Derivado

Una función de una variable real${\displaystyle f(x)}$es diferenciable en un punto${\displaystyle a}$de su dominio , si su dominio contiene un intervalo abierto que contiene${\displaystyle a}$y el límite$${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ existe. ^{[ 2 ]} Esto significa que, para cada número real positivo ⁠${\displaystyle \varepsilon }$⁠ , existe un número real positivo${\displaystyle \delta }$de tal manera que, para cada${\displaystyle h}$de tal manera que${\displaystyle |h|<\delta }$y${\displaystyle h\neq 0}$entonces${\displaystyle f(a+h)}$se define y $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$ donde las barras verticales denotan el valor absoluto . Este es un ejemplo de la definición (ε, δ) de límite . ^{[ 3 ]}

Si la función${\displaystyle f}$es diferenciable en ⁠${\displaystyle a}$⁠ , es decir, si el límite${\displaystyle L}$existe, entonces este límite se llama derivada de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle a}$⁠ . Existen múltiples notaciones para la derivada. ^{[ 4 ]} La derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$puede denotarse${\displaystyle f'(a)}$⁠ , se lee como " ⁠${\displaystyle f}$primo de​${\displaystyle a}$⁠ "; o puede denotarse ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$⁠ , leído como "el derivado de${\displaystyle f}$con respecto a${\displaystyle x}$en​${\displaystyle a}$" o "${\displaystyle df}$por (o sobre)${\displaystyle dx}$en​${\displaystyle a}$⁠ ". Véase la notación del §  a continuación. Si${\displaystyle f}$es una función que tiene derivada en cada punto de su dominio , entonces una función puede definirse mapeando cada punto${\displaystyle x}$al valor de la derivada de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle x}$⁠ . Esta función está escrita${\displaystyle f'}$y se denomina función derivada o derivada de${\displaystyle f}$⁠ . La función${\displaystyle f}$a veces tiene una derivada en la mayoría, pero no en todos, los puntos de su dominio. La función cuyo valor en${\displaystyle a}$igual${\displaystyle f'(a)}$cuando sea${\displaystyle f'(a)}$está definido y en otros lugares no está definido también se llama derivado de${\displaystyle f}$⁠ . Sigue siendo una función, pero su dominio puede ser menor que el dominio de ⁠${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f}$Sea la función de elevación al cuadrado :${\displaystyle f(x)=x^{2}}$⁠ . Entonces el cociente en la definición de la derivada es ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ La división en el último paso es válida siempre que${\displaystyle h\neq 0}$⁠ . Cuanto más cerca${\displaystyle h}$es a${\displaystyle 0}$⁠ , cuanto más se acerque esta expresión al valor ⁠${\displaystyle 2a}$⁠ . El límite existe, y para cada entrada${\displaystyle a}$El límite es${\displaystyle 2a}$⁠ . Por lo tanto, la derivada de la función de elevación al cuadrado es la función de duplicación: ⁠${\displaystyle f'(x)=2x}$.​

La razón en la definición de la derivada es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos en la gráfica de la función .${\displaystyle f}$⁠ , específicamente los puntos${\displaystyle (a,f(a))}$y​${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$⁠ . Como${\displaystyle h}$se hace más pequeño, estos puntos se acercan entre sí y la pendiente de esta línea se aproxima al valor límite, la pendiente de la tangente a la gráfica de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle a}$⁠ . En otras palabras, la derivada es la pendiente de la tangente. ^{[ 7 ]}

Una forma de pensar en el derivado${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$es como la razón de un cambio infinitesimal en la salida de la función${\displaystyle f}$a un cambio infinitesimal en su entrada. ^{[ 8 ]} Para hacer rigurosa esta intuición, se requiere un sistema de reglas para manipular cantidades infinitesimales. ^{[ 9 ]} El sistema de números hiperreales es una forma de tratar cantidades infinitas e infinitesimales. Los hiperreales son una extensión de los números reales que contienen números mayores que cualquier cosa de la forma${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$para cualquier número finito de términos. Dichos números son infinitos y sus recíprocos son infinitesimales. La aplicación de los números hiperreales a los fundamentos del cálculo se denomina análisis no estándar . Esto proporciona una manera de definir los conceptos básicos del cálculo, como la derivada y la integral, en términos de infinitesimales, dando así un significado preciso a la${\displaystyle d}$en la notación de Leibniz. Por lo tanto, la derivada de${\displaystyle f(x)}$se convierte$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$para un infinitesimal arbitrario ⁠${\displaystyle dx}$, donde${\displaystyle \operatorname {st} }$denota la función de parte estándar , que "redondea" cada hiperreal finito al real más cercano. ^{[ 10 ]} Tomando la función de cuadratura${\displaystyle f(x)=x^{2}}$Por poner otro ejemplo, $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

Las siguientes son las reglas para las derivadas de las funciones básicas más comunes. Aquí,${\displaystyle a}$es un número real, y${\displaystyle e}$es la base del logaritmo natural, aproximadamente 2,71828 . ^{[ 29 ]}

• Derivados de potencias :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• Funciones exponenciales , logaritmo natural y logaritmo con base general :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$, para${\displaystyle a>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, para${\displaystyle x>0}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, para${\displaystyle x,a>0}$

• Funciones trigonométricas :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• Funciones trigonométricas inversas :

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, para${\displaystyle -1<x<1}$

  ⁠${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, para${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Las siguientes reglas permiten deducir derivadas de muchas funciones a partir de las derivadas de las funciones básicas: ^{[ 30 ]}

• Regla constante : si${\displaystyle f}$es una función constante, entonces para todo ⁠${\displaystyle x}$⁠ ,

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Regla de suma :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$para todas las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$y todos los números reales${\displaystyle \alpha }$y​${\displaystyle \beta }$.​

• Regla del producto :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$para todas las funciones${\displaystyle f}$y​${\displaystyle g}$⁠ . Como caso especial, esta regla incluye el hecho de que${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$cuando sea${\displaystyle \alpha }$es una constante porque${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$por la regla constante.

• Regla del cociente :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ para todas las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$en todas las entradas donde${\displaystyle g\neq 0}$.​

• Regla de la cadena para funciones compuestas : Si${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$, entonces

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

La derivada de la función dada por${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$es $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ Aquí el segundo término se calculó utilizando la regla de la cadena y el tercer término utilizando la regla del producto . Las derivadas conocidas de las funciones elementales${\displaystyle x^{2}}$,​​${\displaystyle x^{4}}$,​​${\displaystyle \sin(x)}$,​​${\displaystyle \ln(x)}$y​​${\displaystyle \exp(x)}$⁠ , así como la constante ⁠${\displaystyle 7}$También se utilizaron.

Una función con valores vectoriales${\displaystyle \mathbf {y} }$La operación de una variable real asigna números reales a vectores en algún espacio vectorial .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Una función vectorial puede dividirse en sus funciones de coordenadas .${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$⁠ , lo que significa que ⁠${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$⁠ . Esto incluye, por ejemplo, curvas paramétricas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠ . Las funciones de coordenadas son funciones de valor real, por lo que la definición anterior de derivada se aplica a ellas. La derivada de${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$se define como el vector , llamado vector tangente , cuyas coordenadas son las derivadas de las funciones de coordenadas. Es decir, ^{[ 38 ]}$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ si el límite existe. La resta en el numerador es la resta de vectores, no de escalares. Si la derivada de${\displaystyle \mathbf {y} }$existe para cada valor de ⁠${\displaystyle t}$, entonces${\displaystyle \mathbf {y} '}$es otra función vectorial. ^{[ 38 ]}

Las funciones pueden depender de más de una variable . Una derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniendo las demás constantes. Las derivadas parciales se utilizan en el cálculo vectorial y la geometría diferencial . Al igual que con las derivadas ordinarias, existen múltiples notaciones: la derivada parcial de una función${\displaystyle f(x,y,\dots )}$con respecto a la variable${\displaystyle x}$se denota de diversas maneras por

⁠${\displaystyle f_{x}}$,​​${\displaystyle f'_{x}}$,​​${\displaystyle \partial _{x}f}$,​​${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$, o​${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$⁠ ,

entre otras posibilidades. ^{[ 39 ]} Puede pensarse como la tasa de cambio de la función en el${\displaystyle x}$-dirección. ^{[ 40 ]} Aquí ∂ es una d redondeada llamada símbolo de derivada parcial . Para distinguirla de la letra d , ∂ a veces se pronuncia "der", "del" o "parcial" en lugar de "dee". ^{[ 41 ]} Por ejemplo, sea ⁠${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$⁠ , entonces la derivada parcial de la función${\displaystyle f}$con respecto a ambas variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son, respectivamente: $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ En general, la derivada parcial de una función${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$en la dirección${\displaystyle x_{i}}$en ese punto${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$se define como: ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

Esto es fundamental para el estudio de las funciones de varias variables reales . Sea${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$sea ​​una función de valor real . Si todas las derivadas parciales${\displaystyle f}$con respecto a${\displaystyle x_{j}}$se definen en el punto ⁠${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$⁠ , estas derivadas parciales definen el vector $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ que se llama gradiente de${\displaystyle f}$en​${\displaystyle a}$⁠ . Si${\displaystyle f}$Si es diferenciable en cada punto de algún dominio, entonces el gradiente es una función vectorial.${\displaystyle \nabla f}$que mapea el punto${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$al vector${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$⁠ . En consecuencia, el gradiente determina un campo vectorial . ^{[ 43 ]}

Si${\displaystyle f}$es una función de valor real en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , entonces las derivadas parciales de${\displaystyle f}$medir su variación en la dirección de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, si${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle x}$y​${\displaystyle y}$⁠ , entonces sus derivadas parciales miden la variación en${\displaystyle f}$en el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$dirección. Sin embargo, no miden directamente la variación de${\displaystyle f}$en cualquier otra dirección, como por ejemplo a lo largo de la línea diagonal .${\displaystyle y=x}$⁠ . Estas se miden utilizando derivadas direccionales. Dado un vector ⁠${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$⁠ , entonces la derivada direccional de${\displaystyle f}$en dirección de${\displaystyle \mathbf {v} }$en ese punto${\displaystyle \mathbf {x} }$es: ^{[ 44 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Si todas las derivadas parciales de${\displaystyle f}$existen y son continuos en ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$⁠ , luego determinan la derivada direccional de${\displaystyle f}$en la dirección${\displaystyle \mathbf {v} }$mediante la fórmula: ^{[ 45 ]}$${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

Cuando${\displaystyle f}$es una función de un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a​${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠ , entonces la derivada direccional de${\displaystyle f}$en una dirección elegida es la mejor aproximación lineal a${\displaystyle f}$en ese punto y en esa dirección. Sin embargo, cuando${\displaystyle n>1}$⁠ , ninguna derivada direccional por sí sola puede dar una imagen completa del comportamiento de ⁠${\displaystyle f}$⁠ . La derivada total proporciona una imagen completa al considerar todas las direcciones a la vez. Es decir, para cualquier vector${\displaystyle \mathbf {v} }$comenzando en ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠ , se cumple la fórmula de aproximación lineal: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ De manera similar ocurre con la derivada de una sola variable,${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$se elige de manera que el error en esta aproximación sea lo más pequeño posible. La derivada total de${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbf {a} }$es la transformación lineal única${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$de tal manera que ^{[ 46 ]}$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ Aquí${\displaystyle \mathbf {h} }$es un vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , por lo que la norma en el denominador es la longitud estándar en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ . Sin embargo,${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$es un vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠ , y la norma en el numerador es la longitud estándar en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$⁠ . ^{[ 46 ]} Si${\displaystyle v}$es un vector que comienza en ⁠${\displaystyle a}$, entonces${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$se llama el avance de${\displaystyle \mathbf {v} }$por​${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 47 ]}

Si la derivada total existe en ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠ , entonces todas las derivadas parciales y derivadas direccionales de${\displaystyle f}$existen en ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$⁠ , y para todos ⁠${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ ,${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$es la derivada direccional de${\displaystyle f}$en la dirección${\displaystyle \mathbf {v} }$⁠ . Si${\displaystyle f}$se escribe utilizando funciones de coordenadas, de modo que${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$⁠ , entonces la derivada total se puede expresar utilizando las derivadas parciales como una matriz . Esta matriz se llama matriz jacobiana de${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbf {a} }$: ^{[ 48 ]}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$