(2 n , q ) (el grupo simpléctico) o (de forma confusa) por Sp( n , q ).
• La notación para grupos de tipo D _n (grupos "ortogonales") es particularmente confusa. Algunos símbolos utilizados son O( n , q ), O ⁻ ( n , q ), PSO( n , q ), Ω _n ( q ), pero hay tantas convenciones que no es posible decir exactamente a qué grupos corresponden sin que se especifique explícitamente. La raíz del problema es que el grupo simple no es el grupo ortogonal O, ni el grupo ortogonal especial proyectivo PSO, sino un subgrupo de PSO, ^{[ 1 ]} que, por consiguiente, no tiene una notación clásica. Una trampa particularmente desagradable es que algunos autores, como ATLAS , usan O( n , q ) para un grupo que no es el grupo ortogonal, sino el grupo simple correspondiente. La notación Ω, PΩ fue introducida por Jean Dieudonné , aunque su definición no es simple para n ≤ 4 y, por lo tanto, la misma notación puede usarse para un grupo ligeramente diferente, que coincide en n ≥ 5 pero no en dimensiones inferiores. ^{[ 1 ]}
• Para los grupos de Steinberg, algunos autores escriben ² A _n ( q ² ) (y así sucesivamente) para el grupo que otros autores denotan por ² A _n ( q ). El problema es que hay dos cuerpos involucrados, uno de orden q ² , y su cuerpo fijo de orden q , y hay diferentes ideas sobre cuál debe incluirse en la notación. La convención " ² A _n ( q ² )" es más lógica y consistente, pero la convención " ² A _n ( q )" es mucho más común y está más cerca de la convención para grupos algebraicos .
• Los autores discrepan sobre si grupos como A _n ( q ) son grupos de puntos con valores en el grupo algebraico simple o en el grupo algebraico simplemente conexo. Por ejemplo, A _n ( q ) puede referirse al grupo lineal especial SL( n +1, q ) o al grupo lineal especial proyectivo PSL( n +1, q ). Así, ² A ₂ (4) puede ser cualquiera de cuatro grupos diferentes, según el autor.

• Teoría de Deligne-Lusztig ( teoría de la representación de grupos finitos de tipo Lie)
• Álgebra de Lie modular

• Carter, Roger W. (1989) [1972], Simple groups of Lie type , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6, MR  0407163
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