Densidad en un colector

En matemáticas , y específicamente en geometría diferencial , una densidad es una magnitud que varía espacialmente en una variedad diferenciable y que puede integrarse de manera intrínseca. En abstracto, una densidad es una sección de un determinado fibrado lineal , llamado fibrado de densidad . Un elemento del fibrado de densidad en x es una función que asigna un volumen al paralelepípedo generado por los n vectores tangentes dados en x .

Desde el punto de vista operacional, una densidad es un conjunto de funciones en cartas de coordenadas que se multiplican por el valor absoluto del determinante jacobiano en el cambio de coordenadas. Las densidades se pueden generalizar en s -densidades , cuyas representaciones de coordenadas se multiplican por la s -ésima potencia del valor absoluto del determinante jacobiano. En una variedad orientada , las 1-densidades se pueden identificar canónicamente con las n -formas en M. En variedades no orientables, esta identificación no se puede realizar, ya que el fibrado de densidad es el producto tensorial del fibrado de orientación de M y el n -ésimo fibrado de producto exterior de T ^∗ M (véase pseudotensor ).

En general, no existe un concepto natural de "volumen" para un paralelepípedo generado por vectores v ₁ , ..., v _n en un espacio vectorial V n -dimensional . Sin embargo, si se desea definir una función μ : V × ... × V → R que asigne un volumen a cualquier paralelepípedo de este tipo, debe satisfacer las siguientes propiedades: 

• Si alguno de los vectores v _k se multiplica por λ ∈ R , el volumen debe multiplicarse por | λ |.
• Si se agrega cualquier combinación lineal de los vectores v ₁ , ..., v _{j −1} , v _{j +1} , ..., v _n al vector v _j , el volumen debería permanecer invariante.

Estas condiciones son equivalentes a la afirmación de que μ viene dada por una medida invariante a la traslación en V , y pueden reformularse como

${\displaystyle \mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).}$

Cualquier mapeo de este tipo μ  : V × ... × V → R se denomina densidad en el espacio vectorial V. Nótese que si ( v ₁ , ..., v _n ) es cualquier base para V , entonces fijar μ ( v ₁ , ..., v _n ) fijará μ completamente; de ​​ello se deduce que el conjunto Vol( V ) de todas las densidades en V forma un espacio vectorial unidimensional. Cualquier n -forma ω en V define una densidad | ω | en V mediante

${\displaystyle |\omega |(v_{1},\ldots,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots,v_{n})|.}$

Formalmente, el fibrado de densidad s Vol ^s ( M ) de una variedad diferenciable M se obtiene mediante una construcción de fibrado asociada , entrelazando la representación de grupo unidimensional.

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)}$

del grupo lineal general con el fibrado de marcos de M.

El fibrado de líneas resultante se conoce como el fibrado de s- densidades y se denota por

${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).}$

Una densidad 1 también se denomina simplemente densidad.

De manera más general, la construcción de haces asociada también permite construir densidades a partir de cualquier haz vectorial E en M.

En detalle, si ( U _α ,φ _α ) es un atlas de cartas de coordenadas en M , entonces existe asociada una trivialización local de${\displaystyle \left|\Lambda \right|_{M}^{s}}$

${\displaystyle t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R} }$

subordinado a la cubierta abierta U _α tal que el cociclo GL(1) asociado satisface

${\displaystyle t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.}$

Las densidades desempeñan un papel importante en la teoría de la integración en variedades. De hecho, la definición de una densidad está motivada por cómo cambia una medida dx bajo un cambio de coordenadas ( Folland 1999 , Sección 11.4, pp. 361-362) .

Dada una densidad ƒ de orden 1 soportada en una carta de coordenadas U _α , la integral se define por

${\displaystyle \int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu }$

donde la última integral es con respecto a la medida de Lebesgue en R ⁿ . La ley de transformación para 1-densidades junto con el cambio jacobiano de variables asegura la compatibilidad en las superposiciones de diferentes cartas de coordenadas, y por lo tanto la integral de una 1-densidad general con soporte compacto puede definirse mediante un argumento de partición de la unidad . Así, las 1-densidades son una generalización de la noción de una forma de volumen que no necesariamente requiere que la variedad esté orientada o incluso sea orientable. Se puede desarrollar de manera más general una teoría general de las medidas de Radon como secciones distribucionales de${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{1}}$utilizando el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

El conjunto de 1/p -densidades tales que${\displaystyle |\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty }$es un espacio lineal normado cuya completitud${\displaystyle L^{p}(M)}$se denomina espacio L ^p intrínseco de M.

En algunas áreas, particularmente en geometría conforme , se utiliza una convención de ponderación diferente: el haz de s- densidades se asocia en cambio con el carácter

${\displaystyle \rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.}$

Con esta convención, por ejemplo, se integran n- densidades (en lugar de 1-densidades). Asimismo, en estas convenciones, una métrica conforme se identifica con una densidad tensorial de peso 2.

• El fibrado vectorial dual de${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{s}}$es${\displaystyle |\Lambda |_{M}^{-s}}$.
• Las densidades tensoriales son secciones del producto tensorial de un fibrado de densidades con un fibrado tensorial.

• Berlín, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operadores , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20062-8.
• Folland, Gerald B. (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda  edición), ISBN 978-0-471-31716-6En la última sección se ofrece una breve discusión sobre las densidades.{{citation}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Lecciones sobre la geometría de las variedades , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, MR 1435504 
• Lee, John M (2003), Introducción a las variedades diferenciables , Springer-Verlag